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CALCULO DIFERENCIAL

GABRIEL ADRIAN CEN DZUL

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El descubrimiento de estos números se atribuye a Pitágoras, famoso matemático griego. El sistema de números reales (ℝ) incluye subconjuntos como los naturales (ℕ), enteros (ℤ), racionales (ℚ) e irracionales.

El conjunto de los números reales abarca a los números racionales y a los números irracionales, pudiendo ser expresados por un número entero o un número decimal.

1.1LOS NUMEROS REALES Y SUS SUBCONJUNTOS

[a, b) = { x / a ≤ x < b}

• Intervalo semiabierto a derecha (o semicerrado a izquierda) Es el conjunto de números reales formado por a y los números comprendidos entre a y b. [a, b)

(a, b] = {x / a < x ≤ b}

• Intervalo semiabierto a izquierda (o semicerrado a derecha) Es el conjunto de números reales formado por b y los números comprendidos entre a y b (a,b]

[a, b] = { x / a ≤ x ≤ b}

• Intervalo cerrado Es el conjunto los numeros reales entre a y b incluyendo sus extremos. [a, b]

(a, b) = {x / a < x < b}

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Es el conjunto de números reales comprendidos entre dos lados: a y b (son los extremos del intervalo). También se le llama intervalo al segmento determinado por los puntos a y b que representa una porción de la recta real.

TIPOS • Intervalo abiertoEs el conjunto de los números reales entre a y b, sin incluir sus extremos (a, b)

1.2 Intervalos en los reales y su representación gráfica.

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Relación Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto. FUNCION Una función matemática (también llamada simplemente función) es la relación que hay entre una magnitud y otra, cuando el valor de la primera depende de la segunda. DOMINIO En otras palabras, el dominio de una función es el conjunto de valores de entrada permitidos para que la función de vuelva un valor real. RANGO Valor numérico que sirve para manifestar la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de una muestra poblacional en Estadística.

Variable Cualquier símbolo o palabra que represente a cualquier valor de los comprendidos en un conjunto. Independiente: es aquella cuyo valor no depende del de otra variable. La variable independiente en una función se suele representar por x. La variable independiente se representa en el eje de abscisas. Dependiente: es aquella cuyos valores dependen de los que tomen otra variable. La variable dependiente en una función se suele representar por y. La variable dependiente se representa en el eje ordenadas. La variable y está en función de la variable x, que es la variable independiente.

Definiciones básicas

La gráfica de una función es el conjunto de puntos en el plano de la forma (x,y) en donde x está en el dominio de la función y además y=f(x).

La matemática numérica es la rama de las matemáticas que se ocupa de desarrollar métodos y herramientas para resolver problemas matemáticos en forma numérica con el fin de que los resultados cuantitativos

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Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada valor del primer conjunto, denominado dominio, le corresponde un único valor del segundo conjunto, denominado recorrido. Decimos que estamos ante una función real de variable real cuando tanto el primer conjunto como el segundo está formados por números reales. Se define una función real de variable real, o simplemente función real, como aquella función matemática que hace corresponder a cada número real otro número real a través de una regla de transformación f(x).

analítica es una de las ramas de las matemáticas que se dedica al estudio de las figuras geométricas y todos los datos que puede obtenerse de ellas como son las distancias, volúmenes, áreas, ángulos de inclinación y los puntos de intersección,

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL Y SUS DISTNITAS REPRESENTACIONES

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Polinomiales : Una función polinómica es una función cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, una función polinómica está definida por la suma o resta de un número finito de términos de diferente grado.RACIONALES:Una función racional es aquella función formada por el cociente de dos polinomios, es decir, una función racional es una fracción que tiene un polinomio en el numerador y en el denominador. Las funciones racionales se caracterizan por tener singularidades en aquellos puntos en los que se anula el denominador.

funciones algebraicas

La función en este ejemplo es una función lineal por partes, porque cada una de las tres partes de la gráfica es una recta. Las funciones definidas por partes también pueden tener discontinuidades ("saltos"). La función en el ejemplo siguiente tiene discontinuidades en Math diagram y Math diagram .

