Presentación temario de calculo diferencial

¡Bienvenido al Mundo del Cálculo Diferencial!

¡Vamos!

Adéntrate en el Universo de las FuncionesExplora los fundamentos de las funciones matemáticas, un concepto esencial que conecta variables y permite modelar relaciones en la naturaleza y en la ciencia. Aprende sobre los diferentes tipos de funciones, sus propiedades y cómo se aplican en diversas disciplinas para resolver problemas reales.

Las Funciones

¡Vamos!

Las funciones son esenciales en matemáticas, ya que permiten describir relaciones entre variables y modelar fenómenos en ciencias como la física, la química y la economía. En esta presentación, exploraremos conceptos clave, desde los números reales y las definiciones básicas hasta las operaciones con funciones y su aplicación en distintos contextos. Profundizaremos en los tipos de funciones, sus propiedades y cómo se utilizan para modelar situaciones del mundo real.

Funciones

Los números reales y sus subconjuntos.

Intervalos en los reales y su representación gráfica.

Definiciones básicas: variable, relación, función, dominio y rango.

Función real de variable real y sus distintas representaciones.

Funciones algebraicas: polinomiales y racionales.

Funciones trascendentes: trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Funciones definidas por partes.

Operaciones con funciones: Adición, Sustracción, ...

Transformaciones rígidas y no rígidas.

Funciones pares, impares y ni par ni impar.

Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

La función inversa.

La función implícita.

Formulación de funciones como modelos matemáticos en diferentes contextos.

Modelación de fenómenos como funciones.

Volver

Los números reales y sus subconjuntos.

Los números reales incluyen todos los números que se pueden representar en una línea continua, desde el infinito negativo hasta el infinito positivo. Los números reales se dividen en varios subconjuntos.

+ info

videos de ayuda

videos de ayuda

'Tus contenidos gustan, pero solo enganchan sison interactivos'- Genially

Aquí puedes incluir undato relevante a destacar

Efecto WOW

+ info

¿Sabías que Genially te permite compartir tu creación directamente, sin necesidad de descargas? Listo para que tu público pueda visualizarlo en cualquier dispositivo y darle difusión en cualquier lugar.

Carrusel

Anima tu contenido y llévalo al siguiente nivel

Texto

Con las plantillas de Genially podrás incluir recursos visuales para dejar a tu audiencia con la boca abierta. También destacar alguna frase o dato concreto que se quede grabado a fuego en la memoria de tu público e incluso embeber contenido externo que sorprenda: vídeos, fotos, audios... ¡Lo que tú quieras!¿Necesitas más motivos para crear contenidos dinámicos? Bien: el 90% de la información que asimilamos nos llega a través de la vista y, además, retenemos un 42% más de información cuando el contenido se mueve.Lo que lees: la interactividad y la animación pueden hacer que el contenido más aburrido se convierta en algo divertido. En Genially utilizamos AI (Awesome Interactivity) en todos nuestros diseños, para que subas de nivel con interactividad y conviertas tu contenido en algo que aporta valor y engancha.

Texto

A la hora de llevar a cabo una presentación hay que perseguir dos objetivos: transmitir información y evitar bostezos. Para ello puede ser una buena praxis hacer un esquema y utilizar palabras que se graben a fuego en el cerebro de tu audiencia.Si quieres aportar información adicional o desarrollar el contenido con más detalle puedes hacerlo a través de tu exposición oral. Te recomendamos que entrenes tu voz y ensayes: ¡la mejor improvisación siempre es la más trabajada!

Lo que lees: la interactividad y la animación pueden hacer que el contenido más aburrido se convierta en algo divertido. En Genially utilizamos AI (Awesome Interactivity) en todos nuestros diseños, para que subas de nivel con interactividad y conviertas tu contenido en algo que aporta valor y engancha.

'Tus contenidos gustan, pero enganchan mucho más si son interactivos'

Estructuratu contenido

Secciones como esta te ayudarán a poner orden

Volver

Intervalos en los reales y su representación gráfica.

Los intervalos en el conjunto de los números reales (ℝ) son subconjuntos de números que se encuentran entre dos valores específicos en la recta numérica. Estos intervalos pueden ser abiertos, cerrados, semiabiertos o infinitos.

+ info

Aquí puedes incluir undato relevante a destacar

Aquí puedes incluir undato relevante a destacar

+ info

+ info

Ejemplos de Funciones Reales de Variable Real

+ info

Representaciones de una Función Real de Variable Real

Función real de variable real y sus distintas representaciones.

Definición Formal

• Una función real de variable real se denota como f(x), donde x ∈ R y f(x)∈R. • Ejemplo: f(x)=2x+3. Aquí, por cada valor real de x, se obtiene un valor real de f(x).

