VECTORES EN 3D

Instituto Tecnológico Superior de San Martín Texmelucan

M.E.M . CÈSAR RAMSÈS DÌAZ LIMÒN

Ingeneria en Sistemas Computacionales

3 "B"

Axel Jesus Casique Mota​ Alvaro Sanchez Islas​ Diego Alexis Rivas Muñoz​

VECTORES EN 3D

Semblanza sobre la aparición o utilización de los vectores en el espacio

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La noción de vectores surge de la necesidad de describir magnitudes que no solo tienen un valor numérico (como la distancia o la masa), sino también una dirección, como la fuerza o la velocidad. El matemático francés René Descartes, en el siglo XVII.

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Nombres científicos relacionados

René Descartes: Creó la geometría analítica. William Rowan Hamilton: Introdujo el concepto de vectores en un espacio tridimensional. Josiah Willard Gibbs: Es particularmente conocido por su trabajo en la termodinámica y la mecánica estadística, que sentaron las bases para gran parte de la física moderna.

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Vector

Un vector se representa como (x, y, z). Se dibuja como una flecha en un espacio 2D o 3D

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MagnitudLa magnitud de un vector es un valor escalar que representa la "cantidad" o "tamaño" del vector, sin considerar su dirección.

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DirecciónLa dirección de un vector describe hacia dónde apunta el vector en el espacio. Es una característica que señala la orientación del vector respecto a un sistema de referencia.

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Sentido El sentido de un vector es una propiedad que determina hacia cuál de las dos posibles direcciones a lo largo de su línea de acción apunta el vector.

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Vectores EquivalentesSon aquellos vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido, independientemente de su punto de origen o posición en el espacio.

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Vectores EquipolentesSon vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido, pero que pueden estar situados en diferentes puntos de origen en el espacio.

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Vectores OpuestosSon dos vectores que tienen la misma magnitud y dirección pero sentidos opuestos.

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Vectores ProporcionalesUn vector es proporcional a otro si uno se puede obtener multiplicando al otro por un número escalar.

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Vectores en el EspacioLos vectores en el espacio son entidades matemáticas que representan magnitudes con dirección y sentido en un espacio tridimensional.

Representación geométrica

Ejemplo

Geométricamente, un vector en 3D se representa como una flecha en el espacio tridimensional

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Geométricamente, un vector en 3D se representa como una flecha en el espacio tridimensional. Esta flecha tiene: Origen: En un punto, generalmente en el origen del sistema de coordenadas (0,0,0) pero puede estar en cualquier otro punto del espacio.

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Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares (plano cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una funciónEste sistema se basa en tres ejes mutuamente perpendiculares: Eje x: Representa la dirección horizontal. Eje 𝑦: Representa la dirección perpendicular al eje x en el plano horizontal. Eje z: Representa la dirección perpendicular al plano formado por los ejes x y 𝑦, es decir, la dirección vertical.

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Norma de un vector La norma de un vector es un número no negativo que describe la extensión de un vector en el espacio. También se llama magnitud o longitud del vector. La norma es una forma de medir el tamaño de un vector, una matriz o un tensor.

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Dirección de un vector Es la línea recta infinita sobre la que se plantea el vector en el espacio. Se puede visualizar como una flecha en el espacio, con la cola en el origen y la cabeza en el punto final del vector. La dirección del vector se indica con una flecha que va desde el punto inicial hasta el punto- final.

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Vector nulo "Características" Un vector nulo, también conocido como vector cero, tiene varias características importantes en álgebra lineal: Componentes Nulas: Todas sus componentes son cero. Longitud Cero: Su módulo o longitud es cero. Elemento Neutro:cualquier vector sumado con el vector nulo da como resultado el mismo vector. Perpendicularidad: Es perpendicular a todos los demás vectores. Dirección Indefinida: No tiene una dirección definida.

