Cálculo Diferencial

"Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano"

CÁLCULO DIFERENCIAL

Anhelí Beberaje CachCarrera: Mecatrónica

Indice

• Números
• Funciones Pares
• Funciones Impares
• Funciones sin Paridad
• Función Inyectiva
• Función Suprayectiva
• Función Biyectiva
• Función Inversa
• Función Implícita

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• Formulación de Funciones como Modelos Matemáticos
• Modelación de Fenómenos como Funciones
• Intervalos en los Números Reales
• Definiciones Básicas
• Función Real de Variable Real
• Funciones Algebraicas
• Funciones Trascendentes
• Función Definidas por Partes
• Operaciones con Funciones
• Transformaciones Rígidas
• Transformaciones No Rígidas

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Funciones

Números

R

Q

Z

N

I

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Cuando son simétricas al eje Y

Funciones Pares

Cuando el lado derecho se dobla al lado izquiedo o viceversa, es totalmente igual.

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Funciones Pares

En una expresión

f(-x) = f(x)

¿Cómo se realizan?

- Se sustituyen todas las "x" con "-x" - El resultado tiene que ser igual a la expresión original

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Cuando son simétricas con respecto al ORIGEN

Funciones Impares

Tenemos una función y su respectiva recta

Trazamos una línea imaginaria sobre un lado de nuestro gráfico

Imaginamos que lo volteamos hacia el lado contrario En este caso es hacia la izquierda

Finalmente lo volteamos hacia su lado opuesto En este caso es hacia abajo

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En una expresión

Funciones Impares

f(-x) = -f(x)

¿Cómo se realizan?

-Se sustituyen todas las "x" con "-x" -Se realiza una factorización para que tengan los mismos signos -El resultado tiene que ser igual a la expresión original

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Funciones sin Paridad

En una expresión

¿Cómo se realizan?

-Se sustituyen todas las "x" con "-x" -Se realiza una factorización para que tengan los mismos signos -El resultado no coincide con la expresión inicial

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Función Inyectiva

Al conjunto inicial (dominio) le corresponden distintos elementos que al confunto final (codominio)

DATOS IMPORTANTES

¡JUEGO!

Características (dar clic)

Dominio y Codominio (dar clic)

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¿Es una función inyectiva?

Seleccione si la imagen es una función inyectiva o no

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A cada elemento del conjunto de llegada le corresponde por lo menos, un elemento del conjunto de partida

DATOS IMPORTANTES

¡JUEGO!

Función Suprayectiva

Características (dar clic)

Ilustraciones (dar clic)

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¿Es una función suprayectiva?

Seleccione si la imagen es una función suprayectiva o no

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Cumple con la condición de la función inyectiva y suprayectiva

DATOS IMPORTANTES

Función Biyectiva

Características (dar clic)

Ilustraciones (dar clic)

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Función Inversa

Función que "deshace" el efecto de una función original. Para que una la función inversa exista, la función original tiene que ser biyectiva

-Intercambiar variables-Despejar x

Ejemplo #1

Ejemplo #2

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Función Implícita

-La variable "y" puede estar acompañada-La variable "x" o el lado derecho puede estar acompañada de otra variable

Ejemplos

MásEjemplos

Función Explícita: -La variable "y" debe de estar despejada -La variable "x" o el lado derecho solo puede estar acompañada por la misma variable

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Formulación de Funciones como Modelos Matemáticos

Creación de funciones que describen y predicen el comportamiento de sistemas reales basándose en datos empíricos, teorías y suposiciones sobre cómo funciona el mundo

¿Cómo se hacen?

1. Se establecen las variables 2. Se traduce del lenguaje común al lenguaje matemático 3. Finalmente se expresa la variable dependiente en términos o en función de la variable independiente

Ejemplo #1

Ejemplo #2

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Modelación de Fenómenos como Funciones

Proceso de identificar fenomenos físicos, químicos, etc. Con la intencion de estudiar y predecir una gran variedad de situaciones en la vida cotidiana

¿Quiénes las ulilizan?

Ejemplos

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Intervalos en los Números Reales

Indican si los extremos del intervalos están o no contenidos en el intervalo

DEFINICIONES

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Definiciones Básicas

VARIABLE

RELACIÓN

FUNCIÓN

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Definiciones Básicas

DOMINIO RANGO

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Función Real de Variable Real

Función en la que tanto el dominio como el rango son subconjuntos de los números reales

Analítico

Numérico

Gráfico

Verbal

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Funciones Algebraicas

POLINOMIALES

Está definida por la suma o resta de un número finito de términos de diferente grado. Se describe matemáticamente con la siguiente expresión:

RACIONALES

Una función racional es una fracción que tiene un polinomio en el numerador y en el denominador

Expresión Algebraica (de un clic)

Ejercicio (de un clic)

Expresión Algebraica (de un clic)

Ejercicio (de un clic)

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Funciones Trascendentes

Es aquella en la que la variable independiente "x" está sometida a operaciones que no son exclusivamente algebraicas

EXPONENCIALES

Definición (de un clic)

Ejercicio (de un clic)

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Funciones Trascendentes

TRIGONOMÉTRICAS

LOGARITMICAS

Definición (de un clic)

Tabla representativa (de un clic)

Definición (de un clic)

Ejercicio (de un clic)

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Funciones que son definidas por diferentes fórmulas o funciones para cada intervalo

DATOS IMPORTANTES

Función Definidas por Partes

¿En dónde se puede aplicar? (dar clic)

Ejercicios (dar clic)

