Blog Geometría Analítica

Tipos de Rectas

Polígono

Representación geométrica

Definición

Apolonio

Clasificación y elementos

Caracte-rísticas

Bosqueo de curvas polares

Diivisión de un segmento

Características y diferencias de la geometría

Antece- dentes

Plano Polar

Recta

Cónicas

Geometría Analítica

Plano Cartesiano

Cambio de coordenadas

Curvas Polares

Geometría Analítica

Roto-Taslación

CONTENIDO TEMÁTICO

Conceptos básicos, fórmulas y ejemplos

• Hipérbola: Se forma con un corte mayor que el de la elipse, y tiene dos ramas. La diferencia de las distancias desde cualquier punto de la hipérbola a los dos focos es constante.

• Parábola: Se forma cuando el corte es paralelo a una generatriz del cono. Todos los puntos están equidistantes de un foco y una directriz.

• Circunferencia: Es un caso especial de la elipse, cuando el corte es perpendicular al eje del cono. Tiene un solo eje, el radio, y un único centro.

• Elipse: Se forma con un corte oblicuo. Tiene dos ejes (mayor y menor) y dos focos. La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los focos es constante.

Tipos de cónicas

Centro: Punto de simetría.Vértice: Punto más cercano al foco. Focos: Puntos especiales que definen la forma de la cónica. Excentricidad: Medida de cuán "alargada" es la cónica (0 para circunferencia, entre 0 y 1 para elipse, 1 para parábola y mayor que 1 para hipérbola). Ejes: Líneas que definen la simetría de la cónica (eje mayor, menor).

Elementos de las cónicas

Componentes:Origen: El punto central, donde 𝑟=0 Radio 𝑟: Distancia desde el origen hasta el punto. Si 𝑟>0, el punto está en la dirección de 𝜃; si 𝑟<0, en la dirección opuesta. Ángulo θ: Medido desde el eje 𝑥, generalmente de 0 a 2𝜋.

Plano Polar

El plano polar es un sistema de coordenadas donde cada punto se describe mediante dos valores: radio r (distancia desde el origen) y ángulo θ (medido desde el eje x).

Mundo Plano

EJEMPLO

1. Me dan el segmento
2. Me dan la razón
3. Sumar los números del numerador y el denominador
4. Trazar un segmento que forme un ángulo agudo y dividirlo con el resultado de la suma del 3er paso
5. Unir el final del nuevo segmento con B
6. Asignar a cada parte el valor del numerador
7. Se traza una línea paralela según el segmento del numerador

Apolonio de Perge o Perga (en griego Ἀπολλώνιος) (Perge, c. 262 a. C. - Alejandría, c. 190 a. C.) 1 ​ fue un matemático y astrónomo griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Él fue quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos.

Apolonio

Rectas Paralelas

Las rectas paralelas son aquellas líneas que nunca se cortan y mantienen la misma distancia entre sí. Algunas características de las rectas paralelas son:

• No tienen ningún punto en común.
• Están dentro del mismo plano.
• Tienen la misma pendiente (m) de y=mx+b

1. Identifico los puntos del polígono en el plano
2. Coloco los puntos en orden repitiendo al final el primer punto en la fórmula
3. Multiplico los valores diagonalmente de izquierda a derecha y sumo dichos resultados
4. Multiplico los valores diagonalmente de derecha a izquierda y resto dichos resultados
5. Termino mi fórmula y obtengo mi resultado en u

EJEMPLO

Área

Sea P un polígono, el área de P es el número que indica el tamaño de P en el plano.

Distancia entre dos puntos

La raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las diferencias de las abscisas con las ordenadas da como resultado la hipotenusa, o en este caso, la distancia entre dos puntos.

EJEMPLO

LUGAR GEOMÉTRICO: Que consta de todos los pares de puntos con pendiente constante

Recta y lugar geométrico

RECTA: Conjunto de puntos que satisfacen una condición.

EJEMPLO

Plano Cartesiano

Dado un polígono P, el perímetro P es el npumero que se obtiene como la suma de la longitud de sus lados

Perímetro

Polígono

Un polígono es una figura cerrada y limitada por lados rectos

Familia de Rectas

Un conjunto de rectas que tienen una propiedad en común, o condición en común.

Rectas perpendiculares

EJEMPLO

EJEMPLO

Conjunto de rectas que forman un ángulo de 90°. Se puede comprobar si el resultado de la multiplicación de las pendientes diera como resultado -1.

Roto-Traslación

La roto-traslación es una combinación de rotación y traslación en el plano. Primero se rota una figura alrededor de un punto, luego se traslada a una nueva posición. Esta transformación conserva la forma y el tamaño de la figura, pero cambia su ubicación y orientación en el plano.

Antecedentes

3000 a. C.

Inicios en Egipto.

1500 a. C.

Métodos de medición de los egipcios.

Siglo VI a.C. - Siglo III a.C.

Avanves en Grecia.

Siglo V d. C.

Floreció en manos de la India.

Siglo IX d. C. - Siglo XII d. C.

El inicio de la Geometría Aplicada.

Siglo XV d. C. - Siglo XVI d. C.

El Renacimiento y el interés por las matemáticas.

1637 d. C.

Plano Cartesiano.

1900 d. C.

Geometría moderna.

Pendiente

EJEMPLO

La pendiente es una medida numérica que indica la dirección y la inclinación de una línea (recta) en los ejes cartesianos.

• Geometría Ecludiana: Se ocupa del estudio de las figuras planas y del espacio tridimensional
• Geometría Analítica: Combina la geometría con el álgebra
• Geometría del Espacio: Se centra en la representación gráfica de objetos tridimensionales en un plano bidimensional

• Geometría Plana: Trata con objetos como el punto, la línea, el círculo, el triángulo y el polígono

Tipos de Geometría

Los principales tipos de geometría que existen son:

División de un segmento en una razón dada

Fórmula para encontrar las coordenadas de un punto P que divide al segmento en una razón dada.

Mundo Plano

EJEMPLO

1. Me dan un segmento AB
2. Me dan la razón
3. Usando un ángulo agudo trazamos una línea a partir del punto B de distancia "b" de la razón
4. Usando el MISMO ángulo agudo trazzamos una línea a partir del punto A de distancia "a" de la razón
5. Trazamos una línea del final de "a" hasta el final de "b" y el punto que intersecte AB será C

Bosqueo de curvas polares

El bosquejo de curvas polares implica representar gráficamente ecuaciones de la forma 𝑟=𝑓(𝜃), donde: 𝑟 es la distancia desde el origen. 𝜃 es el ángulo con respecto al eje 𝑥.

Dados dos segmentos AB, CD, con pendientes m1 y m2. El ángulo entre ellas se calcula como

Ángulos Internos

Sea P un polígono, un ángulo interno se define como la medida en radianes o grados de la apertura entre dos lados de P

Envolventes

Una envolvente de una familia de curvas en el plano es una curva tangente a cada miembro de la familia en algún punto, y estos puntos de tangencia juntos forman la envolvente completa