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IAN SANTIAGO BARREDO EHUÁN

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FUNCIONES

Funciones

ÍNDICE

1.3

1.13

1.11

1.7

1.6

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1.9

1.5

1.15

1.14

1.4

1.10

1.1

1.8

1.2

1.12

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INTRODUCCIÓN

Las funciones matemáticas son herramientas fundamentales para describir relaciones entre variables en una amplia gama de disciplinas. Entre los conceptos clave en el estudio de funciones se encuentran las transformaciones rígidas y no rígidas, las funciones pares e impares, y la función inversa. Estos conceptos permiten analizar cómo las funciones pueden ser manipuladas y cómo esas manipulaciones afectan sus propiedades y gráficas.Cada uno de estos conceptos juega un papel crucial en el análisis de funciones, proporcionando métodos para comprender y manipular las representaciones matemáticas de fenómenos en la naturaleza y en las ciencias aplicadas.

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1.1 Los números reales y sus subconjuntos

Los números reales son aquellos que pueden encontrarse en la recta numérica. Incluyen los números racionales (fracciones, decimales finitos y decimales periódicos) y los irracionales (decimales infinitos no periódicos). Los subconjuntos principales de los números reales son:

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Los subconjuntos principales de los números reales son:

• Naturales
• Enteros
• Racionales
• Reales

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Un intervalo es un conjunto de números reales que están entre dos valores dados. Se pueden clasificar en:Intervalo cerrado [a, b]: incluye los extremos a y b.Intervalo abierto (a, b): no incluye los extremos.Intervalo semiabierto [a, b) o (a, b]: incluye solo uno de los extremos.Representación gráfica: Se utiliza una recta numérica, marcando los extremos con un punto sólido (cuando se incluye el extremo) o un punto hueco (cuando no se incluye).

1.2 Intervalos en los reales y su representación gráfica

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1.3 Definiciones básicas: variable (dependiente e independiente), relación, función, dominio y rango

• Variable independiente: Es la variable que se manipula o se establece como entrada en una función o ecuación.
• Variable dependiente: Es la variable que depende de la independiente, es el resultado o salida de la función.
• Relación: Es una correspondencia entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.

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• Función: Es un tipo especial de relación donde cada elemento del primer conjunto (dominio) se asocia con exactamente un elemento del segundo conjunto (codominio).
• Dominio: Conjunto de todos los posibles valores de entrada (variable independiente) para los cuales la función está definida.
• Rango: Conjunto de todos los posibles valores de salida (variable dependiente) de la función.

1.4 Función real de variable real y sus distintas representaciones (analítica, numérica, gráfica y verbal)

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Funciones polinomiales: Son funciones expresadas como un polinomio, como f(x)=3x3 −2x2 + x −5.Funciones racionales: Son funciones que se expresan como el cociente de dos polinomios, como 𝑓(𝑥)=2𝑥2+3/𝑥-1Ejemplo: 𝑓(𝑥)=𝑥2−4 es una función polinomial; 𝑔(𝑥)=2𝑥/𝑥+1 es una función racional.

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1.5 Funciones algebraicas: polinomiales y racionales

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1.6 Funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales

Funciones trigonométricas: Relacionadas con los ángulos y los lados de un triángulo, como: sin(x),cos(x),tan(x).Funciones logarítmicas: La inversa de las funciones exponenciales, como log(x).Funciones exponenciales: De la forma f(x)=a^x, donde "a" es una constante positiva.Ejemplo: f(x)=e^x, es una función exponencial; g(x)=log(x) es una función logarítmica; h(x)=sin(x) es una función trigonométrica.

Hacemos sabotaje al aburrimiento

1.7 Funciones definidas por partes

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1.8 Operaciones con funciones: Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Composición

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Adición: (f+g)(x)=f(x)+g(x)Sustracción: (f−g)(x)=f(x)−g(x)Multiplicación: (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)División: (𝑓/𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) (donde 𝑔(𝑥) ≠ 0).Composición: (f∘g)(x)=f(g(x))Ejemplo: Si f(x)=x^2 y g(x)=2x+3, entonces (f+g)(x)=x^2 +2x+3 y (f∘g)(x)=(2x+3)^2 .

1.9 Transformaciones rígidas y no rígidas

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Transformaciones No Rígidas

• Transformaciones no rígidas: Alteran la forma de la gráfica (dilataciones, compresiones).
• Las transformaciones no rígidas son aquellas que cambian la forma o el tamaño de la figura o el gráfico de una función.

