Vectores

VECTORES EN 3D

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE SAN MARTIN

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

INTEGRANTES:

• ANAHI GONZALES RODRIGUEZ 23240030
• ESMERALDA REYES ALTAMIRANO 23240028
• IAN RODRIGUEZ MENDOZA 23240009
• LUIS KALED SANTOS ROSALES 23240071

GRADO: 3 GRUPO: A

DOCENTE: CESAR RAMSES DIAZ LIMON

TEMA 1: VECTOR

En fisica y matematicas, un vector es un segmento de una linea recta, dotado de un sentido, es decir, orientado dentro de un plano euclidiano bidimensional o tridimencional. O lo que es lo mismo: un vector es un elemento en un espacio vectorial.

Magnitud

Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con un numero y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es aquella que, ademas de un valor numerico y sus unidades (modulo) debemos especificar su direccion y sentido.

Direccion

En la recta sobre la que se plantea el vector, la cual es continua e infinita en el espeacio.

Sentido

Viene representado por la punta de la flecha que se expresa graficamente, Indicando el lugar hacia el cual se dirige el vector.

Ejemplo 1 y2

TEMA 2: Vectores Opuestos

Estos dos vectores, que tienen el mismo modulo y direccion pero sentido contrario, se dice que son Vectores Opuestos.

Ejemplo 1 y2

Vectores Proporcionales

Dos vectores son proporcionales si tienen la misma pendiente, ya que la pendiente esta determinada por la recta que contiene la direccion del vector.

Ejemplos 1 y 2

Vectores en el espacio

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Definición algebraica de un vector en 3D

En matemáticas y física, un vector 3D es un segmento de línea en un espacio tridimensional que va desde un punto A (cola) hasta un punto B (cabeza). Los vectores 3D tienen magnitud (o longitud) y dirección, y se representan mediante segmentos rectilíneos dirigidos (flechas).

Sistema De Coordenadas Rectangulares En El Espacio

Un sistema de coordenadas rectangulares en el espacio es un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional que no se ha ajustado a la curvatura de la Tierra. En este sistema, los ejes x e y se encuentran en un plano tangente a la superficie terrestre y el eje z apunta hacia arriba. El sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales representa las tres dimensiones que encontramos en la vida real.

TEMA 3: Norma de un vector

Es una medida de la "longitud" o "magnitud" de un vector. Imagina un vector como una flecha: la norma es la longitud de esa flecha desde su origen hasta su punta.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2

Direccion de un vector

La dirección de un vector es la línea recta a lo largo de la cual "apunta" el vector la dirección te indica hacia dónde apunta esa flecha

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Caracteristicas del vector nulo

Es una convención matemática útil para resolver ecuaciones vectoriales. Juega el papel de elemento neutro para la suma de vectores.Se representa como 0 o 0. CARACTERISTICAS Magnitud Cero: El vector nulo, denotado como 0, tiene una magnitud de cero, es decir, no tiene longitud. Dirección Indefinida: Al no tener magnitud, el vector nulo carece de dirección en el espacio. Representación: En un espacio vectorial n-dimensional, se representa como 0 = (0, 0, ..., 0).

Simetría: El vector nulo es simétrico consigo mismo, es decir, 0 es su propio inverso aditivo. Propiedad Aditiva: Al sumar el vector nulo a otro vector, el resultado es el mismo vector.

Vector unitario

Un vector unitario es un vector que tiene una magnitud de exactamente 1 unidad. Tambien se le llama vector normalizado o versor.CARACTERISTICAS El módulo: El módulo de un vector unitario siempre es 1, sin importar su tipo (fuerza, velocidad, etc.). Dirección y Sentido: Los vectores unitarios tienen una dirección y sentido, como en la dirección vertical, que puede ser hacia arriba o hacia abajo. Origen: Los vectores unitarios tienen un punto de origen.

Los vectores unitarios permiten realizar todas las operaciones vectoriales (suma, resta, multiplicación) igual que con vectores regulares. Además, un vector unitario en una dirección puede expresar otros vectores orientados en esa misma dirección..

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Tema 4:Suma de vectores

Grafico

Analitico

Para sumar gráficamente varios vectores, se coloca el primero y a partir de su extremo, se sitúa el segundo, paralelo a sí mismo, y así sucesivamente, constituyendo lo que se llama el polígono de vectores.

La suma de vectores tiene la propiedad conmutativa, es decir,

Dados los vectores:

La suma seria:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Resta de vetores

Grafico

Analitico

La resta de vectores tiene la propiedad anticonmutativa, es decir,

La diferencia la transformamos en una suma, la de a + (- b). Para restar gráficamente dos vectores, se coloca el primero (a) y a partir de su extremo, se sitúa el segundo, paralelo a sí mismo, pero con sentido contrario. Luego, uniendo el origen del primero con el extremo del segundo, se obtienen el vector diferencia.

Dados lo vectores:

La resta seria:

Ejercicio 1

Calcular analíticamente las restas de vectores a, b y c donde

Resta de a-b

Resta de c-a

Resta de b-c

Ejercicio 2

Calcular geométricamente la resta de vectores u-v, donde

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores a y b, representado por el símbolo a.b, se define como un escalar, de módulo el producto de los módulos de los 2 vectores multiplicado por el coseno del ángulo que forman a con b.

