Diseño y simulación de sistemas dinámicos

MATERIA: Diseño y simulación de sistemas dinámicos “PROYECTO MODULAR” ALUMNA: ISAURA MOLINA PIMENTEL MATRÍCULA: AL079571 PROFESORA DEL CURSO: LIC. ELENA PÉREZ MORENO INSTITUCIÓN: UNIVERSIDAD VIRTUAL CNCI LUGAR Y FECHA: QUERÉTARO, QRO. A 30DE AGOSTO 2024

Variables conocidas– Éstas se subdividen en: a) Variable de tiempo (𝑡) b) Constantes y parámetros del modelo: Sus valores son conocidos e introducidos al inicio de la simulación y no cambian durante ésta. c) Variables de estado: No se calculan mediante las ecuaciones del modelo, sino integrando numéricamente sus derivadas.

Variables no conocidas– Son aquellas que deben calcularse evaluando las ecuaciones del sistema y pueden ser: a) Variables mudas: Introducidas en sustitución de las dependientes del tiempo; se representan mediante el prefijo der. b) Variables restantes: No se consideran como variables de estado, sin embargo, su valor depende del instante en que son evaluadas las otras variables.

La matriz jacobiana es una herramienta matemática que se usa principalmente en el análisis de funciones vectoriales y en cálculo diferencial. Es esencial en campos como la optimización, la robótica, y la teoría del control, entre otros.

La matriz jacobiana de una función vectorial multivariable se define como la matriz de todas sus derivadas parciales. Supongamos que tienes una función vectorial:

donde 𝑥 = ( 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) x=(x 1 ​ ,x 2 ​ ,…,x n ​ ) es un vector en 𝑅 𝑛 R n , y 𝑓 ( 𝑥 ) f(x) es un vector en 𝑅 𝑚 R m . La matriz jacobiana 𝐽 ( 𝑥 ) J(x) es una matriz 𝑚 × 𝑛 m×n definida como:

Función de la Matriz Jacobiana

• Derivadas parciales

Cada elemento de la matriz jacobiana es la derivada parcial de una de las componentes de la función vectorial respecto a una de las variables de entrada.

• Aplicación en análisis

En el análisis local de funciones no lineales, la jacobiana puede usarse para aproximar la función mediante una transformación lineal cerca de un punto específico.

• Cambio de variables

La jacobiana también juega un papel crucial en el cambio de variables en integrales múltiples, donde el determinante de la matriz jacobiana se usa para ajustar el diferencial de volumen.

• Aplicaciones en optimización

En métodos numéricos como el método de Newton, la jacobiana es fundamental para encontrar soluciones de sistemas de ecuaciones no lineales.

sistema sobredeterminado

Es un sistema de ecuaciones en el que el número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas. Este tipo de sistema puede surgir en diversas situaciones, como en la resolución de problemas de ajuste de datos, en la estimación de parámetros o en la modelización de fenómenos físicos.

sistema es infradeterminado

Es un sistema de ecuaciones en el cual el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones. Esto significa que hay más variables que restricciones, lo que generalmente conduce a un conjunto infinito de soluciones, en lugar de una única solución.

EJEMPLO DEL SISTEMA DE ECUACIONES ALGEBRAICAS DIFERENCIALES

dinámica de un automóvil, específicamente en la suspensión y el sistema de frenado.

Suspensión

Frenado

Ecuaciones diferenciales: Describen cómo cambia la posición y la velocidad de las ruedas y el chasis con el tiempo. Ecuaciones algebraicas: Pueden incluir restricciones como la longitud del resorte o las características del amortiguador que no cambian con el tiempo.

Ecuaciones diferenciales: Describen cómo cambia la velocidad del vehículo cuando se aplican los frenos. Ecuaciones algebraicas: Podrían incluir la relación entre la fuerza aplicada por el freno y la fricción generada, que es una restricción instantánea y no cambia con el tiempo.