Presentación Calculo

CALCULO DIFERENCIAL

TEMAS DE CALCULO

14

Tipos de discontinuidades.

13

Continuidad en un punto y en un intervalo.

12

Límites infinitos y al infinito.

11

Exponenciales y logarítmicas.

Límites de funciones trigonometricas

10

Límites de funciones tracencentales

Límites de funciones racionales.

Límites laterales

Cálculo de límites por métodos algebraicos

Propiedades de los límites.

Cálculo de límites por métodos tabular y gráfico.

Concepto de indeterminación y sus distintas formas

Definición intuitiva de límite

Introducción al concepto de límite de una función de variable real

Índice

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El concepto de límite es fundamental en el análisis matemático y es crucial para entender el comportamiento de las funciones de variable real. En términos simples, el límite de una función describe cómo se comporta esta función a medida que la variable independiente se acerca a un cierto valor.

Introducción al concepto de límite de una función de variable real:

El concepto de límite se refiere a la idea de qué valor se acerca una función a medida que la variable independiente se acerca a cierto punto. Es decir, representa el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un determinado valor, sin necesariamente alcanzarlo. Para entenderlo mejor, consideremos la función f(x) = {x^3 - 1}/{x - 1} y observemos su comportamiento cuando x se acerca a 1 que es un valor donde esta función no está definida. Para analizar este comportamiento podemos realizar evaluaciones sucesivas por la derecha y por la izquierda. Por la derecha, evaluamos f(x) cuando x se acerca a 1 desde valores mayores que 1:

Definición intuitiva de límite

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Y como ambos límites se aproximan al mismo valor, el límite general \lim_{{x \to 1}} f(x) es igual a 3.

Observamos que a medida que x se acerca a 1, ya sea desde la izquierda o desde la derecha, los valores de f(x) tienden a 3. Estos dos valores, son los que conocemos como límites laterales, publicación que te recomiendo leer para comprender tanto la denotación como las conclusiones que te indico de aquí en adelante. Por lo tanto, podemos concluir que:

Por la izquierda, evaluamos f(x) cuando x se acerca a 1 desde valores menores que 1:

Definición intuitiva de límite

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A continuación tienes el cuadro resumen con las técnicas habituales a aplicar en cada caso. Visita los puntos correspondientes para entender cada uno de ellos, y estudiar los ejemplos asociados.

Concepto de indeterminación y sus distintas formas:

Concepto de indeterminación y sus distintas formas

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Método Gráfico El método gráfico implica la representación visual de la función en un sistema de coordenadas. Al trazar la gráfica, se puede observar cómo se comporta la función cuando la variable se aproxima a un cierto valor.

Introducción al Cálculo de LímitesEl cálculo de límites es un concepto fundamental en el análisis matemático, crucial para comprender el comportamiento de las funciones a medida que sus variables independientes se acercan a ciertos valores. Los límites son esenciales en el estudio del cálculo diferencial e integral, así como en la definición de continuidad y derivadas.Cuando se busca evaluar un límite, existen varios métodos que pueden utilizarse para facilitar el proceso. Dos de los enfoques más intuitivos son el método tabular y el método gráfico.Método TabularEl método tabular consiste en evaluar la función en varios puntos cercanos al valor al que se aproxima la variable. Este enfoque permite observar cómo cambia el valor de la función a medida que la variable se acerca al límite deseado.

Cálculo de límites por métodos tabular y gráfico.

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El cálculo de límites es uno de los conceptos fundamentales en el análisis matemático y en el estudio del cálculo. Los límites nos permiten entender cómo se comporta una función a medida que la variable independiente se aproxima a un valor específico. Esta comprensión es esencial para conceptos avanzados como la continuidad, la derivación y la integración. Para facilitar el cálculo de límites, existen diversas propiedades que permiten simplificar y resolver problemas. Estas propiedades establecen reglas que se pueden aplicar a las funciones al calcular sus límites, haciendo que el proceso sea más estructurado y menos propenso a errores.

Propiedades de los límites.

