Álgebra-s3.1

ESPACIOS VECTORIALES​

Álgebra

Combinación lineal y espacio generado​

Definición y propiedades básicas​

Subespacios vectoriales​

ÍNDICE

Definición y propiedades básicas​

• Espacio vectorial real V: conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar, y que satisfacen los diez axiomas.​

• Los escalares tienen una estructura denominada campo, la cual consiste en un conjunto de elementos y dos operaciones binarias.​

Espacio Rn​ ​​ Espacio vector trivial​ ​ ​ ​

• Conjunto que no es espacio vectorial​

• El conjunto de puntos en R2 que se encuentran en una recta que pasa por el origen constituye un espacio vectorial.​

• El conjunto de puntos en R2 que se encuentran sobre una recta que no pasa por el origen no constituye un espacio vectorial​

​ ​ ​

• El conjunto de puntos en R3 que se encuentran en un plano que pasa por el origen constituye un espacio vectorial​

​

• El espacio vectorial Pn​

​

• Los espacios vectoriales C[0, 1] y C[a, b]​

• El espacio vectorial Mmn​

​​

• Un conjunto de matrices invertibles puede no formar un espacio vectorial​

​ ​ ​​​

• Un conjunto de puntos en un semiplano puede no formar un espacio vectorial​

• El espacio Cn​

​ ​​​

• Ejemplo 2: De las siguientes afirmaciones, indique si son falsas o verdaderas:​​

​ ​​​

Subespacios vectoriales​

• Subespacios vectoriales: Se dice que H es un subespacio vectorial de V si H es un subconjunto no vacío de V, y H es un espacio vectorial, junto con las operaciones de suma entre vectores y multiplicación por un escalar definidas para V.​
• Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:​

• Para probar si H es o no un subespacio de V, es suficiente verificar que​

• La prueba anterior contiene un hecho que por su importancia merece ser mencionado de forma explícita:​​

• Subespacio trivial: Para cualquier espacio vectorial V, el subconjunto {0} que consiste en el vector cero es únicamente un subespacio.​

• Un espacio vectorial es un subespacio en sí mismo​

• Un subespacio propio de R2​

• Un subespacio propio de R3​

• Otro subespacio propio de R3​

• R no tiene subespacios propios​

• Algunos subespacios propios de Pn​

​

• Un subespacio propio de Mmn​

​

• Un subconjunto que no es un subespacio propio de Mnn​

• Un subespacio propio de C[0, 1]​

• Ejemplo 3: De las siguientes aseveraciones, evalúe si son falsas o verdaderas:

• Ejemplo 3: De las siguientes aseveraciones, evalúe si son falsas o verdaderas:

Combinación lineal y espacio generado

• El espacio generado por dos vectores diferentes de cero en R3 que no son paralelos es un plano que pasa por el origen.​

• Ejemplo 5: ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores no pueden generar a R2?​

​ ​ ​ ​ Ejemplo 6: ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de polinomios generan a P2?​

• Ejemplo 7: Indique si los siguientes enunciados son falsos o verdaderos.​

• Continuación.​

¡GRACIAS!