Calculo diferencial- Joselyn Zapata

Conceptos Fundamentales de Funciones y Modelación Matemática

JOSELYN GUADALUPE ZAPATA MUT

Funciones algebraicas

Función real de variable real

Definiciones básicas

Intervalos en los reales

Números reales y sus subconjuntos

Índice

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Funciones pares e impares

Transformaciones rígidas y no rígidas

Operaciones con funciones

Funciones definidas por partes

Funciones trascendentes

Índice

Modelación de fenómenos como funciones

Formulación de funciones como modelos matemáticos

Función implícita

Función inversa

Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Índice

NUMEROS REALES Y SUS SUBCONJUNTOS

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IRRACIONALES (I)

RACIONALES (Q)

ENTEROS (Z)

NATURALES (N)

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Los números reales (𝑅) incluyen todos los números que pueden representarse en la recta numérica.Se clasifican en:

NUMEROS REALES

intervalos en los reales

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• Intervalo Cerrado: [𝑎,𝑏]:[a,b] incluye a y 𝑏

• Intervalo Abierto: (𝑎,𝑏):(a,b) no incluye a ni b.

• Intervalo Semi-Abierto: (𝑎,𝑏]:(a,b] incluye solo 𝑏

DEFINICIONES BASICAS

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DEFINICIONES

FUNCION REAL

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+ INFO

Una función, en matemáticas, es una relación entre los elementos de dos conjuntos. Por ejemplo, piensa en el conjunto de actores de una película y en el conjunto de personajes de la misma película, si ocurre que a cada actor le asignan un único personaje, entonces podemos decir que tenemos una función entre los actores y los personajes. Lo que hace la función es asignar a cada actor, el personaje que le corresponde.

FUNCIONES

Funciones algebraicas

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+ INFO

FUNCIONES ALGEBRAICAS

Funciones TRASCENDENTES

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+ INFO

FUNCIONES TRASCENDENTES

Funciones definidas por parte

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+ INFO

+ INFO

FUNCIONES definidas por partes

operaciones con funciones

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OPERACIONES CON FUNCIONES

TRANSFORMACIONES RIGIDAS Y NO RIGIDAS

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TRANSFORMACIONESNO RIGIDAS

TrANSFORMACIONESRIGIDAS

+ INFO

FUNCIONES pares e impares

10

FUNCIONESIMPARES

FUNCIONESPARES

+ INFO

tipos deFUNCIONES

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FUNCION BIYECTIVA

FUNCION SOBREYECTIVA

FUNCION INYECTIVA

+ INFO

+ INFO

+ INFO

TIPOS DE Funciones

FUNCIONES INVERSAS

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FUNCION INVERSA

No todas las funciones tienen una función inversa, ya que si un elemento del codominio no es imagen de un elemento del dominio, cuando se aplique su función inversa, esta no será función. Por lo tanto, para que una la función inversa exista, la función original tiene que ser biyectiva, lo que obliga que a todos los elementos de B llegue solo una flecha desde A (inyectiva y sobreyectiva a la vez), así, cuando la función inversa actúe a cada elemento de B se le asigna uno y solo uno de los elementos de A.

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Una función inversa o también llamada recíproca es aquella que cumple que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función. Entonces, en lenguaje algebraico si tenemos una función;

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FUNCIONES IMPLICITAS

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FUNCION IMPLICITA

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• Una función f: X y es llamada función implícita, si la variable dependiente no se produce de forma explícita, en un lado de la ecuación, en términos de la variable independiente. En una función implícita, el valor de y puede ser obtenido resolviendo la ecuación en términos de x.

FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS

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FUNCIONES

MODELACION DE FENOMENOS COMO FUNCIONES

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FENOMENOS COMO FUNCIONES

JoselynZapata

Muchas Gracias

FUNCIONES PARES

Una función par es aquella que satisface que cualquier valor de su dominio tiene la misma imagen que el valor opuesto. En símbolos: f(x)=f(−x)f(x)=f(−x) para toda x del dominio La gráfica de una función par cumple con la propiedad de ser simétrica respecto al eje y.

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Rango

El elemento que se obtiene en el segundo conjunto después de aplicar la regla de correspondencia a un elemento del primer conjunto, recibe el nombre de imagen. Si x es el elemento en el dominio la imagen se denota como . Rango o recorrido es el conjunto formado por todas las imágenes correspondientes al dominio

Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe un único elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.

.La composici´on de funciones o la funci´on de funci´on es una operaci´on que aparece naturalmente en varias situaciones. En esta nota, presentaremos (sin demostraci´on) algunos de los resultados m´as importantes relacionados con esta operaci´on. Mostraremos tambi´en como se aplican estos resultados resolviendo varios ejercicios

Antes de sumar y restar funciones, es importante recordar qué es una función. En matemáticas, una función es una relación que asigna a cada elemento de un conjunto de entrada (dominio) exactamente un elemento en un conjunto de salida (codominio). En otras palabras, una función toma un valor de entrada y produce un valor de salida de acuerdo con una regla específica.

Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen.Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Domf, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.

• Suele corresponderse con el eje de las ordenadas, es decir, con el eje vertical o eje Y. A su vez, la variable independiente se coloca en el eje de las abscisas o eje X.

Variable dependiente

La variable dependiente es aquella que, dentro de un modelo económico o estadístico, es explicada por otras variables a las que denominamos independientes.

Variable independiente

La variable independiente en un estudio es el elemento que se considera como la causa potencial que afecta a otra variable (dependiente), permitiendo estudiar y entender cómo diferentes factores impactan en un resultado específico

• Suele corresponderse con el eje de las abscisas, es decir, con el eje horizontal o x. A su vez, la variable dependiente se coloca en el eje de las ordenadas o eje y.
• Cuantas más se incluyan, una mejor explicación tendrá la variable dependiente.

Una transformación no rígida cambia el tamaño o la forma de la gráfica. Una traslación vertical es una transformación rígida que desplaza una gráfica hacia arriba o hacia abajo en relación con la gráfica original. Esto ocurre cuando se agrega una constante a cualquier función.

Una transformación rígida de una gráfica es aquella que cambia sólo la posición de la gráfica en el plano xy, pero no su forma. En realidad es un desplazamiento de la gráfica. Para la gráfica de una función y = f(x) se analizan cuatro tipos de desplazamientos o traslaciones.

Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe otro elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.Las funciones reales son sobreyectivas cuando Recf=ℝ, ya que, por definición, en ellas Codf=ℝ.

FUNCIONES IMPARES

Una función impar es aquella que satisface que cualquier valor de su dominio tiene como imagen al opuesto de la imagen del valor opuesto. En símbolos:f(x)= −f(−x) f(x)=−f(−x) o equivalentementef(−x)=−f(x) f(−x)=−f(x) para toda x del dominioLa gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Dominio

El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen. Es decir, son los valores de que podemos sustituir en la regla de correspondencia de una función para obtener el valor correspondiente de . Matemáticamente, podemos expresar: que significa que el dominio de una función son aquellos valores de que pertenecen a los números reales para los cuales existe un valor asociado de la función .