Ejemplo 1: Considere la función definida como sigue.

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Una función definida por partes es aquella que no esta definida por una ecuación sola, sino por dos o más. Cada ecuación es válida para algún intervaloLas funciones definidas por secciones son aquellas en las que hay dos o más intervalos de valores y para cada uno de ellos hay una regla de correspondencia diferente.

Funciones definidas por partes

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funciones logarítmicas: son funciones del tipo f(x)=logax, donde a (la base) es un número real mayor que cero y distinto de 1.funciones exponenciales: s tienen la forma f(x) = bx, donde b > 0 y b ≠ 1. Al igual que cualquier expresión exponencial, b se llama base y x se llama exponente.

trigonometricas: son aquellas cuya variable independiente o incógnita es un ángulo. Estas funciones son periódicas, es decir, la evolución de las funciones se repite en intervalos definidos.

Funciones tracendentes

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Transformación rígida: es un tipo especial de transformación que no cambia el tamaño o la forma de una figura. Podríamos imaginar que está hecho de un material sólido como madera o metal: podemos moverlo, girarlo o voltearlo, pero no podemos estirarlo, doblarlo ni deformarlo. Una transformación no rígida cambia el tamaño o la forma de la gráfica. Una traslación vertical es una transformación rígida que desplaza una gráfica hacia arriba o hacia abajo en relación con la gráfica original. Esto ocurre cuando se agrega una constante a cualquier función.

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Transformaciones rigidas y no rigidas

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Una función par es aquella que satisface que cualquier valor de su dominio tiene la misma imagen que el valor opuesto. En símbolos: La gráfica de una función par cumple con la propiedad de ser simétrica respecto al eje y.Una función impar es aquella que satisface que cualquier valor de su dominio tiene como imagen al opuesto de la imagen del valor opuesto. En símbolos: La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Funcines pares, impares y ni par ni impar

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inyectiva:, es aquella que, a distintos elementos del conjunto inicial (el dominio), les corresponden distintos elementos del conjunto final (el codominio). Esto quiere decir que cada elemento del codominio tiene no más de una preimagen en el dominio: o, expresado de otra manera, que cada elemento del dominio no puede tener más de una imagen en el codominio.Sobreyectiva: implica que cada elemento del segundo conjunto es la imagen de, al menos, un elemento del primer conjunto, Puede decirse que, en una función sobreyectiva, cada elemento del segundo conjunto (al que podemos llamar Y) cuenta con, al menos, un elemento del primer conjunto (X) al que le corresponde. biyectiva:Una función biyectiva es una función f que es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).á

funcion inyectiva sobreyectiva y biyectiva

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AUna función inversa o también llamada recíproca es aquella que cumple que el dominio es igual al recorrido de la función original y su recorrido es igual al dominio de la misma función.Entonces, en lenguaje algebraico si tenemos una función; No todas las funciones tienen una función inversa, ya que si un elemento del codominio no es imagen de un elemento del dominio, cuando se aplique su función inversa, esta no será función. Por lo tanto, para que una la función inversa exista, la función original tiene que ser biyectiva, lo que obliga que a todos los elementos de B llegue solo una flecha desde A (inyectiva y sobreyectiva a la vez), así, cuando la función inversa actúe a cada elemento de B se le asigna uno y solo uno de los elementos de A.

La funcion inversa

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Una función f: X y es llamada función implícita, si la variable dependiente no se produce de forma explícita, en un lado de la ecuación, en términos de la variable independiente. En una función implícita, el valor de y puede ser obtenido resolviendo la ecuación en términos de x.Una función implícita también se conoce como un conjunto de nivel de cualquier función en términos de dos variables. Fuera de esas dos variables, una de ellas se puede determinar con la ayuda de otra variable. Pero no existe ninguna fórmula específica para determinar una variable en términos de otra variable.

La funcion implicita

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