Conceptos básicos de métodos numéricos

Xeque Colli Isaac Alberto

Introduccion a los metodos numericos

Presentación

Metodos numericos

Los smetodos numericos son una sucesion de operaciones matematicas utilizadas para encontrar una solucion numerica aproximada a un problema determinado, es decir, se trata de una serie de calculos para poder obtener un resultado cercano para una posible solucion numerica con una precision razonablemente buena.

• Entrada: se trata del conjuto de datos que el algoritmo necesita como insumo para procesar.

• Porceso: son los pasos necesarios aplicados por el algoritmo a la entrada recibida para poder llegar a una salida o resolucion del problema.

• Salida: es el resultado producido por el algoritmo a partir del procesamiento de la entrada una vez terminda la ejecucion del proceso.

Los algoritmos son independientes tanto del lenguaje de programacion es que se expresan como de la computadora que lo ejecuta. La definicion de un algoritmo debe definir tres partes: Entrada, proceso y salida.

Es un conjunto ordenados y finito de operaciones que permite hallar la solucion de un problema. Generalmente se dispone de varios algoritmos para resolver un problema particular, mediante una serie de datos preciso, definidos y finitos.

Algoritmos:

Conceptos basicos:

Aun que ciertos numeros representan numeros especificos, no se pueden expresar exactamente con un numero finito de cifras.

Los metodos numericos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe a desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos.

Normalmente, la consideracion de la validez depende de la cota de error que el experimentador considere pertinente en funcion del contexto del fenomeno bajo estufio.

Una aproximacion es un valor cercano a uno considerado como real o verdadero, esta cercania o diferencia se conoce como error

Aproximaciones

Corresponde a la expresion en porcentaje de un error absoluto; en consecuencia, este error es adimensional.

Error relativo

El error absoluto recibe este nombre ya que posee las mismas dimesiones que la variable bajo estudio.

El error absoluto es la diferencia absoluta entre un valor real y un aproximado, se encuentra dado por esta formula

Error absoluto

Tipos de errores

Es util para evaluar la ´precision de las soluciones numericas de manera rapida y sencilla, para determinar si es necesario utilizar metodos mas precisos y refinar los parametros del metodo utilizado.

Es una medida que se utiliza para evaluar la precision de una solucion numerica en relacion con el valor real, expresada en porcentaje se calcula como:

Error porcentual

1. Utilizar numeros en coma flotante de alta precision.
2. Aumentar el numero de digitos significativos o decimales.
3. Utilizar logaritmos que minimicen el redondeo y el truncamiento.
4. Realizar analisis de errores para estimar el efecto del error de redondeo en la solucion final.

Este error puede propagarse a lo largo de las operaciones numericas y afectar la precision de la solucion final. para minimizar el error de redondeo, se puede utilizar tecxnicas como:

1. Limitaciones en la precision de los numeros en coma flotante.
2. Redonde de numeros decimales aun numero fijo de digitos significativos.
3. Truncamineto de numeros decimales a un numero fijo de digitos decimales.

Es el error que introduce cuando se redondea o trucan los numeros en las operaciones numericas esto puede ocurrir debido a:

Error de redondeo

El truncamiento puede introducir un error en la solucion numerica, conocido como error de truncamiento. El error de truncamiento depende de numero de terminos o digitos truncados y de la magnitud de los terminos omitidos.

1. Series infinitas: se truncan despues de un numero finito de terminos.
2. Serie de Taylor. se truncan despues de un numeri finito de terminos.
3. Numeros decimales: se truncan despues de un numero finito de digitos decimales.
4. Vectores y matrices: se truncan despues de un numero finito de elementos.

Se refiere a la omision de ciertos terminos o digitos en un serie o secuencia numerica, con el fin de simplificar los calculos o reducir el error de redondeo. Esto puede ocurrir en:

Truncamiento

La convergencia es fundamental en metodos numericos ya que garantiza que la solucion sea precisa y confiable.

1. Consistencia: el metodo debe ser consistente con el problema original, es decir, debe ser capaz de resolver el problema exacto en el limite.
2. Estabilidad el metodo debe ser estable, es decir, pequeñas perturbaciones en los datos de entrada no deben producir grandes errores en la solucion.
3. Convergecia: el metodo debe converger al valor exacto de la solucion a medida que se incrementa el numero de iteraciones o se reduce el tamaño del paso de discretizacion.

Un metodo numerico se considera convergente si cumple con las siguientes condiciones:

La convergencia se refiere a la capacidad de un metodo para aproximarse al valor exacto de una solucion a medida quie se incrementa el numero de iteraciones o se reduce el tamaño del paso de discretizacion.

Convergancia