Ejercicio 1

Calcular el producto escalar de:

Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores a y b, representado por el símbolo a x b, se define como un vector; de módulo, el producto de los módulos de los 2 vectores, multiplicado por el seno del ángulo que forman a con b; de dirección, perpendicular al plano formado por los vectores a y b; y sentido, el de avance de un sacacorchos, que apoyada su punta en el punto de corte de ambos vectores, gire de a y b, por el camino más corto

Ejercicio 1

Sea los vectores A y B que forman entre si un ángulo de 30°, y sabiendo que | a | = 6 y | b | = 5, calcular el producto cruz de ambos vectores.Cuando se tienen las magnitudes de ambos vectores, es muy fácil poder calcular el producto cruz, ya que solamente debemos aplicar la fórmula:

Sustituyendo nuestros datos:

Tenemos como resultado: 15

TEMA5:Regla de la mano derecha aplicada a los vectores

La los vectores: es una herramienta visual que utilizamos en física para determinar la dirección de un vector resultante de una operación entre dos o más vectores, especialmente en el producto vectorial.

Cinco ejemplos donde se aplica la regla de la mano en Ingenieria en sistemas

• Orientación de ejes en gráficos 3D: La regla de la mano derecha se usa para definir la orientación de los ejes X, Y y Z en sistemas de coordenadas 3D. Esto es fundamental en gráficos por computadora y en la visualización de datos.
• Rotaciones en algoritmos de gráficos: Al realizar rotaciones de objetos en 3D, la regla de la mano derecha determina el sentido de la rotación alrededor de un eje.
• Campos magnéticos en hardware: Aunque los ingenieros de software no trabajan directamente con hardware, entender conceptos como el electromagnetismo puede ser útil para optimizar el diseño de sistemas.
• Representación de vectores en algoritmos: Muchos algoritmos en computación gráfica y física utilizan vectores. La regla de la mano derecha puede ayudar a visualizar el producto cruz de dos vectores, que es una operación común en estos algoritmos.
• Analogías en estructuras de datos: Aunque no es una aplicación directa, la idea de una orientación o secuencia determinada puede tener analogías en estructuras de datos como árboles binarios o grafos, donde la regla de la mano derecha podría servir como una herramienta mnemotécnica.

¿Que relacion hay entre las normas de los vectores 𝒖 ⃗⃗ 𝒗 ⃗⃗ 𝒖+𝒗 ⃗⃗ ?

La relación fundamental entre las normas de los vectores u, v y u+v se expresa a través de la desigualdad triangular: * Desigualdad triangular: ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| Esta desigualdad indica que la norma de la suma de dos vectores es siempre menor o igual que la suma de las normas de cada vector por separado.

¿Qué relación hay entre las direcciones de los vectores u, v y u+v?

Es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella, en radianes y ángulos. El vector resultante u+v es el vector que conecta el punto de inicio de u con el extremo de v, regla del paralelogramo.

Probar graficamente 𝜶𝒖⃗ = (𝜶𝒖𝟏, 𝜶𝒖𝟐) = 𝜶𝒖𝟏 𝒊̂+ 𝜶𝒖𝟐 𝒋̂

¿Qué relación hay entre las normas 𝒖⃗ y 𝜶𝒖⃗⃗ ?

Dado un vector 𝒖⃗y un escalar 𝜶, la norma del vector 𝒖⃗ escalado por 𝜶 está relacionada con la norma del vector 𝒖⃗ de la siguiente manera:

es decir que 𝜶 va a multiplicar a 𝒖⃗, cuantas veces mas la magnitud de 𝒖⃗.

Tema 7

¿Qué relación hay entre las direcciones de 𝒖⃗ y 𝜶𝒖⃗⃗ ?

En caso de que 𝜶 se a negativo 𝜶𝒖⃗ tendrá que ser opuesta la dirección a 𝒖⃗. Misma dirección: Si 𝜶 > 0. Dirección opuesta: Si 𝜶 < 0. Sin dirección: Si 𝜶 = 0, no tiene dirección.

Combinación lineal de los vectores 𝒊̂,𝒋̂, K

Una combinación lineal de los vectores i, j, k es una expresión matemática que consiste en la suma de los vectores multiplicados por escalares. Por ejemplo, cada vector en tres dimensiones es una combinación lineal de los vectores que forman la base canónica i, j y k.

Qué características tiene dos vectores ortogonales.

Ejemplo 1

Características de los vectores ortogonales: Dos vectores x y Y se llaman ortogonales sí x•y=0 Deben formar 90°

Ejemplo 2

TEMA 8: Comprobación geométrica de que dos vectores son otorgales

Qué características tiene dos vectores Paralelos.

• Multiplicación Escalar: u y v son paralelos si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.

v = ku

• -Producto cruzado: De dos vectores paralelos es siempre el vector nulo (cero):

u * v = 0

• Ángulo entre ellos: El ángulo entre dos vectores paralelos es 0° o 180°.
• Si k > 0, los vectores tienen la misma dirección, si k < 0, tienen direcciones opuestas.

Comprobación geométrica de que dos vectores son paralelos.

REFERENCIAS

1. Allen (Ed.) Proceedings of the Conference on Office Information Systems, 40-47.
2. Deerwester, S., Dumais, S. T., Furnas, G. W., Landauer, T. K., y Harshman, R. (1990).
3. De Vega, M. (2002) "Comprensión del discurso: representación del significado y métodos de investigación", Seminario dictado en Universidad de Concepción, Chile.
4. Katz, R. (2013) Vectores. Facultad de Ciencias Exactas. Algebra y Geometria.
5. Magnitud y dirección de vectores. (n.d.). Varsitytutors.com. 27, 2024,
6. Universidad Rey Juan Carlos (2018) Ingenieria Aeroespacial.