4.4. Sistema de ecuaciones lineales.

Interactúa con la siguiente infografía y conoce los diferentes métodos para la solución de ecuaciones.

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Sistema de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal

Un sistema de ecuaciones

es un conjunto de ecuaciones en el que hay dos o más variables. En forma general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables se representa de la siguiente manera: a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2 donde a11, a12, a21, a22 son los coeficientes de las variables, mientras que x1, x2 son las variables y b1, b2 son las constantes del sistema.

es aquella cuya variable o incógnitas, tiene como máximo exponente 1, y se les llama lineales por la razón que, al graficar o representarlas en un plano cartesiano generan líneas rectas. Los sistemas de ecuaciones lineales tienen como conjunto solución todos los pares ordenados (x, y), que satisfacen la ecuación, donde x y y son números reales.

Info

La solución de un sistema de ecuaciones la puedes obtener por algunos de los siguientes métodos:

Método gráfico

Método de sustitución

Método de igualación

Método de eliminación (suma o resta)

Método de determinantes

Regla de Cramer

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Método gráfico

• Este método tiene limitaciones cuando la solución no es entera o cuando la escala de los ejes son valores muy pequeños o grandes, mostrando la solución del sistema en forma aproximada.

• La ecuación lineal con dos variables ax + by = c tiene por lugar geométrico (gráfica) una línea recta. Para trazar la gráfica de la ecuación ax+by=c procede de la siguiente manera:
• Asigna tres valores a la variable «x».

• Sustituye estos valores en la ecuación y calcula los valores de la variable «y».
• Forma las parejas (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) con los valores que asignaste a «x» y los valores que obtuviste de «y».

• Gráfica estas parejas en el sistema coordenado rectangular, si no hay error en los cálculos, los puntos asociados con estas parejas son colineales (están sobre una recta).

Método de sustitución

• Empezamos con una ecuación en el sistema y despejamos una incógnita en términos de la otra incógnita.

• Despeja una incógnita. Escoge una ecuación y despeja una incógnita en términos de la otra incógnita.
• Sustituir. Sustituye la expresión hallada en el Paso 1 en la otra ecuación, para obtener una ecuación con una incógnita y, a continuación despeja esa incógnita.
• Sustituir a la inversa. En la expresión hallada en el Paso 1, sustituye el valor hallado en el Paso 2 para despejar la incógnita restante.

Método de determinantes

Para una mejor comprensión de este método es conveniente mencionar brevemente dos conceptos que están incluidos en el estudio de las matemáticas: “matrices y determinantes”.

Matrices

Determinantes

Una matriz es un conjunto de números reales que se caracteriza por que sus elementos están escritos en renglones y columnas. La notación para las matrices es por medio de paréntesis oblicuos o por medio de corchetes

Un determinante se define como el número real que está asociado con una matriz cuadrada. El símbolo que identifica al determinante es el signo de valor absoluto.

Método de eliminación

(suma o resta)

Para resolver un sistema usando el método de eliminación, tratamos de combinar las ecuaciones usando sumas o restas para eliminar una de las incógnitas.

1. Ajustar los coeficientes. Multiplica una o más de las ecuaciones por números apropiados, de modo que el coeficiente de una incógnita de una ecuación sea el negativo de su coeficiente en la otra ecuación.
2. Sumar las ecuaciones. Suma las dos ecuaciones para eliminar una incógnita y, a continuación, despeja la incógnita restante.
3. Sustituir a la inversa. En una de las ecuaciones originales, sustituye el valor hallado en el Paso 2 y despeja la incógnita restante.

Método de igualación

En este método se aplica la propiedad multiplicativa, aditiva, transitiva y de sustitución, el método se basa en que despejes la misma variable en cada una de las ecuaciones, y luego igualar ambos despejes.

Regla de Cramer

Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse mediante determinantes por el método conocido como “Regla de Cramer”; la limitante de este método es que el número de ecuaciones sea igual que el número de variables.