Calculo diferencial- Joselyn Zapata

Conceptos Fundamentales de Funciones y Modelación Matemática

JOSELYN GUADALUPE ZAPATA MUT

Índice

Números reales y sus subconjuntos

Intervalos en los reales

Definiciones básicas

Función real de variable real

Funciones algebraicas

Índice

Funciones trascendentes

Funciones definidas por partes

Operaciones con funciones

Transformaciones rígidas y no rígidas

10

Funciones pares e impares

Índice

Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Función inversa

Función implícita

Formulación de funciones como modelos matemáticos

Modelación de fenómenos como funciones

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NUMEROS REALES Y SUS SUBCONJUNTOS

NUMEROS REALES

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Los números reales (𝑅) incluyen todos los números que pueden representarse en la recta numérica. Se clasifican en:

ENTEROS (Z)

NATURALES (N)

RACIONALES (Q)

IRRACIONALES (I)

02

intervalos en los reales

• Intervalo Cerrado: [𝑎,𝑏]:[a,b] incluye a y 𝑏

• Intervalo Abierto: (𝑎,𝑏):(a,b) no incluye a ni b.

• Intervalo Semi-Abierto: (𝑎,𝑏]:(a,b] incluye solo 𝑏

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03

DEFINICIONES BASICAS

DEFINICIONES

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FUNCION REAL

FUNCIONES

Una función, en matemáticas, es una relación entre los elementos de dos conjuntos. Por ejemplo, piensa en el conjunto de actores de una película y en el conjunto de personajes de la misma película, si ocurre que a cada actor le asignan un único personaje, entonces podemos decir que tenemos una función entre los actores y los personajes. Lo que hace la función es asignar a cada actor, el personaje que le corresponde.

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05

Funciones algebraicas

FUNCIONES ALGEBRAICAS

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06

Funciones TRASCENDENTES

FUNCIONES TRASCENDENTES

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07

Funciones definidas por parte

FUNCIONES definidas por partes

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08

operaciones con funciones

OPERACIONES CON FUNCIONES

09

TRANSFORMACIONES RIGIDAS Y NO RIGIDAS

TrANSFORMACIONES RIGIDAS

TRANSFORMACIONESNO RIGIDAS

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10

FUNCIONES pares e impares

FUNCIONESIMPARES

FUNCIONES PARES

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11

tipos deFUNCIONES

TIPOS DE Funciones

FUNCION SOBREYECTIVA

FUNCION INYECTIVA

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FUNCION BIYECTIVA

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FUNCIONES INVERSAS

Escribe un título aquí

FUNCION INVERSA

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Una función inversa o también llamada recíproca es aquella que cumple que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función. Entonces, en lenguaje algebraico si tenemos una función;

No todas las funciones tienen una función inversa, ya que si un elemento del codominio no es imagen de un elemento del dominio, cuando se aplique su función inversa, esta no será función. Por lo tanto, para que una la función inversa exista, la función original tiene que ser biyectiva, lo que obliga que a todos los elementos de B llegue solo una flecha desde A (inyectiva y sobreyectiva a la vez), así, cuando la función inversa actúe a cada elemento de B se le asigna uno y solo uno de los elementos de A.

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FUNCIONES IMPLICITAS

FUNCION IMPLICITA

• Una función f: X y es llamada función implícita, si la variable dependiente no se produce de forma explícita, en un lado de la ecuación, en términos de la variable independiente. En una función implícita, el valor de y puede ser obtenido resolviendo la ecuación en términos de x.

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FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS

FUNCIONES

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15

MODELACION DE FENOMENOS COMO FUNCIONES

FENOMENOS COMO FUNCIONES

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Muchas Gracias

Joselyn Zapata

FUNCIONES PARES

Una función par es aquella que satisface que cualquier valor de su dominio tiene la misma imagen que el valor opuesto. En símbolos: f(x)=f(−x) f(x)=f(−x) para toda x del dominio La gráfica de una función par cumple con la propiedad de ser simétrica respecto al eje y.

Rango

El elemento que se obtiene en el segundo conjunto después de aplicar la regla de correspondencia a un elemento del primer conjunto, recibe el nombre de imagen. Si x es el elemento en el dominio la imagen se denota como . Rango o recorrido es el conjunto formado por todas las imágenes correspondientes al dominio

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Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe un único elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.

.La composici´on de funciones o la funci´on de funci´on es una operaci´on que aparece naturalmente en varias situaciones. En esta nota, presentaremos (sin demostraci´on) algunos de los resultados m´as importantes relacionados con esta operaci´on. Mostraremos tambi´en como se aplican estos resultados resolviendo varios ejercicios

Antes de sumar y restar funciones, es importante recordar qué es una función. En matemáticas, una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto de entrada (dominio) exactamente un elemento en un conjunto de salida (codominio). En otras palabras, una función toma un valor de entrada y produce un valor de salida de acuerdo con una regla específica.

Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen.Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Domf, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.

Variable dependiente

La variable dependiente es aquella que, dentro de un modelo económico o estadístico, es explicada por otras variables a las que denominamos independientes.

• Suele corresponderse con el eje de las ordenadas, es decir, con el eje vertical o eje Y. A su vez, la variable independiente se coloca en el eje de las abscisas o eje X.

Variable independiente

La variable independiente en un estudio es el elemento que se considera como la causa potencial que afecta a otra variable (dependiente), permitiendo estudiar y entender cómo diferentes factores impactan en un resultado específico

• Suele corresponderse con el eje de las abscisas, es decir, con el eje horizontal o x. A su vez, la variable dependiente se coloca en el eje de las ordenadas o eje y.
• Cuantas más se incluyan, una mejor explicación tendrá la variable dependiente.

Una transformación no rígida cambia el tamaño o la forma de la gráfica. Una traslación vertical es una transformación rígida que desplaza una gráfica hacia arriba o hacia abajo en relación con la gráfica original. Esto ocurre cuando se agrega una constante a cualquier función.

Una transformación rígida de una gráfica es aquella que cambia sólo la posición de la gráfica en el plano xy, pero no su forma. En realidad es un desplazamiento de la gráfica. Para la gráfica de una función y = f(x) se analizan cuatro tipos de desplazamientos o traslaciones.

Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe otro elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.Las funciones reales son sobreyectivas cuando Recf=ℝ, ya que, por definición, en ellas Codf=ℝ.

FUNCIONES IMPARES

Una función impar es aquella que satisface que cualquier valor de su dominio tiene como imagen al opuesto de la imagen del valor opuesto. En símbolos:f(x)= −f(−x) f(x)=−f(−x) o equivalentementef(−x)=−f(x) f(−x)=−f(x) para toda x del dominio La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Dominio

El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen. Es decir, son los valores de que podemos sustituir en la regla de correspondencia de una función para obtener el valor correspondiente de . Matemáticamente, podemos expresar: que significa que el dominio de una función son aquellos valores de que pertenecen a los números reales para los cuales existe un valor asociado de la función .