Transformaciones Rígidas

• Transformaciones rígidas: Cambian la posición de la gráfica sin alterar su forma (traslaciones, reflexiones, rotaciones).
• Las transformaciones rígidas son aquellas que no cambian la forma ni el tamaño de la figura o la función.

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Una función que no cumple ninguna de las propiedades anteriores (ni f(−x)=f(x) ni f(−x)=−f(x)) se clasifica como ni par ni impar.

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Las funciones pares, impares, y aquellas que no son ni pares ni impares, son clasificaciones importantes en el análisis de funciones, especialmente cuando se trata de simetrías en el plano cartesiano. Vamos a explorar cada una de estas categorías. Funciones pares: Simétricas respecto al eje y, cumplen f(−x)=f(x).Funciones impares: Simétricas respecto al origen, cumplen f(−x)=−f(x).Funciones ni pares ni impares: No cumplen ninguna de las propiedades anteriores.

1.10 Funciones pares, impares y ni par ni impar.

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1.11 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Función Biyectiva

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Una función f:A→B es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo. Esto implica que cada elemento de B es imagen de un único elemento de A, es decir, la función establece una correspondencia uno a uno entre los elementos de A y los de B.Ejemplo: La función f(x)=x+1 es biyectiva cuando el dominio y el codominio son los números reales, porque es inyectiva y suprayectiva.

Función Suprayectiva

Una función f:A→B es suprayectiva (o sobreyectiva) si cada elemento del conjunto B es la imagen de al menos un elemento del conjunto A. Esto significa que el rango de f es igual al codominio B.Ejemplo: La función f(x)=x^2 con dominio los números reales no es suprayectiva si el codominio son todos los reales, ya que no existe ningún valor de x tal que f(x)=−1. Sin embargo, es suprayectiva si el codominio se restringe a los números reales no negativos.

Función Inyectiva

Una función f:A→B es inyectiva (o uno a uno) si cada elemento de B es imagen de, a lo sumo, un único elemento de A. Esto significa que no hay dos elementos distintos en el dominio A que se correspondan con el mismo elemento en el codominio B.Ejemplo: La función f(x)=2x+3 es inyectiva, ya que si f(a)=f(b), entonces a=b.

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Condiciones para que una Función tenga Inversa:Para que una función tenga una inversa, debe cumplir dos condiciones importantes:Debe ser biyectiva: Esto significa que la función debe ser tanto inyectiva como suprayectiva.Inyectiva (uno a uno): Cada valor de y en el codominio está asociado con un único valor de x en el dominio.Suprayectiva (sobre): Cada valor de y en el codominio tiene un preimagen x en el dominio.Debe ser continua y monotónica: Aunque no es una condición estrictamente necesaria, si la función es continua y estrictamente creciente o decreciente (monotónica), entonces tendrá inversa en su dominio.

1.12 La función inversa

La función inversa de una función f(x) es una nueva función, denotada como (x), que "revierte" la acción de f(x). Es decir, si f(x) transforma un valor x en un valor y, entonces la función inversa f^−1(x) toma y y lo devuelve a x. Formalmente, una función f(x) y su inversa f^−1(x) cumplen la siguiente propiedad:f(f^−1(x))=xyf −1(f(x))=x

Una función implícita es una función que no se encuentra resuelta explícitamente para una variable. En lugar de estar en la forma y=f(x), se da en una forma que relacio^na directamente x y y mediante una ecuación, como F(x,y)=0.Para encontrar dx/dy cuando se tiene una función implícita, se utiliza la derivación implícita.Ejemplo: Dada la ecuación 𝑥^2+𝑦^2=1x^2+y^2 =1, que representa un círculo, y no está despejada en términos de x, por lo que esta es una función implícita.

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No nos gusta aburrir. No queremos ser repetitivos.

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1.13 La función implícita

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1.14 Formulación de funciones como modelos matemáticos en diferentes contextos

Las funciones se utilizan como modelos matemáticos para representar situaciones reales en diferentes campos como la física, economía, biología, entre otros. La modelación matemática consiste en formular una función que describa el comportamiento de un sistema o fenómeno real. Ejemplos:

• En física, la función s(t)= 1/2gt^2 modela la distancia recorrida por un objeto en caída libre.
• En economía, la función de oferta y demanda se puede modelar como Q=f(P), donde Q es la cantidad demandada u ofrecida y 𝑃 es el precio.