Las funciones reales de variable real se pueden representar de diferentes maneras. Las tres representaciones más comunes son:

• Función Lineal: f(x)=mx+b • Ejemplo: f(x)=2x+1 • Gráfico: Línea recta. • Función Cuadrática: f(x)=ax2+bx+c • Ejemplo: f(x)=x2−4x+3 • Gráfico: Parábola.

Datos relevantes

50%

de nuestro cerebro está involucrado enel procesamiento de estímulos visuales.

Timeline

20XX

Planifica

20XX

Estructura

20XX

Diseña

20XX

Comunica

20XX

Sorprende

Timeline

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Paso 5

Paso 6

Paso 7

Paso 8

Paso 9

Paso 10

Definiciones básicas: variable, relación, función, dominio y rango.

Variable

Relación

+ info

Función

Dominio

Rango

Funciones definidas por partes.

Las funciones definidas por partes son funciones que están definidas por diferentes expresiones matemáticas en diferentes intervalos de su dominio. Estas funciones permiten describir situaciones donde una única regla no es suficiente para definir el comportamiento de la función a lo largo de todo su dominio.

Definición Formal

Ejemplos de Funciones Definidas por Partes

Función Valor Absoluto, Función Escalonada

Función Lineal por Partes, Función Cuadrática por Partes

Representación Gráfica

Aplicaciones

Operaciones con funciones: Adición Sustracción Multiplicación División Composición

Las operaciones con funciones permiten combinar dos o más funciones para crear una nueva función. Estas operaciones son adición, sustracción, multiplicación, división y composición de funciones.

Adición de Funciones

Sustracción de Funciones

Multiplicación de Funciones

División de Funciones

Composición de Funciones

Gráfico + texto

Los gráficos son muy compartibles, por lo que son ideales para RRSS y, por si fuera poco: suelen generar un tráfico de calidad en los contenidos que creamos.

10%

Usa este espacio para describir brevemente tu gráfico y su evolución.

Gráfico + texto

Los gráficos son muy compartibles, por lo que son ideales para RRSS y, por si fuera poco: suelen generar un tráfico de calidad en los contenidos que creamos.

+ info

Tabla + texto

Demostrar entusiasmo, esbozar una sonrisa y mantener el contacto visual con tu audiencia pueden ser tus mejores aliados a la hora de contar historias que emocionen y despierten el interés del público: 'The eyes, chico. They never lie'. Esto te ayudará a hacer 'match' con tu audiencia. ¡Déjales conla boca abierta!

Funciones Exponenciales

Funciones Trigonométricas

Funciones Logarítmicas

Funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

Las funciones trigonométricas están relacionadas con los ángulos y las razones de los lados de un triángulo rectángulo. Estas funciones son fundamentales en el estudio de fenómenos periódicos como las ondas y las oscilaciones.

Las funciones logarítmicas son inversas de las funciones exponenciales y se utilizan para describir fenómenos de crecimiento y decaimiento, como el crecimiento de poblaciones, la intensidad del sonido, o la escala de Richter.

Las funciones exponenciales modelan el crecimiento o decrecimiento exponencial, que aparece en contextos como el crecimiento de poblaciones, la desintegración radiactiva, y las finanzas.

1.Somosseres visuales

Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

2.Seres narrativos

Contamos miles y miles de historias. ⅔ de nuestras conversaciones son historias.

3.Seressociales

Necesitamos interactuar unos con otros. Aprendemos de forma colaborativa.

4.Seresdigitales

Evitamos formar parte de la saturación de contenido en el mundo digital.

Una presentación genial…

• Es clara y estructurada
• Cuenta historias jerárquicamente.
• Hace 'match' con tu audiencia.
• Adecúa las fuentes y el color al tema.
• Incluye imágenes y entretiene.

• Representa datos con gráficos.
• Utiliza líneas de tiempo.
• Es animada e interactiva.
• Emociona al cerebro, a través de elementos multimedia.
• NO se excede con los bullet points 🙃​.

Inserta un vídeo

Las funciones como modelos matemáticos se utilizan para describir y predecir fenómenos en diferentes contextos como física, economía, biología, ingeniería, y más. Un modelo matemático expresa la relación entre variables usando funciones adecuadas (lineales, cuadráticas, exponenciales, etc.) que representan estas relaciones.

Importancia de los Modelos Matemáticos:

Ejemplos Clave de Modelos Matemáticos:

Texto + iconos

Genera experienciascon tu contenido.

Mide resultadosy experimenta.

Tiene efecto WOW.Muy WOW.

Activa y sorprendea tu audiencia.

Ilustrar los contenidos es esencial, sobre todo cuando incluimos información extensa, concreta y relevante.Como es el caso de esta plantilla de presentación.

