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Mate III

DIVISIÓN DE UN SEGEMENTO EN UNA RAZÓN DADA Y PUNTO MEDIO

En esta semana exploraremos dos temas clave en geometría: a) División de un segmento en una razón dadab) Punto medioEstos conceptos son fundamentales para resolver problemas geométricos y aplicar proporciones en diversas situaciones prácticas.

La razón se define como el cociente de dividir la distancia dirigida del punto inicial al punto de división entre la distancia dirigida del punto de división al punto final, y es positiva si el punto de división se encuentra entre los extremos del segmento y es negativa si el punto de división se encuentra en la prolongación de uno de los extremos.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

escDIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Dividir un segmento en una razón dada es una técnica geométrica que nos permite cortar un segmento en partes que mantienen una proporción específica. Esta habilidad es esencial para resolver problemas que requieren particiones precisas y proporcionales.

Nota: en este caso la razón es positiva, por tanto, el punto de división se encuentra entre los extremos del segmento.

Ejemplo 1:

Ejemplo 1:

Si P1(1,-4) y P2(-3,2)son los puntos extremos del segmento dirigido P1 P2, hallar las coordenadas del punto P(x,y) que divide a este segmento en la razón r=1/2

Nota: en este caso la razón es negativa, por tanto, el punto de división se encuentra en la prolongación de alguno de los extremos del segmento.

Ejemplo 2:

Ejemplo 2:

Si P_1 (-2,-2) y P_2 (4,5)son los puntos extremos del segmento dirigido P_1 P_2, hallar las coordenadas del punto P(x,y) que divide a este segmento en la razón r=-3

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

El punto medio de un segmento de línea es el punto que se encuentra exactamente en el centro de ese segmento. En otras palabras, divide el segmento en dos partes iguales. Para encontrarlo, simplemente calculamos el promedio de las coordenadas de los extremos del segmento.Por ejemplo, imagina que estás midiendo una habitación y quieres colocar un cuadro justo en el centro de una pared. El punto medio nos ayuda a determinar esa ubicación precisa, asegurando que el cuadro quede equilibrado y estéticamente agradable.Lo más básico en la Geometría son los puntos:• La propiedad fundamental de los puntos es que sólo tienen una posición.• Los puntos no tienen libertad de movimiento.• Para dar nombre a los puntos lo hacemos por medio de etiquetas, usualmente usamos letras mayúsculas.Como los puntos no tiene libertad de movimiento, para ir de un punto a otro, conectamos ambos puntos, utilizando todos los puntos alineados que se encuentren entre ellos dos. La figura o la recta que surge al conectar los dos puntos se llama segmento.

Puntos clave:

Definición: El punto medio es el punto que divide un segmento de línea en dos partes iguales.Aplicación: Nos ayuda a encontrar ubicaciones equidistantes.Por tanto, el punto medio del segmento P1 P2, que llamaremos M, es un punto del segmento que dista lo mismo de P1 que de P2. Esto quiere decir que: si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidistante de los extremos del segmento.

Tenemos dos métodos para obtener el punto medio de un segmento: • Analítica (fórmula).• Gráfica (construcción de un trazo).

Método 2: Podemos determinar el punto medio de un segmento de manera gráfica empleando herramientas como la regla y el compás. Para ello, es necesario seguir los siguientes pasos:

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Método 1: El punto medio M del segmento AB, está dado por la siguiente fórmula:

Paso 3. Procedemos a realizar un trazo de la siguiente manera.

Paso 2. Colocamos nuestro compás en cualquiera de los extremos y realizamos la apertura de más de la mitad del segmento.Nota: Requerimos de una apertura de más de la mitad para asegurar un cruce ya que este proceso lo repetiremos en el otro extremo del segmento.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Paso 1: En una hoja y con ayuda de la regla trazamos un segmento cualquiera.

Nota: Básicamente la construcción del punto medio del segmento conlleva a la construcción de una mediatriz.La línea punteada entonces es la mediatriz de un segmento.La mediatriz corta a la mitad un segmento y es perpendicular a este.

Paso 5. El punto de cruce del segmento con la línea auxiliar se le conoce como punto medio del segmento.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Paso 4. Con la misma apertura, colocar el compás en el otro extremo y realizar un trazo como el que se muestra a continuación.Encontramos dos puntos de cruce (rojo), los cuales uniremos a través de una línea auxiliar (línea muy fina y punteada).

Solución: Teniendo en cuenta los datos proporcionados del segmento AB, obtenemos el punto medio de manera analítica:Para obtenemos el punto medio utilizando el compas y regla, para ello, graficamos el AB en un plano cartesiano y aplicamos los pasos en listados en el método 2.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Ejemplo 3: Obtener de manera analítica y grafica el punto medio del siguiente segmento

Ejemplo 5: Los puntos extremos de un segmento son A(p, 4) y B(8, 10). Encuentra el valor de p si el punto medio es M(3, 7).Solución: Nos apoyamos en la fórmula de punto medio para obtener el valor solicitado, por tanto:

Solución: Para el primer segmento, tenemos: Para el segmento segmento tenemos: C(2,5); D(6,9)

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Ejemplo 4: Obtener de manera analítica el punto medio de los siguientes segmentos: A(-1,3); B(7,-3) C(2,5); D(6,9)

En este material, aprendimos a dividir un segmento en una razón específica y a encontrar su punto medio. Estos conceptos son fundamentales en la geometría y tienen aplicaciones prácticas en la vida diaria, desde el diseño de objetos hasta la planificación de espacios. Dominar estas técnicas nos ayuda a entender mejor la relación entre puntos y segmentos en un plano, lo que es clave para avanzar en temas más complejos en matemáticas.

GroeneveldTon. (2020). Universal mathematical program for digital school boards. http://geoenzo.com/geoenzo/geoenzo.htmFuenlabrada, S. (1994), Geometría y Trigonometría, México D.F., McGraw-Hill

Bibliográfia

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