Funciones

f(x)

Funciones

¡Vamos!

1.7

Índice

1.1

Los numeros reales y subconjuntos

1.2

Intervalos en los reales y su representacion grafica

1.3

Definiciones basicas (variable, relacion, funcion, dominio y rango

1.4

Funcion real de variable real y sus distintas representaciones

1.5

Funciones algebraicas polinomiales y exponenciales

1.6

Funciones tracendentes, trigonometricas, logaritmicas y exponenciales

Funciones definidas por partes

1.8

Operaciones con funciones

1.9

Trasnformaciones rigidas y no rigidas

1.10

Funciones pares ni impares y ni par ni impar

1.11

Funcion inyectiva, suprayectiva y biyectiva

1.12

La funcion inversa

1.13

La funcion implicita

1.14

Formulacion de funciones como modelos matematicos en diferentes contextos

1.15

Modelacion de fenomenos (fisicos, quimicos, economicos) como funciones

Los numeros reales y subconjuntos

El sistema de números reales (ℝ) incluye subconjuntos como los naturales (ℕ), enteros (ℤ), racionales (ℚ) e irracionales. Se caracteriza por propiedades como la densidad y el orden total, y se define axiomáticamente con operaciones de adición y multiplicación.

Intervalos reales y su representacion grafica

Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y contiene a todos los números reales que están comprendidos entre dos cualesquiera de sus elementos. Geométricamente los intervalos corresponden a segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.

Definiciones basicas (variable, relacion, funcion, dominio y rango

1. Variable:Símbolo que representa un valor que puede cambiar o variar, comúnmente representado por letras.2. Relación:Conjunto de pares ordenados que conecta elementos de dos conjuntos. Ejemplo: "es mayor que" entre números.3. Función:Relación que asigna a cada elemento del dominio (conjunto de entrada) un único elemento del rango (conjunto de salida).4. Dominio:Conjunto de todos los posibles valores de entrada en una función.5. Rango:Conjunto de todos los posibles valores de salida generados por una función.

Una función real de variable real es una función donde tanto el dominio (conjunto de entrada) como el codominio (conjunto de salida) son subconjuntos de los números reales ( 𝑅 R). Es decir, para cada número real 𝑥 x en el dominio, la función asigna un único número real 𝑓 ( 𝑥 ) f(x) en el rango. Representaciones de una Función Real de Variable Real Representación Analítica (Expresión algebraica): La función se define mediante una fórmula o ecuación matemática. Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 + 3 f(x)=2x+3. Representación Gráfica: La función se representa como una curva o línea en un plano cartesiano. El eje horizontal (eje 𝑥 x) representa las entradas, y el eje vertical (eje 𝑦 y) representa las salidas. Representación Tabular: Se representa mediante una tabla que asocia cada valor de 𝑥 x con su correspondiente valor 𝑓 ( 𝑥 ) f(x). Esto es útil cuando se trabaja con datos discretos. Representación Verbal: La función se describe con palabras, explicando cómo se relaciona cada valor de entrada con su salida. Ejemplo: "La función suma 3 al doble de cualquier número".

Funcion real de una variable real y sus diferentes representaciones

Funciones Polinomiales: Definición: Son funciones de la forma 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎 1 𝑥 + 𝑎 0 f(x)=a n ​ x n +⋯+a 1 ​ x+a 0 ​ , donde 𝑛 n es un entero no negativo. Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 3 − 𝑥 + 7 f(x)=4x 3 −x+7 (polinomio de grado 3). Características: Las gráficas varían según el grado: lineales (rectas), cuadráticas (parábolas), cúbicas (curvas en forma de "S"). Funciones Exponenciales: Definición: Son funciones de la forma 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎 ⋅ 𝑏 𝑥 f(x)=a⋅b x , con 𝑏 > 0 b>0 y 𝑏 ≠ 1 b  =1. Ejemplo: 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 ⋅ 2 𝑥 f(x)=5⋅2 x . Características: Crecen o decrecen rápidamente, tienen una asíntota horizontal en 𝑦 = 0 y=0.

Funciones algebraicas polinomiales y exponenciales

Funciones trigonometricas, logaritmicas y exponenciales

Funciones trigonometricas:Funciones relacionadas con ángulos, como seno (sin), coseno (cos), y tangente(tan).Funciones logaritmicas:Funciones inversas de las exponenciales, de la forma 𝑓(𝑥)=log𝑏(𝑥) donde 𝑏>0 y b≠1Funciones exponenciales: Funciones de la forma f(x)=a⋅bx donde b>0 y 𝑏≠1

Funciones definidas por partes

Las funciones definidas por partes son funciones que se describen usando diferentes expresiones en distintos intervalos del dominio. Cada "parte" de la función tiene su propia fórmula, y la función completa se define combinando todas estas partes.Una función definida por partes se expresa mediante varias expresiones, cada una aplicable a un intervalo específico del dominio.

Operaciones con funciones

Las operaciones con funciones son la suma, resta, multiplicación y división de funciones, que pueden generar otras funciones. Estas operaciones se pueden realizar de manera sencilla, pero es necesario aplicar correctamente el proceso algebraico para calcularlas. Las operaciones con funciones se pueden realizar con funciones que tengan dominios que se traslapen. Además, se pueden ilustrar geométricamente para mostrar cómo se comportan. Para realizar operaciones con funciones, se pueden aplicar los procedimientos de suma, resta y división de polinomios, que se ven en álgebra básica.

Transformaciones rigidas y no rigidas

Una transformación rígida es un movimiento que no cambia las medidas de una figura, mientras que una transformación no rígida no mantiene las mismas medidas. Los tres tipos de transformaciones rígidas son: Traslación: Mueve una figura en una dirección determinada sin cambiar su forma o ángulo. Reflexión: Voltea una figura a través de una línea. Rotación: Gira una figura en un ángulo determinado alrededor de un punto fijo. Para identificar si una transformación es una reflexión, rotación o traslación, se pueden graficar las figuras y compararlas.

Funciones pares ni impares

Una función es par si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = f ( x ). Las funciones pares tienen simetría reflectiva a través del eje de las y . Un función es impar si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = – f ( x ). Las funciones impares tienen simetría rotacional de 180º con respecto del origen.

Funcion inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente: ... Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente: ... Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Funcion inversa

una función inversa es aquella que se define en ciertas condiciones para realizar el camino inverso de una función original. Es decir, si f es una función que asigna elementos de I a elementos de J, la función f-1 será la función que realice el camino de vuelta de J a I. En este caso, se dice que f-1 es la función opuesta a la original. Para determinar si una función es la inversa de otra, se puede: Trazar la recta de identidad y = x Verificar que ambas funciones sean simétricas respecto a la recta Comprobar si g ( f ( x ) ) = x o f ( g ( x ) ) = x es verdadera En el caso de una relación binaria, la relación inversa o transposición es la que se obtiene al intercambiar el orden de los elementos de la relación. Por ejemplo, la inversa de la relación "hijo de" es la relación "padre de".

Funcion implicita

Una función implícita es una función que se expresa en términos de variables dependientes e independientes, y en la que la variable dependiente no es una función explícita de la variable independiente. Un ejemplo de función implícita es y-3x 2 +2x+5 = 0.

Formulacion de funciones como modelos matematicos en diferentes contextos

Formular funciones como modelos matemáticos es una técnica poderosa para representar y analizar fenómenos en diferentes contextos.

Modelacion de fenomenos (fisicos, quimicos, economicos) como funciones

La modelación de fenómenos físicos, químicos y económicos mediante funciones matemáticas permite simplificar y entender sistemas complejos.

¡Fin!