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Vector unitario "Características" Magnitud Igual a 1: La longitud o magnitud de un vector unitario siempre es 1. Dirección y Sentido: Mantiene la misma dirección y sentido que el vector original. Normalización: Se obtiene dividiendo cada componente del vector original por su magnitud. Uso en Representación: Se utiliza para indicar direcciones en el espacio sin cambiar la magnitud de otros vectores.

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Operaciones con vectores Las operaciones con vectores nos permiten combinar y modificar vectores de formas útiles. Pueden servir para calcular desplazamientos, fuerzas, o cualquier otra magnitud que pueda representarse mediante vectores en el espacio.

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Producto escalar El producto escalar de vectores es un número real, se obtiene multiplicando las respectivas componentes y sumándolas. El producto escalar también puede ayudarnos a medir el ángulo formado por un par de vectores y la posición de un vector respecto a los ejes de coordenadas. .

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Producto vectorial El producto escalar de vectores es un número real, se obtiene multiplicando las respectivas componentes y sumándolas.El producto escalar también puede ayudarnos a medir el ángulo formado por un par de vectores y la posición de un vector respecto a los ejes de coordenadas.

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Regla de la mano derecha La regla de la mano derecha indica la dirección de los ejes de coordenadas. Cuando coloca el pulgar, el dedo índice y el dedo medio de la mano derecha para que formen tres ángulos rectos, el pulgar representa el eje x, el dedo índice el eje y y el dedo medio el eje z..

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¿Que relacion hay entre las direcciones de los vectores u, v y u+v? Los tres vectores se encuentran en el mismo plano y siguen una secuencia. Esta secuencia de vectores u , v y + u + v se puede ilustrar con el concepto de suma de vectores.

Vector u + v : Su dirección y magnitud dependen de cómo se relacionan u y v.La dirección de u + v será tal que forme un ángulo con u y v , siguiendo la regla del paralelogramo o la ley del coseno, dependiendo de si trabajamos en un espacio euclidiano o tridimensional.

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¿Que relacion hay entre las normas de u y au? Es que la magnitud del vector resultante α u es igual al producto del valor absoluto de α y la magnitud de u .

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¿Que relacion hay entre las direcciones de u y au? La relación entre las direcciones de un vector u y su múltiplo por un escalar α u es que ambos vectores tienen la misma dirección en el espacio.Si u es un vector no nulo, entonces el vector α u tiene la misma dirección que u para cualquier valor escalar real α ≠ 0.

Combinaciòn lineal de los vectores i,j,k.

Ejemplo

Es cualquier vector que se puede expresar como una suma de múltiplos escalares de estos vectores unitarios.

Ejemplo analitico y representaciòn

v = 2i - 3j + k

Ejemplo analitico y representaciòn

v = -i + 2j

Que caracteristica tiene dos vectores ortogonales

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Que si su producto escalar es cero

Que caracteristica tiene dos vectores ortogonales

El producto punto de dos vectores se calcula multiplicando las componentes correspondientes de los vectores y sumando los resultados.

u⋅v=0

Si esta suma da cero, los vectores son ortogonales, lo que significa que forman un ángulo recto (90 grados) entre ellos.

Vectores en el plano cartesiano:

Considera los vectores u=(1,2) y 𝑣=(−2,1)u⋅v=1(−2)+2(1)=−2+2=0

Vectores en el espacio tridimensional:

Considera los vectores a=(1,0,0) y b=(0,1,,0).a*b=1(0)+0(1)+0(0)=0

Comprobacion geometrica de que dos vectores son ortogoanles

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%

Qué característica tienen dos vectores paralelos?

Dos vectores u y 𝑣v son paralelos si uno es un múltiplo escalar del otro. u=kv

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k es un número real. Que los vectores tienen la misma dirección, aunque pueden tener diferentes magnitudes y sentidos (positivos o negativos).

Vectores en el plano:

Considera los vectores u=(2,4) y v= (1,2).u=2v

Vectores en el espacio tridimensional:

Considera los vectoresa=(3,6,9) y b=(1,2,3). a=3b

Comprobacion geometrica de que dos vectores son paralelos