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Integrales Dobles Regiones Generales

Definición

La definición de la suma de Riemann se puede extender para Funciones de R²→R en regiones (D) más generales. Deben estar acotada por un rectángulo R=[a,b]x[c,d]

Teorema de Fubini

TIPOS DE REGIONES

Doble suma de Riemann

Región Plana Tipo I

Región Plana Tipo II

Región Plana Tipo III

EjemploTipo 2

Ejemplotipo 1

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

Ejemplo 5

Definición

Sea f: R²→R una función continua en una región D del plano xy:

Fuentes:

1. Si D es una región tipo 1 con funciones continuas en [a,b] entonces:

1. Si D es una región tipo 2 con funciones continuas en [c,d] entonces:

Los valores de y están entre f1(x) y f2(x) mientras que los valores de X estánentre a y b.

Una región Plana tipo 1 en el plano xy, se define como:con f1(x) y f2(x) funciones continuas en [a,b].

Región Plana Tipo 1

Definición

Gráfica

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Si se invierte el orden de integración de la figura entonces nos queda :

Determine el volumen del prisma cuya base es la región D del plano xy limitada por el eje y y las rectas y=x y y=1 con su parte superior en el plano z= (f(x,y)=4Cómo la base del prisma es una región de tipo 3, como se muestra en la imagen, el volumen del prisma viene dado por :

EJEMPLO 1

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Determine el volumen de la cuña bajo la superficie z=f(x,y)= 4-x²-y² y encima de la región D en el plano xy acotada por las curvas x= y², y=2x-1 y el eje x.Cómo se observa en la figura la región D={(x,y)|y² ≤x≤y+1/2^0≤y≤1) es tipo 2, por lo que el volumen de la cuña viene dado por :

EJEMPLO 4

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Los valores de X están entre g1(y) y g2(y) mientras que los valores de Y están entre c y d.

Una región Plana tipo 2 en el plano xy, se define como:con g1(y) y g2(y) funciones continuas en [c,d].

Región Plana Tipo 2

Definición

Gráfica:

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• se puede integrar indistintamente, ya sea primero con respecto a x o y
• se considera la region tipo III

Determine el volumen del solido en el primer octante acotado por los planos coordenados, el cilindro x+y=4 y el plano z+y=3

EJEMPLO 5

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Tal que:Por el teorema de Fubini, tenemos:Resolviendo, tenemos que:Por lo que:

Sea f: R^2->R una función continua definida sobre una región D tipo 1 del plano xy. Sea un rectángulo R=[a,b]x[c,d], tal que la región D este completamente contenida en R.Definimos:

Integrales dobles sobre región Tipo I

Definimos:

donde:

• 𝑓(𝑥𝑖,𝑦𝑗) es el valor de la función en el punto(𝑥𝑖, 𝑦𝑗) dentro del subrectángulo
• ΔAij son las dimensiones de los subrectángulos.

La suma doble de Riemann se utiliza para aproximar el valor de una integral doble sobre una región rectangular en el plano. La transición de una suma doble de Riemann a una integral doble consiste en tomar el límite a medida que los subrectángulos se vuelven infinitesimalmente pequeños. Formalmente, esto se logra dejando que el número de subdivisiones en ambas direcciones (horizontal y vertical) tienda a infinito, mientras que las dimensiones de cada subrectángulo tienden a cero.

Definición

Suma Doble de Riemann

• La región de integración en este ejemplo es del Tipo III.
• Se puede invertir el orden de integración.
• Si invertimos el orden, llegaríamos a la misma evaluación.

En este caso, la región está determinada por las desigualdades 0 ≤ y ≤sen(x) y 0 ≤ x ≤π. El sólido está limitado superiormente por el plano z = f(x,y) = y, e inferiormente por z = 0.La evaluación pedida al desarrollar la integral es π/4.

Represente la región de integración y evalue la integral: (∫0->π∫0->sen(x))y dy dx

Ejemplo 2

Sólido (lado izquierdo) y región de integración (lado derecho)

Por lo tanto:

Supongamos una región D tipo II completamente contenida en un rectángulo R, la integral doble de una función continua f: R^2->R, sobre esta región plana, la podemos obtener de la siguiente manera (similar al caso anterior):

Integrales dobles sobre región Tipo II

Dibuje la región de integración y evalúe la integral doble con el orden de integración cambiado de:

EJEMPLO 3

La región D de integración está determindo por:

Cuando integramos respecto a Y, vemos que Y oscila entre 1-X y 1-x2 mientras que x oscila entre 0 y 1.

Después de integrar y evaluar respecto a las dos variables, obtenemos:

Cuando integramos respecto a X, vemos que X oscila entre 1 - Y y sqrt(1-Y)

Vemos que en la imagen 1, los valores de y estan definidos en f1(x) y f2(x) y los valores de x están definido en a y b.En la segunda imagen, los valores de x están definidos en g1(y) y g2(y) y Y entre c y d

Una región Plana tipo 3 en el plano xy, puede ser considerada como región plana tipo 1 o región plana tipo 2

Región Plana Tipo 3

Definición

Grafica:

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