Métodos Numéricos Tema 1

PERLA MARIA PEREYRA MEDINA

1. Introducción a los métodos numéricos

Referencias

Conclusión

1.3 Convergencia.

1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento.

1.1 Conceptos básicos: Algoritmos y aproximaciones.

Introducción

índice

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible analizar problemas de diversa índole que puedan resolverse empleando operaciones del área de matemáticas. Estas operaciones por lo general implican múltiples cálculos tediosos, pero gracias al uso de las computadoras, el tiempo de trabajo se reduce considerablemente.

MÉTODOS NÚMERICOS

INTRODUCCIÓN

SUBTEMA 1

Algoritmos: Un algoritmo es una secuencia finita de pasos o instrucciones bien definidas para resolver un problema específico o realizar una tarea. En computación y matemáticas, los algoritmos se utilizan para llevar a cabo cálculos, procesar datos, o realizar tareas de manera eficiente. Cada algoritmo tiene una entrada y produce una salida, y debe ser preciso, finito y ejecutable.Aproximaciones: En muchos problemas, especialmente en matemáticas aplicadas y ciencias de la computación, es difícil o imposible obtener una solución exacta. En tales casos, se utilizan métodos de aproximación para encontrar soluciones cercanas a la exacta. Las aproximaciones pueden ser necesarias cuando:

• Se trata de problemas que no tienen solución exacta.
• Los cálculos exactos son demasiado complejos o costosos.

• Se busca una solución dentro de un rango aceptable de error.
• Las aproximaciones pueden ser obtenidas mediante métodos numéricos, como los métodos de iteración o los métodos de interpolación.

1.1 Conceptos básicos: Algoritmos y aproximaciones.

Las características fundamentales que debe cumplir todo algoritmo son:

• Un algoritmo debe ser preciso e indicar el orden de realización de cada paso.
• Un algoritmo debe estar definido. Si se sigue un algoritmo dos veces, se debe obtener el mismo resultado cada vez. Un algoritmo debe ser finito. Si se sigue un algoritmo se debe terminar en algún momento; o sea, debe tener un número finito de pasos.
• La definición de un algoritmo debe definir tres partes: entrada, proceso y salida.Entrada: es la información de partida que necesita el algoritmo para arrancar. Proceso: es el conjunto de todas las operaciones a realizar.Salida: son los resultados obtenidos.

SUBTEMA 1

1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.2.- Aunque ciertos números representan números específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. Por lo que podemos tener un algoritmo aproximado.Dado un problema completo, es probable que no sepamos resolverlo de manera precisa y completa utilizando un algoritmo polimico en tiempo. Para este tipo de problemas, los algoritmos que conducen a una solución óptima se llaman algoritmos de aproximación. Sin embargo, resulta parcialmente interesante que estos garanticen una cota en el margen de imprecisión.

La mayor parte de las técnicas tiene la característica de poseer errores. Aunque la perfección es una meta digna de alabarse, es difícil, si no imposible, alcanzarla. Sin embargo, sus distribuciones aleatorias se agrupan muy próximas alrededor de la predicción.En algunos conceptos básicos de los Métodos Numéricos podemos encontrar los siguientes: cifra significativa, presición, exactitud, incertidumbre y sesgo, que forman parte de las aproximaciones y predicciones numéricas adecuadas.Cifras significativas: cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

¿ A P R O X I M A C I Ó N ?

SUBTEMA 1

El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresaro como:

Es el cociente (la divisón) entre el error absoluto y el valor exato. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por cierto (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o pordefecto. No tiene unidades.Y el erro relativo como:

Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positivo o negativa). Tienen unidades, las mismas que las de la medida.Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como:

Error Relativo

Error Absoluto

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida.Podemos distingir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

Info

1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento.

Los errrores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximidamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por:

S U B T E M A 2

Errores de Redondeo

Info

Error de redondeo. La casi totalidad de los números reales requieren, para su representación decimal, de una infinidad de dígitos. En la práctica, para su manejo sólo debe considerarse un número finito de dígitos en su representación, procediéndose a su determinación me diante un adecuado redondeo.Los errores de redonde se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo, Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar "pi " como "pi" = 3.141592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo.Ya quela mayor part de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar crítico en algunos métodos numéricos:

1. Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para btener una respuesta. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.
2. Elefecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grands al mismo tiempo. Ya que este aso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultr de mucha importancia.

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Errores de Truncamiento

Son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en ls métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomual: Serie de Taylor.En el truncamiento se reduce el número de decimales eliminando aquellos que son menos significativos. Es decir, el truncamiento consiste en quitar las cifras que están a la derecha de la cifra por la que queremos truncar.Por ejemplo, al aproximar por truncamiento en las centésimas el número 65,71834 obtenemos el número 65,71, ya que simplemente tenemos que quitar los decimales posteriores a las centésimas (834).

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Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un buen número de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado.En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteracciones que otro, para acercarse al valor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia.Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario divergen; es decir, se alejan cada vez más y más del resultado deseado.En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que otro, entonces se dice que tiene una mayor estabilidad.Normalmente se puede encontrar métodos que convergen rápidamente, pero son demasiado inestables y, por el contario, modelos muy estables, pero de lenta convergencia.En Métodos numérico la velocidad con la cual una sucesión converge a su límite es llamada orden de convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista práctico, muy importante si necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un método iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre necesitar diez o un millón de iteraciones.

1.3 CONVERGENICA

SUBTEMA 3

Los métodos numéricos nos permiten comprender y aplicar algoritmos numéricos para resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos utilizando computadoras. Estos métodos nos capacitan para desarrollar programas y utilizar software especializado, mejorando así nuestras habilidades computacionales y nuestro conocimiento matemático.El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos, utilizando operaciones aritméticas básicas. A través de una secuencia de cálculos, podemos obtener resultados numéricos que se acercan a la solución exacta.

CONCLUSIONES

CIERRE

• Angel. (2018). METODOS NUMERICOS. 2018, de Tema Filigrana Sitio web: https://mismetnum.blogspot.com/2018/04/convergencia.html
• Lenin. (2012). Errores de redondeo y truncamiento. 21 de marzo, de Tema fantástico Sitio web: https://errorredtrun.blogspot.com/
• Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz. (2021). Errores de truncamiento y redondeo. 18 de mayo, de Matemática Superior Aplicada Sitio web: https://www.modeladoeningenieria.edu.ar/images/MatSup/2020/Errores_de_Redondeo_y_Truncamiento_Parte_I.pdf
• Mejia Jervis, Tatiana. (13 de junio de 2017). ¿Qué es el Error Porcentual y Cómo se Calcula? 10 Ejemplos. Lifeder. Recuperado de https://www.lifeder.com/error-porcentual/.
• Zapata, Fanny. (18 de junio de 2019). Error relativo: fórmulas, cómo se calcula, ejercicios. Lifeder. Recuperado de https://www.lifeder.com/error-relativo/.
• Pilar Marín Fernández. (2022). ERROR ABSOLUTO. 3 de septiembre, de Microsoft Word Sitio web: https://view.officeapps.live.com/op/view.aspx?src=https%3A%2F%2Fwww.uv.es%2Fvimonmas%2Fmneq%2Ffitxers%2FT01G11&wdOrigin=BROWSELINK
• Equipo Métodos Numéricos. (2012). Métodos Numéricos . 14 de febrero, de Equipo Métodos Numéricos Sitio web: https://sites.google.com/site/metnum00/home/unidad-i/1-1-algoritmos-y-aproximaciones

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

E J E M P L O

REGLAS DE REDONDEO

Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redondeo de números cuando se realizan cálculos a mano.