Blog Geometría Analítica

Conceptos básicos, fórmulas y ejemplos

CONTENIDO TEMÁTICO

Roto-Taslación

Geometría Analítica

Curvas Polares

Cambio de coordenadas

Plano Cartesiano

Geometría Analítica

Cónicas

Recta

Plano Polar

Antece-dentes

Características y diferencias de la geometría

Diivisión de un segmento

Bosqueo de curvas polares

Caracte-rísticas

Clasificación y elementos

Apolonio

Definición

Representación geométrica

Polígono

Tipos de Rectas

Elementos de las cónicas

Centro: Punto de simetría.Vértice: Punto más cercano al foco.Focos: Puntos especiales que definen la forma de la cónica.Excentricidad: Medida de cuán "alargada" es la cónica (0 para circunferencia, entre 0 y 1 para elipse, 1 para parábola y mayor que 1 para hipérbola).Ejes: Líneas que definen la simetría de la cónica (eje mayor, menor).

Tipos de cónicas

• Elipse: Se forma con un corte oblicuo. Tiene dos ejes (mayor y menor) y dos focos. La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los focos es constante.

• Circunferencia: Es un caso especial de la elipse, cuando el corte es perpendicular al eje del cono. Tiene un solo eje, el radio, y un único centro.

• Parábola: Se forma cuando el corte es paralelo a una generatriz del cono. Todos los puntos están equidistantes de un foco y una directriz.

• Hipérbola: Se forma con un corte mayor que el de la elipse, y tiene dos ramas. La diferencia de las distancias desde cualquier punto de la hipérbola a los dos focos es constante.

El plano polar es un sistema de coordenadas donde cada punto se describe mediante dos valores: radio r (distancia desde el origen) y ángulo θ (medido desde el eje x).

Plano Polar

Componentes:Origen: El punto central, donde 𝑟=0Radio 𝑟: Distancia desde el origen hasta el punto. Si 𝑟>0, el punto está en la dirección de 𝜃; si 𝑟<0, en la dirección opuesta.Ángulo θ: Medido desde el eje 𝑥, generalmente de 0 a 2𝜋.

1. Me dan el segmento
2. Me dan la razón
3. Sumar los números del numerador y el denominador
4. Trazar un segmento que forme un ángulo agudo y dividirlo con el resultado de la suma del 3er paso
5. Unir el final del nuevo segmento con B
6. Asignar a cada parte el valor del numerador
7. Se traza una línea paralela según el segmento del numerador

EJEMPLO

Mundo Plano

Apolonio

Apolonio de Perge o Perga (en griego Ἀπολλώνιος) (Perge, c. 262 a. C. - Alejandría, c. 190 a. C.) 1 ​ fue un matemático y astrónomo griego famoso por su obra Sobre las secciones cónicas. Él fue quien dio el nombre de elipse, parábola e hipérbola, a las figuras que conocemos.

Las rectas paralelas son aquellas líneas que nunca se cortan y mantienen la misma distancia entre sí. Algunas características de las rectas paralelas son:

• No tienen ningún punto en común.
• Están dentro del mismo plano.
• Tienen la misma pendiente (m) de y=mx+b

Rectas Paralelas

Sea P un polígono, el área de P es el número que indica el tamaño de P en el plano.

Área

EJEMPLO

1. Identifico los puntos del polígono en el plano
2. Coloco los puntos en orden repitiendo al final el primer punto en la fórmula
3. Multiplico los valores diagonalmente de izquierda a derecha y sumo dichos resultados
4. Multiplico los valores diagonalmente de derecha a izquierda y resto dichos resultados
5. Termino mi fórmula y obtengo mi resultado en u

2

EJEMPLO

La raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de las diferencias de las abscisas con las ordenadas da como resultado la hipotenusa, o en este caso, la distancia entre dos puntos.

Distancia entre dos puntos

https://youtu.be/DihycbiSU6o

RECTA: Conjunto de puntos que satisfacen una condición.

Recta y lugar geométrico

LUGAR GEOMÉTRICO: Que consta de todos los pares de puntos con pendiente constante

Plano Cartesiano

EJEMPLO

Un polígono es una figura cerrada y limitada por lados rectos

Polígono

Perímetro

Dado un polígono P, el perímetro P es el npumero que se obtiene como la suma de la longitud de sus lados

Un conjunto de rectas que tienen una propiedad en común, o condición en común.

Familia de Rectas

Conjunto de rectas que forman un ángulo de 90°. Se puede comprobar si el resultado de la multiplicación de las pendientes diera como resultado -1.

EJEMPLO

EJEMPLO

Rectas perpendiculares

https://youtube.com/shorts/IcyHkeHcHiI?feature=share

La roto-traslación es una combinación de rotación y traslación en el plano. Primero se rota una figura alrededor de un punto, luego se traslada a una nueva posición. Esta transformación conserva la forma y el tamaño de la figura, pero cambia su ubicación y orientación en el plano.

Roto-Traslación

Geometría moderna.

1900 d. C.

Plano Cartesiano.

1637 d. C.

El Renacimiento y el interés por las matemáticas.

Siglo XV d. C. - Siglo XVI d. C.

El inicio de la Geometría Aplicada.

Siglo IX d. C. - Siglo XII d. C.

Floreció en manos de la India.

Siglo V d. C.

Avanves en Grecia.

Siglo VI a.C. - Siglo III a.C.

Métodos de medición de los egipcios.

1500 a. C.

Inicios en Egipto.

3000 a. C.

Antecedentes

La pendiente es una medida numérica que indica la dirección y la inclinación de una línea (recta) en los ejes cartesianos.

EJEMPLO

Pendiente

Los principales tipos de geometría que existen son:

Tipos de Geometría

• Geometría Ecludiana: Se ocupa del estudio de las figuras planas y del espacio tridimensional
• Geometría Analítica: Combina la geometría con el álgebra
• Geometría del Espacio: Se centra en la representación gráfica de objetos tridimensionales en un plano bidimensional

• Geometría Plana: Trata con objetos como el punto, la línea, el círculo, el triángulo y el polígono

Fórmula para encontrar las coordenadas de un punto P que divide al segmento en una razón dada.

División de un segmento en una razón dada

1. Me dan un segmento AB
2. Me dan la razón
3. Usando un ángulo agudo trazamos una línea a partir del punto B de distancia "b" de la razón
4. Usando el MISMO ángulo agudo trazzamos una línea a partir del punto A de distancia "a" de la razón
5. Trazamos una línea del final de "a" hasta el final de "b" y el punto que intersecte AB será C

EJEMPLO

Mundo Plano

El bosquejo de curvas polares implica representar gráficamente ecuaciones de la forma 𝑟=𝑓(𝜃), donde: 𝑟 es la distancia desde el origen. 𝜃 es el ángulo con respecto al eje 𝑥.

Bosqueo de curvas polares

Sea P un polígono, un ángulo interno se define como la medida en radianes o grados de la apertura entre dos lados de P

Ángulos Internos

Dados dos segmentos AB, CD, con pendientes m1 y m2. El ángulo entre ellas se calcula como

Una envolvente de una familia de curvas en el plano es una curva tangente a cada miembro de la familia en algún punto, y estos puntos de tangencia juntos forman la envolvente completa

Envolventes

Presentación