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Operaciones con Funciones

ADICIÓN

SUSTRACCIÓN

MULTIPLICACIÓN

DIVISIÓN

COMPOSICIÓN

Definición (de un clic)

Ejercicios (de un clic)

Definición (de un clic)

Ejercicios (de un clic)

Definición (de un clic)

Ejercicios (de un clic)

Definición (de un clic)

Ejercicios (de un clic)

Definición (de un clic)

Ejercicios (de un clic)

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Transformaciones Rígidas

Son aquellas que cambian la posición de la gráfica de una función sin alterar su forma ni su tamaño

GRÁFICO

EJEMPLO

Las transformaciones de funciones son operaciones que modifican la gráfica de una función de diversas maneras, ya sea desplazándola, estirándola, comprimiéndola o reflejándola. Estas transformaciones se dividen en rígidas y no rígidas dependiendo de cómo afectan la forma y posición de la gráfica original de la función

Para profundizar más en el tema (de un clic)

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Son aquellas transformaciones que alteran la forma y/o el tamaño de la gráfica, pero no su posición. Pueden estirar, comprimir o cambiar la orientación de la gráfica en uno o ambos ejes

GRÁFICO

EJEMPLO

Transformaciones No Rígidas

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Simplemente debemos multiplicar las expresiones de cada función

Números Naturales

Comienzan con el 1 y siguen hasta el infinito. No incluyen números negativos, decimales ni el cero.

Se define como donde "𝑎" es una constante positiva conocida como la base de la función, y "𝑥" es la variable independiente (o exponente). La base "𝑎" debe ser un número positivo y diferente de 1

Es cualquier conjunto de pares ordenados donde el primer elemento proviene del primer conjunto (llamado dominio) y el segundo elemento proviene del segundo conjunto (llamado codominio). Una relación simplemente establece una conexión entre elementos de dos conjuntos, sin ninguna restricción sobre cómo estos elementos se emparejan

Números Irracionales

Son aquellos que no se pueden expresar como una fracción o razón de dos números enteros. Se caracterizan por tener una parte decimal infinita y no periódica.

Números Enteros

Todos los números que no tienen decimal y pueden ser positivos, negativos o cero.

Es la expresión matemática que define la relación entre las variables. Para la función 𝑓(𝑥)=𝑥^2 , la representación analítica es: f(x)=x^2 Esto significa que para cada valor de 𝑥 en el dominio, la función 𝑓 𝑥 ) devuelve el cuadrado de 𝑥

Describe la función en palabras. Para la función 𝑓(𝑥)=𝑥^2 , la descripción verbal podría ser:La función f(x) = x^2 toma un número real "x" y lo eleva al cuadrado. Esto significa que para cualquier valor de "x", la salida de la función es el valor de "x" multiplicado por sí mismo. Por ejemplo, si el valor de "x" es 3, entonces f(x) será 3^2 , que es 9. Si "x" es -2, entonces f(x) será (-2)^2, que es 4. La gráfica de esta función es una parábola que se abre hacia arriba, con el vértice en el origen del sistema de coordenadas

Es el método de utilizar una función como entrada de otra función, lo que da lugar a una nueva función única.consiste en la aplicación sucesiva de dos funciones

Es la resta de las imágenes de cada función que participa en la operación

Es igual a la suma del valor de cada función

Todos los elementos del conjunto final Y tienen al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde En la grafica siempre tiene que ir de abajo hacia arriba

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles de entrada (o argumentos)para los cuales la función está definida. Es decir, es el conjunto de todos los valores de la variable independiente (generalmente x) que se pueden utilizar en la función para obtener un valor de salida

Se trata de las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Son de gran importancia en física, astronomía, cartografia, náutica, en la representación de fenómenos periódicos, entre otras muchas aplicaciones.

Muestra la función mediante una tabla de valores. En esta tabla, se eligen algunos valores de "x" y se calculan los valores correspondientes de 𝑓( 𝑥 )Esta tabla muestra cómo cambia el valor de 𝑓( 𝑥 ) en función de 𝑥

Son aquellas funciones cuya variable independiente "x" forma parte del argumento de un logaritmo, es decir, son de la siguiente forma:Donde "a" es obligatoriamente un número real positivo y diferente de 1

Variable dependiente: Una variable dependiente es aquella cuyo valor depende de otro factor, generalmente de una o más variables independientes. En un experimento o función matemática, la variable dependiente es la que se observa o mide para ver cómo cambia en respuesta a las variaciones de la variable independiente

Muestra la función en un plano cartesiano, con el eje horizontal representando la variable independiente "𝑥" y el eje vertical representando la variable dependiente 𝑓( 𝑥 )

Números Racionales

Son cualquier número que puede escribirse en la forma a/b , donde "a" y "b" son enteros.El número "b" no puede ser cero.

Es un símbolo que se utiliza para representar cantidades desconocidas, diferentes estados, o datos medidos en un experimento

Es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, se le denomina codominio

Funciones que están definidas en un mismo intervalo y tienen la misma variable independiente

Números Reales

Números que pueden representarse en una línea continua sin huecos

Variable independiente: Es aquella que se manipula o controla para investigar su efecto sobre otra variable, que es la variable dependiente. Es la variable de entrada o causa en un experimento o función matemática, y su valor no depende de otras variables en el contexto de un estudio o ecuación

El rango (o imagen) de una función es el conjunto de todos los posibles valores de salida que la función puede producir. En otras palabras, es el conjunto de todos los valores que la función toma cuando se aplica a cada valor del dominio.