Logra que tu públicorecuerde el mensaje.

Audio

Tu contenido atrapa si es interactivo

Esto es un párrafo listo para contener creatividad, experiencias e historias geniales.

El tono suele ser formal y el vocabulario técnico, así que tenlo en cuenta para redactar.

Es esencial hacer las comprobaciones pertinentes. ¡Que no haya ni una errata!

Esto es un párrafo listo para contener creatividad, experiencias e historias geniales.

Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

1. Función Inyectiva (Inyección)

Una función f:A→B es inyectiva si cada elemento del conjunto B está relacionado con a lo más un elemento del conjunto A. Es decir, no hay dos elementos diferentes en el dominio que se mapeen al mismo elemento en el codominio.

2. Función Sobreyectiva (Sobreyectividad o Suprayectividad)

+ info

Una función f:A→B es sobreyectiva si cada elemento del conjunto B tiene al menos una preimagen en el conjunto A.

3. Función Biyectiva (Biyectividad)

+ info

Una función f:A→B es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Esto significa que cada elemento de B está relacionado con exactamente un elemento de A y viceversa.

+ info

Contenido insertado

Red social

Música

Mapa

Informacion

Funciones Polinomiales

Funciones Racionales

Funciones algebraicas: polinomiales y racionales.

Pregunta interactiva

Pregunta interactiva

Pregunta interactiva

Transformaciones Rígidas

Transformaciones No Rígidas

Transformaciones rígidas y no rígidas.

Las transformaciones rígidas son aquellas que no alteran la forma ni el tamaño del gráfico de la función; solo cambian su posición u orientación en el plano. Las distancias entre puntos en el gráfico permanecen constantes.

Las transformaciones no rígidas cambian la forma del gráfico de la función al estirarlo o comprimirlo. Pueden alterar la escala en una o ambas direcciones (horizontal o vertical).

Las transformaciones de funciones son modificaciones que se aplican a los gráficos de las funciones para cambiarlas de posición, forma, orientación, o tamaño. Se clasifican en dos tipos principales: transformaciones rígidas (o isométricas) y transformaciones no rígidas.

¡Recuerda seguirnos!

a) Traslación Horizontal y Vertical

b) Reflexión (Simetría Axial)

c) Rotación

a) Estiramiento y Compresión Vertical

b) Estiramiento y Compresión Horizontal

Funciones pares, impares y ni par ni impar.

1. Función Par

Una función par es una función que es simétrica respecto al eje (y). Esto significa que su gráfico se refleja sobre el eje (y) y permanece igual.

2. Función Impar

+ info

+ info

Una función impar es una función que es simétrica respecto al origen. Esto significa que su gráfico se refleja respecto al origen (es decir, si se rota 180 grados alrededor del origen, el gráfico permanece igual).

3. Funciones Ni Par Ni Impar

+ info

Una función que no cumple con las condiciones de ser par o impar se clasifica como ni par ni impar. Esto significa que su gráfico no es simétrico ni respecto al eje yyy ni respecto al origen.

Para que una función f:A→Btenga una función inversa, la función f debe ser biyectiva (es decir, inyectiva y sobreyectiva). Si la función es biyectiva, existe una función inversa f−1:B→A tal que: f(f−1(y))=yyf−1(f(x))=x para todo x∈A y y∈B.

La función inversa de f(x) se denota como f−1(x). Es importante aclarar que esta notación no significa "recíproco" (que sería 1/f(x)), sino la función que "revierte" f(x).

Propiedades de la Función Inversa 1. Reflejo a lo largo de y=x: El gráfico de una función f(x) y su inversa f−1(x) son simétricos respecto a la línea y=x. 2. Composición: Si f(x) es una función y f−1(x) su inversa, entonces: f(f−1(x))=xyf−1(f(x))=x 3. Dominio y Rango: El dominio de f(x) es el rango de f−1(x) y viceversa.

¿Cómo Encontrar la Función Inversa? Para encontrar la función inversa f−1(x) de una función f(x), se siguen los siguientes pasos: 1. Escribe la función como una ecuación de y: y=f(x). 2. Intercambia las variables x e y: Esto da la ecuación x=f(y). 3. Resuelve para y: Encuentra y en términos de x. 4. Escribe la función inversa: La ecuación obtenida es la inversa f−1(x).

La función implícita

Definición de Función Implícita

Ejemplo de Función Implícita

Propiedades de las Funciones Implícitas

Diferenciación Implícita

Ejemplo de Función Implícita en el Plano

Modelación de fenómenos como funciones.

• Es clara y estructurada
• Cuenta historias jerárquicamente.
• Hace 'match' con tu audiencia.
• Adecúa las fuentes y el color al tema.
• Incluye imágenes y entretiene.

