MAPA MENTAL

Semana2

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Forma o expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales

Ejemplo

Semana3

Matriz escalonada reducida por filas paso a paso

Ejemplo

Sistemas de ecuaciones linerales 2x2

Ejemplo

Semana 1

Unidad I

ALGEBRA

MALDONADO HERNANDEZ KEVINDMCU-B-322-h

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Un sistema de ecuaciones 2×22×2 es un conjunto de dos ecuaciones lineales que involucran dos incógnitas. El objetivo principal al trabajar con este tipo de sistema es encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. En otras palabras, buscamos un par de valores que, cuando se sustituyen en cada ecuación, convierten ambas en igualdades verdaderas.Resolver un sistema de ecuaciones 2×22×2 implica determinar si existe una solución única, múltiples soluciones o ninguna solución, dependiendo de la relación entre las ecuaciones. El proceso de resolución puede llevarse a cabo utilizando diversos métodos algebraicos, como la sustitución, eliminación o igualación, así como métodos gráficos para visualizar la intersección de las ecuaciones en un plano cartesiano.

Ejemplo Resuelto (Método de Eliminación):1. 2𝑥+3𝑦=5(Ecuacion 1)2. 4𝑥−𝑦=11(Ecuacion 2) Multiplicamos la Ecuación 1 por 2 para igualar los coeficientes de 𝑥:4𝑥+6𝑦=10Restamos la Ecuación 2 de la ecuación resultante:(4𝑥+6𝑦)−(4𝑥−𝑦)=10−11Simplificando:7𝑦=−1 ⇒ 𝑦=−1/7Sustituimos 𝑦 en la Ecuación 1:2𝑥+3(−1/7)=5 ⇒ 2𝑥−3/7=5 ⇒ 2𝑥=5+3/7 ⇒ 𝑥=38/14Así, la solución es 𝑥=19/7 y 𝑦=−1/7​ .

La forma o expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales es una manera de organizar las ecuaciones utilizando matrices y vectores. En esta representación, cada sistema de ecuaciones lineales puede ser expresado como el producto de una matriz con un vector, igualado a otro vector.Sistema de Ecuaciones Lineales: Consideremos un sistema de ecuaciones con múltiples ecuaciones y varias incógnitas. En cada ecuación, las incógnitas están multiplicadas por ciertos coeficientes, y estos productos se suman para igualar a un término independiente.Forma Matricial: Este sistema de ecuaciones se puede expresar de manera compacta en forma matricial, donde:La matriz de coeficientes es un arreglo rectangular que contiene los coeficientes de las incógnitas en cada ecuación.El vector de incógnitas es una columna que contiene todas las incógnitas del sistema.El vector de términos independientes es otra columna que contiene los valores independientes con los cuales se igualan las ecuaciones.Proceso: Multiplicando la matriz de coeficientes por el vector de incógnitas, se obtiene un nuevo vector. Resolver el sistema significa encontrar el conjunto de valores para las incógnitas que hará que este nuevo vector sea igual al vector de términos independientes.

Sistema de EcuacionesConsideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{2x+3y=6 x−y=1​}Expresión MatricialEl sistema de ecuaciones se puede escribir como: AX=B Donde:(2 ​3​)(x​)=(6​)(1 -1)(y)=(1)InterpretaciónLa matriz (A) contiene los coeficientes de las incógnitas (x) y (y).El vector (X) contiene las incógnitas.El vector (B) contiene las constantes del sistema.

Forma Matricial Para escribir este sistema en forma matricial, seguimos estos pasos:Matriz de Coeficientes ((A)): A=(2 3) (1 ​−1​)Vector de Incógnitas ((X)): X=(x​) (y)Vector de Constantes ((B)):B=(6​) (1)

El objetivo principal es simplificar una matriz de manera que sea más fácil de analizar o resolver. En un sistema de ecuaciones, convertir la matriz a su forma escalonada reducida permite determinar rápidamente si el sistema es consistente (es decir, si tiene una solución) y, en caso afirmativo, encontrar esa solución.Pasos para Convertir una Matriz a su Forma Escalonada Reducida por Filas:Identificar el primer elemento no nulo en la primera fila (este se llama "pivote"). Si la primera fila tiene un cero en la posición donde debería estar el pivote, intercambia esta fila con otra que tenga un elemento no nulo en esa posición.Normalizar el pivote dividiendo toda la fila por el valor del pivote. Esto hace que el pivote sea igual a 1.Eliminar los elementos en la columna del pivote de las otras filas. Esto se hace restando un múltiplo adecuado de la fila del pivote de las otras filas, de modo que los elementos de la columna en esas filas se conviertan en ceros.Moverse a la siguiente fila y columna para encontrar el siguiente pivote. Este pivote debe estar a la derecha del anterior y en una fila inferior. Repite los pasos 1 a 3 para este pivote y continúa este proceso hasta que la matriz esté completamente escalonada.Repetir hasta que no haya más filas por procesar. Cuando se complete el proceso, la matriz estará en una forma donde todos los pivotes son 1, los elementos por debajo de cada pivote son ceros, y los elementos por encima de cada pivote también son ceros.Propósito y Uso:Resolver Sistemas de Ecuaciones: Una vez que el sistema está en forma escalonada reducida, es mucho más fácil determinar las soluciones del sistema (si existen).Determinar la Consistencia del Sistema: Puedes ver inmediatamente si hay filas que implican una contradicción (como tener un pivote en la columna de los términos independientes sin ninguna variable asociada), lo que indicaría que no hay solución.Rango de la Matriz: La forma escalonada también permite calcular el rango de la matriz, que es el número de filas no nulas en la matriz escalonada reducida.