L'equivalenza e le aree, teoremi di Euclide e Pitagora

L'equivalenza e le aree, teoremi di Euclide e Pitagora

Bertini Niccolo, Santi gioele, Lorenzo Matulli e Hasi Erdrin

Esempi

Equivalenza di superfici

Le superfici e la loro estensione

Una superficie piana limitata è una figura piana formata da una regione di piano limitata da una linea chiusa (figura a) o piu linee chiuse che non si intersecano (figura b) Un'altro concetto importante è: l'estensione di una superficie Definizione: Due superfici che hanno stessa estensione sono equivalenti Postulato: due superfici congruenti sono sempre equivalenti

L'area di una superficie

L'equivalenza tra superfici piane ha le seguenti proprietà:

• Riflessiva: ogni superficie piana è equivalente a se stessa

• Simmetrica: se una superficie A è equivalente ad una superficie B, quindi B sarà equivalente ad A

• Transitiva: se una superficie A è equivalente ad una superficie B e B è equivalente ad una superficie C, allora A è equivalente a C

Somma e differenza di superfici

Postulato: somme o differenze di superfici rispettivamente equivalenti sono equivalenti

Postulato: multipli e sottomultipli secondo lo stesso numero di superfici equivalenti sono equivalenti

Il confronto di superfici

Postulato di De Zolt: una superficie non può essere equivalente ad una sua partePostulato: date 2 superfici A e B vale sempre una sola delle seguenti relazioni:

• A è equivalente a B
• A è minore di B
• A è maggiore di B

Figure equiscomponibili

Definizione: due figure che sono somme di figure congruenti si dicono equiscomponibili da questa definizione e dal postulato della somma e differenza deriva un teorema: Teorema: due o piu' figure equiscomponibili sono equivalenti

Equivaenza di parallelogrammi

Teorema: 2 parallelogrammi che hanno basi e altezze corrispondenti congruenti sono equivalenti

Dimostrazione

equivalenza di parallelogrammi

DA FINIRE

Il primo teorema di Euclide

AB^2=AD*AC BC^2=DC*AC

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha i lati congruenti all'ipotenusa e alla pressione dello stesso cateto sull' ipotenusa

Dimostrazione

-AC=AC',per costruzione(ACA'C' é un quadratto) -ACB=AC'M,retti per costruzione -C'AM=CAB,perchè complementari dello stesso angolo MAC Sono congrurnti per il secondo criterio e segeu che AB=AM AMFC è un parallelogramma perché lati opposti paralleli per costruzione. AMFC e AC'A'C hanno la stessa base AC e la stessa altezza AC' quindi sono equivalenti. AMFC e AC'A'C hanno le basi congruenti AM=AB'(perché entrambi congruenti all'ipotenusa)e la stessa altezza AD, quindi sono equivalenti. Poiché AC'A'C=AMFG e AMFG=ADEB' per la proprietà transitiva dell' equivalenza abbiamo anche AC'A'C=ADEB'

Il teorema di Pitagora

In ogni rettangolo, il quadrato costruito sull' ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

AC^2=AB^2+BC^2

Dimostrazione

Laltezza AK invidua l'ipotenusa BC i segmenti BK e KC,proiezione dei cateti.Inoltre BK e KC sono le basi di R1 e R2, che hanno il lati congruanti alla proeizione di un cateto e all'ipotenusa.Quindi, per il primo teorema di Euclide Q1=R1 e Q2=R2.Segue che R1+R2=Q1+Q2. Poichè EDCB=R1+R2 e R1+R2=Q1+Q2 per la propieta transitiva EDCB=Q1+Q2.

Il secondo teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalenti al rettangolo aventi i lati congruenti alle proiezioni dei cateti sull' ipotenusa.

BD^2=AD*DC

Dimostrazione

Consideriamo su HM il punto J tale che JH=AH e su AL il punto I tale che IA=AH. Il rettangolo AHML è formato dal quadrato Q1 e dal rettangolo R. Segue chè AHML=Q1+R. Applicando al triangolo AHB il teorema di Pitagora otteniamo che:-Q2=Q+Q1-Q=Q2-Q1Applicando al triangolo ABC il primo teorema di Euclide otteniamo che:-Q2=AHML -Q2=R+Q1 -R=Q2-Q1 Poichè Q2 e R sono entrambi equivalenti a Q2-Q1, sono equivalenti fra loro per la propieta transitiva Q=R.