• Representa datos con gráficos.
• Utiliza líneas de tiempo.
• Es animada e interactiva.
• Emociona al cerebro, a través de elementos multimedia.
• NO se excede con los bullet points 🙃​.

+ info

• Física: Movimiento (funciones cuadráticas, sinusoidales). • Química: Cinética de reacciones (funciones exponenciales). • Economía: Crecimiento de inversiones (funciones exponenciales), oferta y demanda. • Biología: Crecimiento poblacional (modelo logístico). • Meteorología: Cambios de temperatura (modelo de enfriamiento de Newton).

+ info

Modelación de fenómenos como funciones.

Modelación de fenómenos como funciones.

Importancia.

• Permiten predecir y optimizar sistemas. • Ayudan a comprender relaciones complejas. • Facilitan la simulación de escenarios.

+ info

Ejemplo: Crecimiento de Inversión

• Definición: Una variable es un símbolo (generalmente una letra como x, y, z) que se utiliza para representar un valor desconocido o cambiante en una expresión matemática o ecuación. • Ejemplo: En la ecuación x+2=5x + 2 = 5, x es una variable.

Insertar audio en mi creación

Insertar audio desde SoundCloud

SoundCloud es una plataforma de audio donde cualquier persona puede subir su música. En este tutorial, aprenderás cómo agregar música desde SoundCloud a tus creaciones de Genially.

Ir al tutorial

Función Cuadrática por Partes: • Descripción: La función es cuadrática (x2) para x≤1 y se convierte en una función lineal (2x-1) para x>1. • Gráfico: Una parábola hasta x=1 y luego una línea recta.

Función Lineal por Partes: • Descripción: Esta función es una línea recta con pendiente positiva cuando x≤0 y cambia a una línea con pendiente negativa cuando x>0. • Gráfico: Dos líneas que se cruzan en el punto (0,2).

Una función definida por partes f(x) se puede escribir como:

• Física: Movimiento rectilíneo uniforme con función lineal s(t)=vt+s0. • Economía: Ley de oferta y demanda, modelada con funciones lineales. • Biología: Crecimiento poblacional exponencial P(t)=P0ert. • Ingeniería: Ley de Ohm V=IR para circuitos eléctricos. • Meteorología: Enfriamiento de Newton modelado exponencialmente. • Sociología: Crecimiento poblacional logístico en entornos limitados.

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

La composición de funciones es una operación donde el resultado de una función se utiliza como entrada de otra. Dadas dos funciones f(x) y g(x), la composición de f con g, denotada como (f∘g)(x), se define como:

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

Intervalos Infinitos

• Intervalo (a,∞): Incluye todos los números mayores que a, pero no incluye a. Ejemplo: (3,∞) incluye todos los números mayores que 3. Representación gráfica: Círculo abierto en 3 y flecha hacia la derecha: o——–> • Intervalo (−∞,b): Incluye todos los números menores que b, pero no incluye b. Ejemplo: (−∞,4) incluye todos los números menores que 4. Representación gráfica: Flecha hacia la izquierda y círculo abierto en 4: <——–o • Intervalo (−∞,∞): Incluye todos los números reales. Ejemplo: (−∞,∞) Representación gráfica: Flechas hacia ambos lados: <——–>

Intervalo Semiabierto o Semicerrado

• Intervalo [a,b): Incluye a pero no b. Ejemplo: [2,5) Representación gráfica: Punto sólido en 2 y círculo abierto en 5: ●——–o • Intervalo (a,b]: Incluye b pero no a. Ejemplo: (2,5] Representación gráfica: Círculo abierto en 2 y punto sólido en 5: o——–●

Números Irracionales

• Definición: Incluye todos los números entre a y b, incluyendo los extremos. • Ejemplo: [2,5] contiene todos los números entre 2 y 5, incluyendo 2 y 5. • Representación gráfica: Una línea con puntos sólidos en 2 y 5: ●——–●

Intervalo Abierto (a,b)

• Definición: Incluye todos los números entre a y b, pero no incluye los extremos a y b. • Ejemplo: (2,5) contiene todos los números entre 2 y 5, pero no incluye el 2 ni el 5. • Representación gráfica: Una línea con círculos abiertos en 2 y 5: o——–o donde 'o' indica que los extremos no están incluidos.

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

Las funciones algebraicas son aquellas que se pueden definir mediante expresiones algebraicas que involucran operaciones como suma, resta, multiplicación, división, y potenciación de la variable independiente. Dos tipos importantes de funciones algebraicas son las funciones polinomiales y las funciones racionales.

