Introducción a los métodos numéricos

KEVIN MANUEL MORA ARVENZ231010095T3A

A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

INTRODUCCIÓN

1.3 CONVERGENCIA

1.2 TIPOS DE ERRORES

1.1 CONCEPTOS BÁSICOS

Í N D I C E

Algoritmos y Aproximaciones.

cONCEPTOS BÁSICOS

1.1

Un algoritmo es como un conjunto de instrucciones que te dice exactamente qué hacer paso a paso para alcanzar un resultado o resolver un problema. Piensa en un algoritmo como una guía detallada que te lleva desde el punto de partida hasta el objetivo final, sin dejar nada al azar. Por ejemplo, cuando sigues las instrucciones para armar un mueble, estás usando un algoritmo que te indica cómo ensamblar las piezas correctamente. Del mismo modo, cuando utilizas una aplicación para hacer una tarea específica, esa aplicación está utilizando algoritmos para procesar tu solicitud y mostrarte los resultados deseados. En esencia, un algoritmo es una manera ordenada de resolver problemas o completar tareas.

Algoritmo numérico

Símbolos:

• Óvalo (Inicio/Fin): Representa el punto de inicio y el final del proceso.
• Rectángulo (Proceso): Indica una acción o etapa del proceso.
• Rombo (Decisión): Muestra un punto en el que se debe tomar una decisión que llevará a diferentes caminos en el diagrama.
• Paralelogramo (Entrada/Salida): Utilizado para mostrar la entrada de datos o la salida de resultados.
• Flechas (Conexiones): Muestran la dirección del flujo del proceso entre las diferentes etapas o pasos.

Un diagrama de flujo es una representación gráfica que muestra el proceso o las etapas de un algoritmo, sistema o proyecto. Utiliza una serie de símbolos estandarizados conectados por flechas para ilustrar el flujo de acciones o decisiones.

ejemplo de algoritmo

Las cifras significativas son los dígitos de un número que aportan información útil sobre su precisión. Los dígitos sin significado real, que surgen en cálculos, no cuentan. La exactitud de una medición no depende de cuántos dígitos tenga, sino de la calidad del instrumento usado. Aquí están algunos conceptos clave:

• Cifra significativa: Dígitos que aportan información, incluidos los ceros finales en números decimales.
• Precisión: Cuánto varían las mediciones repetidas; menos variación significa mayor precisión.
• Exactitud: Qué tan cerca está una medición del valor verdadero.
• ncertidumbre: El grado de variación entre mediciones.
• Sesgo: Error sistemático que aleja el resultado del valor verdadero.

Estos conceptos ayudan a hacer estimaciones y predicciones más precisas.

Aproximaciones

• Método de Bisección:

Descripción: Este método encuentra raíces de una función dividiendo repetidamente un intervalo en dos y seleccionando el subintervalo donde la función cambia de signo.Ejemplo: Para encontrar una raíz de \( f(x) = x^2 - 2 \), si sabemos que \( f(1) < 0 \) y \( f(2) > 0 \), el método de bisección nos ayuda a aproximar la raíz entre 1 y 2.

• Método de Newton-Raphson:

Descripción: Este método iterativo usa derivadas para aproximar las raíces de una función. Parte de una estimación inicial y refina esta estimación en cada iteración.Ejemplo: Para resolver \( f(x) = x^3 - x - 2 \), el método de Newton-Raphson usa la fórmula \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) para encontrar la raíz más cercana a una estimación inicial.

• Método de Regla del Trapecio:

Descripción: Utiliza trapecios para aproximar el área bajo una curva. Divide el intervalo de integración en pequeños segmentos y suma las áreas de los trapecios formados.Ejemplo: Para aproximar la integral de \( f(x) = x^2 \) desde 0 hasta 1, se usa la regla del trapecio para estimar el área bajo la curva.

• Método de Euler:

Descripción: Aproxima soluciones de ecuaciones diferenciales usando pasos discretos. Es un método iterativo que avanza paso a paso a partir de una condición inicial.Ejemplo: Para resolver la ecuación diferencial \( \frac{dy}{dt} = y - t^2 + 1 \) con una condición inicial \( y(0) = 0.5 \), se usa el método de Euler para aproximar la solución en varios puntos discretos.