Cálculo de límites por métodos algebraicos:

El cálculo de límites por métodos algebraicos es una técnica fundamental en el análisis matemático. Aquí te presento un resumen de las técnicas y pasos a seguir para calcular límites de manera efectiva usando álgebra.

Concepto de límites laterales A la izquierda, en 1, concepto y notación del límite por la izquierda. Observa que, a medida que tomamos valores próximos a a, pero menores que este (fondo verde claro), los correspondientes valores de f(x), en rojo, se aproximan a Li. Decimos que Li es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la izquierda. En 2, el concepto y notación del límite por la derecha. A medida que tomamos valores próximos a a, pero mayores que este (fondo verde oscuro), los correspondientes valores de f(x) se aproximan a Ld. Decimos que Ld es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la derecha.

Límites laterales.

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En la definición de límite de una función en un punto decíamos que era el valor al que se aproximaba la función f(x) cuando la x se acercaba a a. Pero a a, siempre que sea un valor finito, podemos acercarnos por la izquierda, esto es, tomando valores menores que a, o por la derecha, es decir, tomando valores mayores que a. Los límites laterales contamplan precisamente estas dos posibilidades.

Donde, lim es la manera abreviada de escribir límite, x → a se lee «cuando x tiende al valor a en la función», es decir, cuando la variable x toma valores muy cercanos al valor a y L es el resultado del límite. En el estudio de los límites de funciones racionales, debemos tener cuidado con las indeterminaciones que se nos presenten y tener conocimiento de álgebra, como por ejemplo, la factorización, potenciación, entre otras. No existe una regla para resolver un límite, sin embargo, lo primero que haremos al enfrentar un problema será evaluarlo, luego buscar la forma de simplificarlo y volverlo a evaluar con el fin de obtener su valor final.

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Los límites son un concepto fundamental en cálculo que nos permiten entender el comportamiento de funciones a medida que sus variables se acercan a un valor específico. Las funciones racionales, que son cocientes de polinomios, presentan características especiales que facilitan su análisis en el cálculo de límites.​

Límites de funciones racionales.

Los límites de funciones trascendentes son una extensión crucial del concepto de límites en cálculo. Las funciones trascendentes incluyen aquellas que no pueden expresarse como cocientes de polinomios, como las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus combinaciones. Estas funciones juegan un papel fundamental en matemáticas, ciencias e ingeniería. ¿Qué Son las Funciones Trascendentes? Las funciones trascendentes son aquellas que no son algebraicas, es decir, no se pueden expresar como soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales o complejos. Algunos ejemplos comunes son: Funciones Exponenciales: 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑒 𝑥 f(x)=e x Funciones Logarítmicas: 𝑓 ( 𝑥 ) = ln ⁡ ( 𝑥 ) f(x)=ln(x) Funciones Trigonométricas: 𝑓 ( 𝑥 ) = sin ⁡ ( 𝑥 ) , cos ⁡ ( 𝑥 )

Límites de funciones trascendentes

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Las funciones exponenciales y logarítmicas son dos de las herramientas matemáticas más importantes y versátiles, utilizadas en diversas disciplinas como matemáticas, ciencias, economía e ingeniería. Comprender sus propiedades y cómo se relacionan es fundamental para el estudio del cálculo y el análisis matemático.

Exponenciales y logarítmicas.

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Los límites infinitos y los límites al infinito son conceptos fundamentales en cálculo que describen el comportamiento de las funciones en situaciones extremas. Estos límites son útiles para entender la continuidad, la existencia de asíntotas y el comportamiento de funciones en valores muy grandes o cerca de puntos de discontinuidad.

Límites infinitos y al infinito.

La continuidad es un concepto fundamental en el cálculo y el análisis matemático, que describe el comportamiento de una función en relación con su dominio. Una función se considera continua si no presenta saltos, rupturas ni discontinuidades en su gráfica. A continuación, se exploran los conceptos de continuidad en un punto y en un intervalo.

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Continuidad en un punto y en un intervalo

Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición.Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Tipos de discontinuidades