Contextualiza tu tema

Escribe un titular genial

Usa este espacio para añadir una interactividad genial. Incluye texto, imágenes, vídeos, tablas, PDFs… ¡incluso preguntas interactivas! Tip premium: Si quieres obtener información de cómo interacciona tu audiencia, recuerda activar el seguimiento de usuarios desde las preferencias de Analytics.¡Que fluya la comunicación!

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

• Tangente (tan(x)): Relaciona un ángulo x con el cociente entre el seno y el coseno (tan(x)=sin(x)/cos(x)).o Dominio: Todos los números reales excepto los puntos donde cos(x)=0 (x≠π/2+kπ, k∈Z).o Rango: Todos los números reales (R).o Gráfico: Función periódica con asimptotas verticales donde cos(x)=0.Otras Funciones Trigonométricas:• Cosecante (csc(x)), secante (sec(x)), y cotangente (cot(x)): Son las funciones recíprocas de sin(x), cos(x) y tan(x) , respectivamente.

Definición: • Función Logarítmica de base a (loga(x)): Inversa de la función exponencial ax. Se define para x>0 y a>0, a≠1. o Dominio: x>0. o Rango: Todos los números reales (R). o Gráfico: Crece lentamente para valores grandes de x, pasa por el punto (1,0), y tiene una asimptota vertical en x=0. Función Logarítmica Natural: • Logaritmo Natural (ln(x)): Es un caso especial donde la base es el número e≈2.718. o Dominio: x>0. o Rango: Todos los números reales (R). o Gráfico: Similar al de loga(x) pero con base e.

Una función implícita es una función definida por una ecuación de la forma: donde F(x,y) es una expresión que involucra las variables x y y. En esta ecuación, y no está aislada como una función de x, pero es posible que bajo ciertas condiciones, se pueda despejar y en términos de x, o se pueda analizar la relación entre x y y sin hacerlo.

Otra clásica función implícita es la elipse, dada por:Esta ecuación describe una elipse en el plano. Similarmente, podríamos usar diferenciación implícita para encontrar la pendiente de la tangente a cualquier punto de la elipse.

Definición: • Función Exponencial de base a (ax): Donde a>0 y a≠1. El valor de la función se multiplica por la base a cada vez que x aumenta en 1. o Dominio: Todos los números reales (R). o Rango: y>0. o Gráfico: Crece rápidamente si a>1 y decrece rápidamente si 0<a<1. Función Exponencial Natural: • Exponencial Natural (ex): Es un caso especial donde la base es el número e≈2.718. o Dominio: Todos los números reales (R). o Rango: y>0. o Gráfico: Crece exponencialmente y pasa por el punto (0,1).

Principales Funciones Trigonométricas: • Seno (sin(x)): Relaciona un ángulo x con el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo. o Dominio: Todos los números reales (x∈R). o Rango: [−1,1] o Gráfico: Onda que oscila entre -1 y 1 con un período de 2π. • Coseno (cos(x)): Relaciona un ángulo x con el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa. o Dominio: Todos los números reales (x∈R). o Rango: [−1,1]. o Gráfico: Onda similar al seno, pero desplazada π/2 unidades a la izquierda.

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

Contexto: Un banco ofrece una inversión con interés compuesto. Modelo: La cantidad de dinero A(t) después de t años se modela con la función exponencial: A(t)=P(1+r)t donde: • P es el capital inicial. • r es la tasa de interés anual. • t es el tiempo en años. Ejemplo Práctico: Si inviertes $1000 con una tasa de interés anual del 5% durante 3 años, la cantidad final es: A(3)=1000(1+0.05)3≈1157.63 Resultado: Después de 3 años, la inversión crecerá a aproximadamente $1157.63.

En matemáticas elementales, la rotación de gráficos es menos común. Sin embargo, las rotaciones alrededor de un punto en el plano, como el origen, pueden describirse por matrices de rotación en álgebra lineal. Las funciones suelen mantenerse invariables en su orientación.

Insertar apps externas en mi creación

Insertar un Timeline de Twitter / X en Genially

En numerosos casos vamos a necesitar mostrar o compartir un Timeline que nos gusta o que nos parece importante. Y es que no solo vamos a poder insertar un Timeline en una ventana o directamente en el lienzo, sino que además va a ser interactivo, es decir, vamos a poder darle a “me gusta”, responder o retwittear.

Ir al tutorial

En una representación gráfica, las funciones definidas por partes se muestran con diferentes segmentos de gráficos en el plano cartesiano, cada uno correspondiente a una expresión particular. Puede haber puntos abiertos (donde la función no está definida) y puntos cerrados (donde la función toma un valor particular) en las transiciones entre diferentes partes.

Insertar contenido desde Google

Insertar un mapa de Google en Genially

Con Genially puedes insertar mapas de tal forma que tu audiencia pueda estar informada de la ubicación de tu evento, reunión o celebración dentro del mismo genially sin necesidad de ir a otra plataforma o página web.