• Método de Eliminación de Gauss:

Descripción: Es un método de aproximación para resolver sistemas de ecuaciones lineales transformando la matriz del sistema en una forma escalonada.Ejemplo: Para resolver el sistema de ecuaciones lineales \( \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 2y = 8 \end{cases} \), se usa la eliminación de Gauss para encontrar los valores aproximados de \( x \) y \( y \).

• Interpolación Polinómica:

Descripción: Aproxima una función utilizando un polinomio que pasa por un conjunto de puntos dados. Se puede usar para estimar valores entre puntos conocidos.Ejemplo: Para estimar el valor de \( f(x) \) en \( x = 1.5 \) basándose en valores de \( f \) en puntos cercanos, se usa interpolación polinómica para construir un polinomio que se ajusta a los datos conocidos.

ejemplo de métodos numéricos

Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento

tipos de errores

1.2

• Error Absoluto:

Diferencia directa entre el valor exacto y el valor aproximado.Cálculo: VALOR EXACTO - VALOR APROXIMADO

• Error Relativo:

Proporción del error absoluto respecto al valor exacto.Cálculo: Valor exacto - Valor aproximado / Valor exacto

• Error Porcentual:

Error relativo expresado como porcentaje.Cálculo: Valor exacto - Valor aproximado / Valor exacto X 100%

• Errores de Redondeo:

Diferencia causada al redondear números.Ejemplo: Redondear 3.14159 a 3.14 tiene un error de redondeo de 0.00159.

• Errores de Truncamiento:

Errores al aproximar una función usando una versión simplificada.Ejemplo: Usar solo algunos términos de una serie para aproximar una función.

tipos de errores

convergencia

1.3

• Convergencia lineal: Ocurre cuando el error en cada iteración disminuye de forma proporcional al error de la iteración anterior. Es decir, el error en la iteración 𝑛+1 es aproximadamente una fracción constante del error en la iteración 𝑛 . Esto implica que la mejora en la precisión es constante, pero lenta.
• Convergencia cuadrática: Es mucho más rápida que la lineal. Aquí, el error disminuye de manera proporcional al cuadrado del error anterior. Esto significa que, después de pocas iteraciones, el método puede alcanzar una precisión muy alta. Un ejemplo típico es el método de Newton-Raphson, que bajo condiciones adecuadas converge cuadráticamente.
• Convergencia superlineal: Se refiere a una convergencia más rápida que la lineal pero no tan rápida como la cuadrática. Este tipo de convergencia es común en métodos iterativos donde la tasa de mejora aumenta con cada iteración, aunque no sigue una relación cuadrática estricta.

sus tipos

La convergencia en métodos numéricos se refiere a la tendencia de una secuencia de aproximaciones a acercarse progresivamente a la solución exacta de un problema. La convergencia es fundamental para evaluar la efectividad y fiabilidad de un método numérico.

convergencia

o todos los métodos numéricos garantizan la convergencia para cualquier problema. A menudo se deben cumplir ciertas condiciones en el problema y en la elección de las aproximaciones iniciales. Por ejemplo:En el método de bisección, la convergencia está garantizada siempre que la función sea continua en el intervalo y cambie de signo en los extremos.En el método de Newton-Raphson, la convergencia depende de la proximidad de la estimación inicial a la solución real y de que la función tenga derivadas bien definidas y continuas.Velocidad de Convergencia:La velocidad de convergencia describe cuántas iteraciones son necesarias para alcanzar una precisión deseada. Los métodos con convergencia cuadrática, por ejemplo, requieren muchas menos iteraciones que los métodos con convergencia lineal para alcanzar el mismo nivel de precisión. Esto los hace preferibles en problemas donde la eficiencia es crucial.Criterios de Parada:En la práctica, los métodos numéricos no continúan indefinidamente. En lugar de eso, se definen criterios de parada que determinan cuándo detener las iteraciones. Estos criterios suelen basarse en el tamaño del error estimado o en la cantidad de iteraciones realizadas. El objetivo es alcanzar un compromiso entre precisión y costo computacional.Errores y Convergencia:El análisis de la convergencia está ligado al análisis de errores en métodos numéricos. Se evalúa cómo el error disminuye con cada iteración, asegurando que el método no solo converge a la solución correcta, sino que lo hace de manera estable y sin oscilaciones significativas.

convergencia