Transformaciones lineales

CUADRO SINOPTICO INTERACTIVO (de la transformaciones lineales, nucleo e imagen y su representación matricial Yenifer Saraì López Ortega Ingeniería en gestión empresarial. Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez, Chiapas. Extensión Palenque Algebra Lineal MTRA: Lic. Verónica Cruz López Fecha: 27 de noviembre de 2024

Definición

Es una función que se define entre dos K-espacios vectoriales y que cumple con dos propiedades: f(x + y) = f(x) + f(y), f(cx) = cf(x).

Caracteristicas

PROPIEDADES

Propiedades

NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

TRANSFORMACIONES LINEALES

Formula

EJEMPLO

Representación matricial

propiedades

EJEMPLO

Bibliografía

https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/21a.-TRANSFORMACIONES-LINEALES-1.pdf https://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/algebra_lineal/Capitulo3.pdf https://gc.scalahed.com/recursos/files/r157r/w13173w/AlgLineal_unidad%208.pdf

CONCEPTO

Es una herramienta que nos permite expresar dichas tarnformaciones como una multiplicación entre una matriz y un vector. Esto simplifica el anlisis y la resolución de problemas con transformaciones lineales

CONCEPTO

A una transformaci´on lineal f : V → W podemos asociarle un subespacio de V , llamado su n´ucleo, que de alguna manera mide el tama˜no de la pre-imagen por f de un elemento de su imagen. En particular, conocer este subespacio nos permitir´a determinar si f es inyectiva.

• Intersección trivial: Si T es inyectiva, entonces Ker (T) contiene unicamente el vector cero. Si T es sobreyectiva.
• Cambio de bases: Los nucleos e imagenes son invariantes bajo cambios de base en V y W. Aunque las coordenadas de los vectores cambien, el nucleo y la imagen como subespaciós permanecen iguales.

DEFINICIÓN DE SERIE

El símbolo griego sigma Ʃ indica que el sumando a(k)toma cada uno de los valores que debe recorrer K partiendo desde el límite inferior hasta llegar al límite superiora través de los enteros. Como se indica, el sumando se suma tantas veces como elnúmero de enteros que recorra K.

Sean V y W dos K-espacios vectoriales, y sea f : V → W una transformaci´on lineal. Se llama n´ucleo de f al conjunto Nu(f) = {v ∈ V / f(v) = 0} = f-1 ({0}).

Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión n y m,respectivamente, y sea T: V - W una transformación lineal, entonces existe una matriz A de orden m × n llamada matriz de transformación o representación matricial de T que satisface T(v) = Av para toda v en V.

PROPIEDADES

• Dimensiones de la matriz: A: Si T: Rn y Rm, entonces A tiene tamaño m x n.
• Composición de transformaciones: Si T1 y T2 son tarnsfrmaciones lineales asociadas con matrices asociadas A1 y A2, entonces la composición T2 o T1 tiene como matriz asociada A2A1.
• Cambio de base: Si se cambia la base, la matriz de la transformación lineal cambia segun la regla de cambio de base.

CARACTERISTICA

• Una transformación lineal es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva.
• Una transformación lineal es invertible si y solo si es biyectiva.
• Si S es un subespacio de V, entonces f(S) es un subespacio de W.
• Si T es un subespacio de W, entonces f−1(W) es un subespacio de V.

PROPIEDADES

Núcleo: Es el conjunto de vectores que son mapeados al 0 de W. Imagen: Es el conjunto de vectores que pertenecen a un espacio vectorial W y que son iguales a la transformación lineal de un vector de otro espacio vectorial V. Rango: Es una propiedad de las transformaciones lineales. Nulidad: Es una propiedad de las transformaciones lineales.

CONCEPTO

Es una función entre dos espacios vectoriales que preserva las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar. Formalmente, una transformación T: V y W entre dos espacios vectoriales V y W es lineal si cumple las propiedades