Ir al tutorial

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

Definición Formal: f:A→B es inyectiva si: ∀x1,x2∈A, f(x1)=f(x2)  ⟹  x1=x2 Esto significa que si los valores de la función son iguales, entonces los elementos de entrada también deben ser iguales. Características: • Cada elemento de B tiene como máximo un preimagen en A. • La función es uno a uno. Ejemplo:

Una función racional es una función de la forma: f(x)=Q(x)/P(x) donde P(x) y Q(x) son polinomios, y Q(x)≠0. Características: • El dominio de una función racional son todos los valores de x para los que Q(x)≠0. • Las funciones racionales pueden tener asimptotas verticales (donde el denominador es cero) y asimptotas horizontales o oblicuas (dependiendo del comportamiento de los grados de P(x)y Q(x)). • Las funciones racionales pueden no ser continuas en ciertos puntos donde el denominador se hace cero. Ejemplos: Función Racional Simple: f(x)=1/x • Asimptota vertical en x=0; asimptota horizontal en y=0 Función Racional con Polinomios de Grado 1 en Numerador y Denominador: f(x)=x+2/x−1 • Asimptota vertical en x=1; asimptota horizontal en y=1. . Función Racional con Polinomio Cuadrático en el Denominador: f(x)=2x/x2−1 • Asimptotas verticales en x=1 y x=−1; asimptota horizontal en y=0. Función Racional con Polinomios de Mayor Grado: f(x)=x2+1/x2−4 • Asimptotas verticales en x=2 y x=−2; asimptota horizontal en y=1.

Traslación Horizontal y Vertical • Traslación Horizontal: Desplaza el gráfico de una función hacia la izquierda o la derecha. o Si y=f(x) es la función original, la transformación y=f(x−h) desplaza el gráfico h unidades a la derecha si h>0, y h unidades a la izquierda si h<0. • Traslación Vertical: Desplaza el gráfico hacia arriba o hacia abajo. o Si y=f(x) es la función original, la transformación y=f(x)+k desplaza el gráfico k unidades hacia arriba si k>0, y k unidades hacia abajo si k<0. Ejemplo de Traslaciones: Para la función f(x)=x2: • f(x−2)=(x−2)2 desplaza la parábola 2 unidades a la derecha. • f(x)+3=x2+3 desplaza la parábola 3 unidades hacia arriba.

• Definición: El rango de una función es el conjunto de todos los posibles valores de salida (variables dependientes) que la función puede producir a partir de los valores del dominio. • Ejemplo: Para la función f(x) = x^2, el rango es todos los números reales no negativos ([0,∞)) porque el cuadrado de un número siempre es mayor o igual a cero.

Función Escalonada: • Descripción: La función toma valores diferentes en diferentes intervalos. Por ejemplo, es igual a 1 cuando x<0, igual a 2 cuando 0≤x<1, e igual a 3 cuando x≥1.• Gráfico: Tres líneas horizontales escalonadas en diferentes alturas.

Función Valor Absoluto: • Descripción: La función toma el valor de x si es no negativo, y toma el opuesto de x si es negativo. • Gráfico: Tiene una "V" en el origen (0,0).

• Predicción y análisis de sistemas reales.
• Optimización de decisiones en diferentes áreas.
• Simulación de escenarios bajo distintas condiciones.
• Comprensión: Ayudan a entender la relación entre variables y los factores que afectan un sistema.

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

• Reflexión en el Eje x: Refleja el gráfico de la función sobre el eje x. o Dada la función y=f(x), la transformación y=−f(x) refleja el gráfico respecto al eje x. • Reflexión en el Eje y: Refleja el gráfico de la función sobre el eje y. o Dada la función y=f(x), la transformación y=f(−x) refleja el gráfico respecto al eje y. Ejemplo de Reflexiones: Para la función f(x)=x2: • y=−f(x)=−x2 refleja la parábola respecto al eje x. • y=f(−x)=(−x)2=x2 no cambia el gráfico ya que es simétrico respecto al eje y.

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

Las funciones definidas por partes son útiles en muchas aplicaciones, tales como: • Economía: Modelar precios que cambian según ciertos niveles de producción. • Física: Describir fenómenos que cambian bajo diferentes condiciones, como la resistencia de un material bajo distintas fuerzas. • Programación: Controlar la lógica de decisiones en algoritmos y modelos.

