Presentación Interactiva de Conceptos Basicos

Ingeniería en Mecatrónica

Métodos Numéricos

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Presentado por : Jorge Emanuel Chan Cámara

Tema: 1. Introducción a los métodos numéricos

Índice

Introducción...............................................................3

1.1 Conceptos Basicos...............................................4

1.2 Tipos de errores...................................................5

1.3 Convergencia........................................................7

Conclusión ...................................................................8

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Introducción

Competencia específica del tema: Reconocer los conceptos básicos que se emplean en los métodos numéricos para resolver problemas.

Los métodos numéricos son técnicas fundamentales para resolver problemas matemáticos complejos que no admiten soluciones exactas. Su aplicación es crucial en disciplinas como la ingeniería, la física y la economía, donde se utilizan algoritmos para obtener aproximaciones útiles que facilitan la toma de decisiones por otra parte es esencial comprender los diferentes tipos de errores que pueden surgir, como el error absoluto, el error relativo y el error porcentual, así como los errores de redondeo y truncamiento, que afectan la precisión de los resultados. Además, la convergencia, que describe cómo las aproximaciones se acercan al valor exacto con iteraciones sucesivas, es un concepto clave para garantizar la validez de las soluciones.

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1.1 Conceptos básicos

Algoritmos

Los algoritmos son conjuntos de instrucciones secuenciales y precisas que se utilizan para resolver un problema o realizar un cálculo de manera sistemática, ya sea manualmente o a través de computadoras.

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Aproximaciones

Las aproximaciones son estimaciones cercanas a un valor exacto, utilizadas cuando no es posible obtener una solución precisa. En los métodos numéricos, permiten obtener resultados útiles que facilitan la toma de decisiones.

Error absoluto

El error absoluto mide la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.Donde Xr es el valor real y Xo es el valor calculado. El error absoluto tiene las mismas unidades que la medida

Error relativo

El error relativo expresa el error en relación con el tamaño del valor exactoEl error relativo no tiene unidades y, al multiplicarlo por 100, se obtiene el error porcentual

Error porcentual

El error porcentual es el error relativo expresado como un porcentaje

1.2 Tipos de errores

Errores de redondeo

Los errores de redondeo se producen al aproximar números con infinitos dígitos decimales a una representación con un número finito de dígitos, como ocurre en las computadoras.

Truncamiento

Los errores de truncamiento surgen al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto, como ocurre al truncar series infinitas en cálculos computacionales.

Tipos de errores

Convergencia.

Definición

Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, alrealizar un buen número de repeticiones (iteraciones), las aproximacionesobtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía deconvergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, porel contrario, divergen; es decir, se alejan cada vez más y más del resultadodeseado

conclusión

profundiza

Los métodos numéricos son herramientas esenciales para resolver problemas matemáticos complejos mediante aproximaciones. Comprender los tipos de errores, como el error absoluto, relativo, porcentual, y los errores de redondeo y truncamiento, es crucial para evaluar la precisión de los resultados. La convergencia asegura que las aproximaciones se acercan al valor exacto con más iteraciones, y su análisis es vital para elegir el método adecuado. En conjunto, estos conceptos permiten aplicar los métodos numéricos de manera efectiva en diversas disciplinas, garantizando soluciones confiables.

Nota

Normalmente se puede encontrar métodos que convergen rápidamente, pero sondemasiado inestables y, por el contrario, modelos muy estables, pero de lentaconvergencia.

Formula

E A ​ =∣X r ​ −X o ​ ∣