L'equivalenza tra triangolo e parallelogramma

Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha altezza congruente a quella del triangolo e base congruente a metà di quella del triangolo.

L'area del rettangolo

La misura dell'area di un rettangolo è uguale al prodotto della misura della base per la misura dell'altezza.

La diagonale del quadrato

La misura della diagonale del quadrato è uguale al prodotto della misura del suo lato per la radice quadrata di 2

L'altezza del triangolo equilatero

In un triangolo equilatero la misura dell'altezza è uguale al prodotto della misura della metà del suo lato per la radice quadrata di 3

L'area dei poligoni

inserire tabella

*= angolo centrato nella lettera centrale

Dimostrazione

Tracciamo la semiretta Ba di origine B e parallela alla base AC e indichiamo con M il punto medio della base AC. Da M conduciamo la parallela ad AB che incontra BC in O e Ba in N. Il quadrilatero ABNM è un parallelogramma, perché ha i lati opposti paralleli per costruzione. I triangoli COM e BON hanno: -MC=BN, perché entrambi congruenti ad AM -MCO*=OBN*, per Th. inv. para. ang. alt. int. (trasv. BC) -OMC*=ONB*, per Th. inv. para. ang. alt. int. (trasv. MN) Pertanto i triangoli MCO e ONB sono congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Il triangolo ABC può essere considerato come somma del trapezio AMOB e del triangolo MOC. Il parallelogramma ABNM può essere considerato come somma dello stesso trapezio AMOB e del triangolo ONB. Pertanto il triangolo ABC e il parallelogramma ABNM sono equicomposti e dunque sono equivalenti.

Corollario

Due triangoli che hanno congruenti le basi e le rispettive altezze sono equivalenti

L'equivalenza fra trapezio e triangolo

Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha per altezza la stessa altezza e per base la somma delle basi del trapezio.

*= angolo centrato nella lettera centrale

Dimostrazione

Prolunghiamo la base AD del trapezio ABCD di un segmento DE=BC.Congiungiamo E con B: il segmento BE interseca CD con O. Consideriamo i triangoli OBC e OED. Essi hanno: -BC=DE, per costruzione -CBO*=DEO*, per Th. inv. para. ang. alt. int.(trasv. BE) -BCO*=ODE*,per Th. inv. para. ang. alt. int.(trasv. CD) Segue che i triangoli OBC e OED sono uguali per il secondo criterio di congruenza dei triangoli. Il trapezio ABCD è la somma di ADOB e OBC. Il triangolo ABE è la somma di ABOD e ODE. Segue che il trapezio ABCD e il triangolo ABE sono equivalenti perché equicomposti.

L'equivalenza fra un poligono circoscritto e un triangolo

Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha la base congruente al perimetro del poligono e l'altezza congruente al raggio della circonferenza

Dimostrazione

Consideriamo qualsiasi poligono circoscritto alla circonferenza, in questo caso il pentagono ABCDE. Se congiungiamo O con i vertici otteniamo cinque triangoli aventi come basi i lati del poligono e come altezze il raggio della circonferenza.A questo punto disegnamo su una retta i seguenti segmenti: - A'B'=AB - B'C'=BC - C'D'=CD -D'E'=DE - E'G'=EA Sciegliamo un punto F' qualsiasi che abbia una distanza dalla retta pari al raggio. Congiungiamo F' agli estremi ed otteniamo così cinque triangoli che hanno come base ognuno uno dei lati del poligono iniziale e come altezza il raggio e dunque ABCDE=A'G'F' per somma di triangoli equivalenti.

La costruzione di poligoni equivalenti

È sempre possibile trasformare un poligono convesso di n lati in un poligono eguivalente di n-1 lati

Dimostrazione

Consideriamo un poligono nel nostro caso il pentagono ACDEF. Tracciamo per A' una retta parallela a CF. Tracciamo il prolungamento del lato DC. Chiamiamo il punto di incontro C'. Consideriamo A'CF, CFC' tale che- FC in comune - distanza tra A e r(FC)=distanza tra C' e r(FC) Segue che A'CF=CFC' per th sull'area del triangolo. Visto che A'CDEF=EDCF+ CFA' per hp CFA' = CC'F per dimostrazione precedente Segue che A'CDEF = C'DEF per somma di poligoni equivalenti