• Estiramiento Vertical: Si multiplicamos la función por un factor a>1, el gráfico de la función se estira en la dirección vertical. o Dada la función y=f(x), la transformación y=a⋅f(x) (con a>1) estira el gráfico verticalmente por un factor de a. • Compresión Vertical: Si multiplicamos la función por un factor 0<a<1, el gráfico de la función se comprime verticalmente. o Dada la función y=f(x), la transformación y=a⋅f(x)(con 0<a<1) comprime el gráfico verticalmente. Ejemplo de Estiramiento y Compresión Vertical: Para la función f(x)=x2: • y=2f(x)=2x2 estira la parábola verticalmente. • y=1/2f(x)=1/2x2 comprime la parábola verticalmente.

Estas funciones tienen gráficos que son simétricos respecto al origen.

Definición Formal: Una función f(x) es impar si, para todo x en el dominio de f: f(−x)=−f(x) Características: • Simetría respecto al origen. • Si el punto (x,y) está en el gráfico de la función, entonces el punto (−x,−y) también está. Ejemplos de Funciones Impares:

La función inversa es una función que "deshace" el efecto de la función original. Si una función f(x) mapea un elemento x del conjunto A a un elemento y del conjunto B, la función inversa f−1(x) mapea ese elemento y de vuelta a x.(En matemáticas, mapear (o mapeo) es un término usado para describir la acción de asignar o relacionar elementos de un conjunto a elementos de otro conjunto mediante una función. Cuando decimos que una función "mapea" elementos de un conjunto A a un conjunto B, significa que la función toma cada elemento de A y lo "transforma" o "envía" a un elemento de B.)

La función inversa

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

• No necesariamente son funciones únicas: En el ejemplo anterior, para cada valor de x, existen dos posibles valores de y, lo que hace que la relación no sea una función única. • Derivadas Implícitas: La diferenciación de funciones implícitas se realiza utilizando la diferenciación implícita, que es un método que aplica la regla de la cadena para derivar ambas partes de la ecuación respecto a x.

• Función Exponencial: f(x) = ax • Ejemplo: f(x)=2x • Gráfico: Curva que crece rápidamente cuando x>0. • Función Trigonométrica: f(x) = sin(x), f(x)=cos(x), etc. • Ejemplo: f(x)=sin(x) • Gráfico: Ondas sinusoidales que oscilan entre −1 y 1. • Función Logarítmica: f(x)=loga(x) • Ejemplo: f(x)=ln(x) • Gráfico: Curva que crece lentamente cuando x>0.

Una función implícita es una función en la que la relación entre las variables está dada por una ecuación que no está explícitamente resuelta para una variable en términos de las demás. A diferencia de una función explícita, donde una variable depende directamente de otra (por ejemplo, y=f(x)), en una función implícita las variables están mezcladas en una misma ecuación.

La función implícita

Definición Formal: Una función f(x) es par si, para todo x en el dominio de f: f(−x)=f(x) Características: • Simetría respecto al eje y. • Si el punto (x,y) está en el gráfico de la función, entonces el punto (−x,y) también está. Ejemplos de Funciones Pares: 1. f(x)=x2 o f(−x)=(−x)2=x2=f(x). 2. f(x)=cos(x) o f(−x)=cos(−x)=cos(x) = f(x). 3. f(x)=∣x∣ o f(−x)=∣−x∣=∣x∣=f(x). Estas funciones tienen gráficos que son simétricos respecto al eje y.

Es importante señalar que la función g(x) debe ser distinta de cero (g(x)≠0) para que la división esté definida.

• Ejemplo:

3. Representación Tabular • La función se representa mediante una tabla de valores que muestra pares de entrada y salida (x,f(x)).

1. Representación Analítica (o Algebraica) o La función se define mediante una fórmula o expresión matemática. o Ejemplo: f(x)=x2−4x+3. Esta fórmula indica cómo calcular el valor de f(x) para cada valor de x. 2. Representación Gráfica o La función se representa mediante un gráfico en el plano cartesiano, donde el eje horizontal (eje x) representa los valores del dominio y el eje vertical (eje y) representa los valores del rango. o Ejemplo: Para la función f(x)=x2, el gráfico es una parábola que se abre hacia arriba con vértice en el origen (0,0).

4. Representación Verbal (o Descriptiva) • La función se describe usando palabras que explican cómo se relacionan los valores de entrada con los valores de salida. • Ejemplo: "La función toma un número real x, lo eleva al cuadrado, luego resta el cuádruple de ese número y finalmente suma 3."

Estas funciones no tienen ninguna simetría particular respecto al eje y o al origen.