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1.15 Modelación de fenómenos (físicos, químicos, económicos...) como funciones

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En conclusión, el estudio detallado de las funciones matemáticas abarca una variedad de conceptos fundamentales que son cruciales para el análisis y la aplicación de estas herramientas en diferentes áreas del conocimiento. A través de la comprensión de las transformaciones rígidas y no rígidas, hemos aprendido cómo las funciones pueden ser manipuladas sin alterar su forma original o, por el contrario, modificando su tamaño y orientación en el plano. Estas transformaciones son esenciales para visualizar cómo una función puede cambiar de posición o forma y cómo estos cambios se reflejan en su gráfica.

CONCLUSIÓN

1.10 Funciones pares, impares y ni par ni impar.

Una función f(x) es par si cumple la siguiente propiedad: 𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥) para todo 𝑥 en el dominio de f(−x)=f(x)para todo x en el dominio de f; esto significa que el valor de la función no cambia si se sustituye x por −x. Geométricamente, las funciones pares son simétricas respecto al eje y.Una función f(x) es impar si cumple la siguiente propiedad: f(−x)=−f(x)para todo x en el dominio de f; esto significa que si se cambia el signo de x, el valor de la función también cambia de signo. Geométricamente, las funciones impares son simétricas respecto al origen. Esto implica que si giras la gráfica 180 grados alrededor del origen, la función coincide consigo misma.

1.4 Función real de variable real y sus distintas representaciones (analítica, numérica, gráfica y verbal)

Representación analítica: Expresión algebraica de la función, por ejemplo, f(x)=x2 +2x+1.Representación numérica: Mediante una tabla de valores que muestra algunas parejas (x, f(x)).Representación gráfica: Es la representación visual de la función en un plano cartesiano.Representación verbal: Descripción en palabras de la relación entre las variables.Ejemplo: La función f(x)=x 2puede representarse analíticamente, construir una tabla de valores para representar numéricamente, dibujar la parábola correspondiente para la gráfica, y describirla verbalmente como "el cuadrado de la variable x".

1.3 Definiciones básicas: variable (dependiente e independiente), relación, función, dominio y rango

Ejemplo: En la función: y=2x+3, x es la variable independiente, Y y es la dependiente, el dominio podría ser todos los números reales, y el rango también.

1.8 Operaciones con funciones:Adición, Sustracción, Multiplicación, División y Composición1.9 Transformaciones rígidas y no rígidas.1.10 Funciones pares, impares y ni par ni impar.1.11 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.1.12 La función inversa.1.13 La función implícita.1.14 Formulación de funciones como modelos matemáticos en diferentes contextos.1.15 Modelación de fenómenos (físicos, químicos, económicos...) como funciones.

1.1 Los números reales y sus subconjuntos.1.2 Intervalos en los reales y su representación gráfica.1.3 Definiciones básicas: variable (dependiente e independiente), relación, función, dominio y rango.1.4 Función real de variable real y sus distintas representaciones (analítica, numérica, gráfica y verbal).1.5 Funciones algebraicas: polinomiales y racionales.1.6 Funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.1.7 Funciones definidas por partes.

1.1 Los números reales y sus subconjuntos

Aquí puedes incluir un dato relevante a Naturales (ℕ): 1, 2, 3, ... Enteros (ℤ): ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Racionales (ℚ): números que pueden expresarse como fracción de dos enteros. Irracionales: números que no pueden expresarse como fracción, como √2, π. Reales (ℝ): la unión de todos los subconjuntos anteriores. Ejemplo: Un número natural es 3, un entero es -5, un racional es 3/4, un irracional es π, y todos estos son números reales. destacar

1.15 Modelación de fenómenos (físicos, químicos, económicos...) como funciones

Esta área se refiere al uso de funciones para modelar fenómenos en diversas disciplinas. Dependiendo del fenómeno, las funciones pueden ser lineales, cuadráticas, exponenciales, entre otras; ejemplos:Fenómeno físico: La ley de enfriamiento de Newton, que puede modelarse con una función exponencial.Fenómeno químico: La velocidad de una reacción química que sigue la ley de velocidad, expresada como v=k[A] m [B] n , donde A y B son las concentraciones de los reactivos.Fenómeno económico: La función de utilidad en economía, que describe cómo los consumidores toman decisiones para maximizar su satisfacción.

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