Unidad I. CMySEL Parte III

Álgebra Lineal

Ingeniería Civil Agosto - Diciembre 2024 Maestro Francisco Javier Huerta Juárez francisco.huerta@edu.uaa.mx

Unidad I

CÁLCULO MATRICIAL Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Determinantes.

Vectores y matrices.

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SEMANA 3

Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

01

Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas

Definición

Definición

Definición

+ Ejemplos

Eliminación gaussiana

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Observación

Definición El rango de una matriz es el número de filas no nulas en su forma escalonada por filas. Teorema del rango Sea A la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales con n variables. Si el sistema es consistente, entonces número de variables libres = n - rango(A)

Ejemplo

Definición

+ Ejemplos

Método Gauss - Jordan

Ejemplo

Ejemplo

Sistemas Homogéneos

Se vio que todo sistema de ecuaciones lineal: o no tiene soluciones, tiene una solución única o tiene un número infinito de soluciones. Sin embargo, hay un tipo de sistema que siempre tiene al menos una solución. Definición. Un sistema de ecuaciones lineales se denomina homogéneo si el término constante (b1, b2, ..., bn) en cada ecuación es cero. Si alguna o algunos términos constantes es o son diferentes de cero decimos que el sistema lineal es no homogéneo.

En general, para sistemas homogéneos, x1=x2=...=xn=0 es siempre una solución (llamada solución trivial o solución cero), por lo que sólo se tienen dos posibilidades: la solución trivial es la única solución o existe un número infinito de soluciones además de ésta. Las soluciones distintas a la solución cero se llaman soluciones no triviales. Teorema Si [A|0] es un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n variables, donde m<n, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Ejemplo

Ejemplo

El método de Gauss-Jordan para calcular la inversa

Es posible realizar operaciones con filas o renglones sobre A e I simultáneamente al construir una “matriz superaumentada” [A|I]. Si A es equivalente por renglones a I, significa que A es invertible, entonces operaciones elementales con renglones producirán Si A no puede reducirse a I, entonces el teorema fundamental garantiza que A no es invertible.

Ejemplo

¿Preguntas?

Contenido

3.1. Definición de sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.3.2. Sistemas equivalentes.3.3. Conjunto solución de un sistema de ecuaciones.3.4. Método de Eliminación Gaussiana.3.5. Matriz escalonada reducida.3.6. Método de Gauss-Jordan.3.7. Cálculo de la matriz inversa.3.8. Sistemas homogéneos.

Contenido

2.1. Definición de vectores y matrices. 2.2. Operaciones de vectores y matrices. 2.3. Propiedades de los vectores y las matrices. 2.4. El producto vectorial y matricial. 2.5. Matrices Especiales: cuadrada, diagonal, triangular superior e inferior, identidad, la transpuesta, simétrica, antisimétrica. 2.6. Definición de matriz inversa y sus propiedades.

Contenido

4.1. Determinante de orden 3. 4.2. Determinante de orden n en términos del Menor y Cofactor. 4.3. Propiedades de los determinantes. 4.4. Determinante de un producto de matrices. 4.5. Regla de Cramer.

Contenido

1.1. Conceptos fundamentales de la línea recta. 1.2. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. 1.3. Solución formal y su interpretación geométrica. 1.4. Definición de determinante de orden 2. 1.5. Condiciones para que la solución del sistema sea única, sea un número infinito de soluciones o no exista.