Ejemplos de Funciones Ni Pares Ni Impares:

Definición Formal: f:A→B es sobreyectiva si: ∀y∈B,∃x∈A tal que f(x)=y Esto significa que cada elemento en B es alcanzado por al menos un elemento de A. Características: • La función es sobre todo el codominio. • No quedan elementos "sin tocar" en el codominio. Ejemplo:

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

Definición Formal: f:A→B es biyectiva si es: 1. Inyectiva: ∀x1,x2∈A,f(x1)=f(x2)⟹x1=x2 2. Sobreyectiva: ∀y∈B,∃x∈A tal que f(x)=y Características: • Existe una correspondencia uno a uno entre los elementos de A y B. • Las funciones biyectivas son las únicas que tienen funciones inversas. Ejemplo:

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

Una función polinomial es una función de la forma:f(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0 donde an,an−1,…,a0 son constantes (coeficientes), n es un número entero no negativo que indica el grado del polinomio, y x es la variable. Características: • Los exponentes de la variable x son números enteros no negativos. • Las funciones polinomiales son continuas y suaves (diferenciables) en todo su dominio (−∞,∞). Ejemplos: 1. Función Lineal (Polinomio de grado 1): f(x)=2x+1 o Representación gráfica: una línea recta. 2. Función Cuadrática (Polinomio de grado 2): f(x)=x2−4x+3 o Representación gráfica: una parábola. 3. Función Cúbica (Polinomio de grado 3): f(x)=x3−3x2+2x o Representación gráfica: una curva que puede tener un punto de inflexión. 4. Polinomio de Grado 4: f(x)=x4−4x3+6x2−4x+1 o Representación gráfica: una curva con hasta tres puntos de inflexión.

• Definición: Una función es un tipo especial de relación que asocia a cada elemento del dominio (conjunto de entrada) exactamente un elemento del rango (conjunto de salida). En otras palabras, una función asigna un valor único del conjunto de salida a cada valor del conjunto de entrada. • Ejemplo: f(x) = x^2 es una función donde cada valor de x tiene un único valor asociado en el rango (por ejemplo, f(2)=4).

20XX

El contenido visual es un lenguaje transversal, universal, como la música. Somos capaces de entender imágenes de hace millones de años, incluso de otras culturas.

• Definición: Una relación es un conjunto de pares ordenados, donde cada elemento del primer conjunto (dominio) se empareja con uno o más elementos del segundo conjunto (codominio). Las relaciones describen cómo ciertos elementos están conectados entre sí. • Ejemplo: La relación "es mayor que" entre los números puede representarse como (3,1), (5,2), etc.

• Definición: El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada (variables independientes) que la función puede aceptar sin resultar en una operación indefinida o inválida. • Ejemplo: Para la función f(x)= 1/x , el dominio es todos los números reales excepto x=0 (ya que la división por cero no está definida).

Contextualiza tu tema

Escribe un titular genial

Usa este espacio para añadir una interactividad genial. Incluye texto, imágenes, vídeos, tablas, PDFs… ¡incluso preguntas interactivas! Tip premium: Si quieres obtener información de cómo interacciona tu audiencia, recuerda activar el seguimiento de usuarios desde las preferencias de Analytics.¡Que fluya la comunicación!

• Estiramiento Horizontal: Si se divide la variable x por un factor b>1, el gráfico se estira horizontalmente. o Dada la función y=f(x), la transformación y=f(x/b) (con b>1) estira el gráfico horizontalmente. • Compresión Horizontal: Si se divide la variable x por un factor 0<b<1, el gráfico se comprime horizontalmente. o Dada la función y=f(x), la transformación y=f(x/b) (con 0<b<1) comprime el gráfico horizontalmente. Ejemplo de Estiramiento y Compresión Horizontal: Para la función f(x)=x2: • y=f(x/2)=(x/2)2=1/4x2 estira la parábola horizontalmente. • y=f(2x)=(2x)2=4x2 comprime la parábola horizontalmente.

Números Reales (ℝ)

Son todos los números en la recta numérica, incluyendo los números racionales e irracionales. Ejemplos: −1,0, 1.5, π, raíz 2

Números Irracionales

Son números que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros. Su expansión decimal no es periódica ni termina. Ejemplos: π,raíz 2,e,raíz 3

Números Racionales (ℚ)

Son números que se pueden expresar como el cociente de dos enteros, donde el denominador no es cero. Incluyen números enteros, fracciones y decimales finitos o periódicos. Ejemplos: 12,−3,0.75,2.333... (donde 2.333... es un decimal periódico)

Números Enteros (ℤ)

Incluyen todos los números naturales, sus opuestos negativos, y el cero. Ejemplos: −3,−2,−1,0,1,2,3,…

Números Naturales (ℕ)

Son los números positivos que utilizamos para contar. No incluyen el cero ni los números negativos. Ejemplos: 1,2,3,4,5,…

Para derivar una función implícita, diferenciamos ambos lados de la ecuación con respecto a x, tratando a y como una función de x. Por ejemplo, consideremos de nuevo la ecuación del círculo:Esta es la derivada implícita de y respecto a x para la ecuación del círculo.