2º ESO LOS NÚMEROS ENTEROS

Los Números Enteros

2º ESO

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Los números enteros

Representación en la recta numérica

Valor absoluto

Opuesto

Comparamos/ordenamos

Suma y resta

Multiplicación y división

Combinadas

Múltiplos y divisores

Criterios de divisibilidad

Factorización

MCD y MCM

Problemas de mcd y mcm

LOS NÚMEROS ENTEROS

RECUERDA: Z representa el conjunto de los números enteros, y está formado por: - números enteros positivos: +1, +2, +3... (los escribimos sin el signo +) - cero: 0 - números enteros negativos: -1, -2, -3...

Vídeo de Youtube del canal "El sensei de las mates".

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

Los números enteros los representamos ordenados en la recta numérica teniendo en cuenta: - el cero, divide la recta en dos partes iguales - los números enteros positivos se sitúan a la derecha del cero - los números enteros negativos se sitúan a la izquierda del cero

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número entero es la distancia, en unidades, que lo separa del cero, en la recta numérica. Lo representamos con | |, y es igual al número sin el signo. Ejemplo: | +7| = 7; | -5| = 5

OPUESTO

Dos números enteros distintos decimos que son opuestos si están situados a la misma distancia del cero. Lo representamos con Op, y lo calculamos cogiendo el mismo valor absoluto y cambiándole el signo. Ejemplo: Op (+7) = -7; Op (-5) = +5

COMPARAMOS/ORDENAMOS NÚMEROS ENTEROS

Para comparar números enteros: - cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo - dados dos enteros positivos, es mayor el que mayor valor absoluto tenga - dados dos enteros negativos, es mayor el que menor valor absoluto tenga Si los representamos en la recta numérica, es mayor el que está más a la derecha. Para ordenar números enteros: - agrupamos los positivos por un lado y los negativos por otro - ordenamos los enteros positivos, como si fueran números naturales - ordenamos los enteros negativos, teniendo en cuenta que es mayor el que menor valor absoluto tenga - ordenamos todos los números, teniendo en cuenta que los positivos son mayores que los negativos y que el 0, y el 0 es mayor que todos los negativos

EJEMPLOS

Compara y ordena los siguientes números enteros: -9, 0, +3, +8, -7, -10, +4

-10 < -9 < -7 < 0 < +3 < +4 < +8

Compara y ordena los siguientes números enteros: +2, +5, -3, -1, -2, +4

-3 < -2 < -1 < +2 < +4 < +5

SUMA Y RESTA DE DOS NÚMEROS ENTEROS

Suma de enteros con el mismo signo: - si los sumandos tienen el mismo signo, sumaremos sus valores absolutos y al resultado le pondremos el mismo signo. Suma de enteros con distinto signo: - si los sumandos tienen signo diferente, restaremos sus valores absolutos y al resultado le pondremos el signo del sumando de mayor valor absoluto. Resta de dos números enteros: - sumaremos al primero el opuesto del segundo.

Ejemplos resta: (-6) - (-2) = (-6) + (+2) = -4 (+3) - (+4) = (+3) + (-4) = -1 (-6) - (+2) = (-6) + (-2) = -8 (-4) - (+5) = (-4) + (-5) = -9

Ejemplos suma: (-6) + (-2) = -8 (+3) + (+4) = +7 (-6) + (+2) = -4 (-4) + (+5) = +1

Vídeo de Youtube del canal "El sensei de las mates".

MULTIPLIACIÓN Y DIVISIÓN DE DOS NÚMEROS ENTEROS

Multiplicación/división de dos números enteros: - multiplicamos/dividimos sus valores absolutos - al resultado le añadimos "+" si ambos factores tienen el mismo signo y añadimos "-" si ambos factores tienen distinto signo Regla de signos: + · + = + + : + = + - · - = + - : - = + + · - = - + : - = - - · + = - - : + = -

Ejemplos: (-6) : (-2) = +3 (+16) : (+4) = +4 (-6) : (+2) = -3 (-20) : (+5) = -4

Ejemplos: (-6) · (-2) = +12 (+3) · (+4) = +12 (-6) · (+2) = -12 (-4) · (+5) = -20

Vídeo de Youtube del canal "El sensei de las mates".

OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS

Operaciones combinadas con números enteros - realizamos las operaciones que hay entre corchetes y paréntesis - realizamos las potencias y raíces, en el orden en que aparecen - realizamos las multiplicaciones y divisiones, en el orden en que aparecen - realizamos las sumas y restas, en el orden en que apaceren Ejemplos: (+10) · [(+2) : (-2)] - 7 + (-3) = (+10) · (-1) - 7 + (-3) = - 10 - 7 - 3 = -20

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MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Divisibilidad de números enteros. Dados dos números a y b, si a : b es exacta: - a es divisible por b - a es múltiplo de b - b es un divisor de a

Habitualmente, la divisibilidad la estudiamos para los números positivos, ya que para los negativos se cumplen las mismas propiedades.

EJEMPLOS

Cálculo de los múltiplos de un número: para calcular los múltiplos de un número entero a, tenemos que multiplicarlo por todos los números enteros positivos, por lo que un número entero tiene infinitos múltiplos.

EJEMPLOS

Cálculo de los divisores de un número: para calcular todos los divisores de un número entero a, tenemos que dividirlo entre todos los números enteros positivos menores que él, y quedándonos con los que su división es exacta. Dividiremos hasta llegar a una división en la que el cociente sea menor que el divisor.

EJEMPLOS

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Los criterios de divisibilidad: son reglas que nos permiten comprobar si un número es divisible por otro.

EJEMPLOS

factorización

Factorización un número es expresarlo de forma única como producto de potencias de números primos. Para factorizar un número negativo, factorizamos su valor absoluto y al resultado lo multiplicamos por -1.

Un número es primo cuando es positivo y sus únicos divisores son el 1 y el propio número. En caso contrario, es un número compuesto.

Para factorización un número, dividimos el número entre los sucesivos números primos, tantas veces como se pueda, hasta llegar a la unidad Escribimos el número como producto de los factores primos, y si están repetidos, lo expresamos como una potencia.

EJEMPLOS

Vídeo de Youtube del canal "El sensei de las mates".

M.C.D Y M.C.M.

El máximo común divisor de varios números enteros es el mayor número entero positivo ue es divisor de todos ellos. Cómo calcularlo: factorizamos todos los números, y multiplicamos los fatores primos comunes elevados al menor de sus exponentes. El mínimo común múltiplo de varios números enteros es el menor número entero positivo que es múltiplo de todos ellos. Cómo calcularlo: factorizacións todos los números, y multiplicamos los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor de sus exponentes. Cuando no tienen factores primos comunes, el mcd será el 1 y el mcm será producto de los números. Cuando el mcd es 1, decimos que los números son primos entre sí.

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problemas de mcd o mcm

Analizaremos el problema y decidiremos si tenemos que calcular el mcd o el mcm. Factorizaremos los números necesarios. Calcularemos el mcd o el mcm según corresponda. Interpretaremos el resultado obtenido.