CIRCONFERENZE E POLIGONI

circonferenze e poligoni

DEFINIZIONE DI CIRCONFERENZA

DEFINIZIONE DI raggio

Ogni segmento che unisce il centro a un qualsiasi punto della circonferenza è detta raggio.

È l'insieme di tutti i punti di un piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso (centro).

I PUNTI

DEFINIZIONE DI CERCHIO

Il cerchio è la parte di piano costituita dalla circonferenza e da tutti i punti da esso contenuti.

DEFINIZIONE DI Corda

DEFINIZIONE Di arco

L'arco è ciscuna delle due parti in cui una circonferenza viene divisa da due dei suoi punti detti estremi dell'arco. Per individuare un arco si usa la scrittura AB

La corda di una circonferenza è ogni segmento che abbia gli estremi appartenenti alla circonferenza.

Il diametro di una circonferenza è ogni corda passante per il centro della circonferenza.

Definizione di DIAmetro

Gli estremi di un diametro dividono una circonferenza in due archi congruenti detti semicirconferenze.

PROPRIETà DIARCHI E CORDE

I diametri di una circonferenza sono tutti tra loro congruenti. d = 2 x r

La perpendicolare condotta dal centro di una circonferenza ad una corda divide tale corda a metà; tale segmento è detto distanza.

La perpendicolare ad una corda nel suo punto medio (detto asse della corda) passa per il centro della circonferenza.

In una stessa circonferenza ad archi congruenti corrispondono corde congruenti e viceversa.

Due corde congruenti di una stessa circonferenza hanno la stessa distanza dal centro.

Definizione di settorecircolare

DEFINIZIONE DI segmento circolare ad una/due base/i

Il segmento circolare ad una base è ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da una sua corda.

È ognuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da due suoi raggi.

Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio compresa fra due corde parallele. La distanza tra le due basi è chiamata altezza

definizionedi tangente

Una retta è tangente ad una circonferenza se la sua distanza dal centro è uguale alla misura del raggio

La retta tangente e la circonferenza possono avere un punto in comune detto punto di tangenza e la sua distanza dal centro è uguale alla misura del raggio OP = r .

La retta tangente e la circonferenza possono non avere alcun puntoin comune e in questo caso la retta è detta esterna e la sua distanza dal centro è maggiore rispetto alla misura del raggio: OP > r .

La retta tangente e la circonferenza possono avere due punti in comune e in questo caso la retta è detta secante e la sua distanza dal centro è minore rispetto alla misura del raggio OP < r .

Proprietà delletangenti

Se da un punto esterno ad una circonferenza conduciamo le tangenti a quest'ultima, otteniamo due segmenti di tangente (dal punto esterno ai punti di tangenza) tra loro congruenti (PT = PT); La semiretta che congiunge il punto esterno con il centro della circonferenza è bisettrice dell'angolo formato dalle due tangenti stesse T P^O = T P^O

La tangente ad una circonferenza è sempre pependicolare al raggio passante per il punto di tangenza.

LE posizioni di due circonferenze

Se le circonferenze hanno due punti in comune possono essere

Se le circonferenze hanno un punto in comune possono essere:

Se le circonferenze non hanno alcun punto in comune possono essere:

Tangenti esternamente se la distanza dei loro centri è congruente alla somma dei loro raggi: OO' = r + r' .

Secanti e congiungendo i centri delle circonferenze con uno dei punti di contatto si viene a formare un triangolo. Per questa figura ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza: OO' < r + r' e OO' > r - r'

Esterne l'una all'altra se la distanza dei loro centri è maggiore rispetto alla somma dei loro raggi: OO' > r + r'

Tangenti internamente se la distanza dei loro centri è congruente alla differenza dei loro raggi: OO' = r - r'

Interne l'una all'altra se la distanza dei loro centri è minore rispetto alla differenza dei loro raggi: OO' < r - r' . Se i due centri coincidono diremo che sono concentriche. La parte di piano compresa tra queste 2 circonferenze è detta corona circolare.

DEFINIZIONE DI ANGOLo AL CENTRODELLA CIRCONFERENZA

PROPRIETà

Angoli al centro congruenti insistono su archi congruenti e viceversa ad archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti.

È ogni angolo avente il vertice nel centro della circonferenza

DEFINIZIONE DI ANGOLo ALla CIRCONFERENZA

È ogni angolo convesso avente il vertice sulla circonferenza e i lati entrambi secanti la circonferenza oppure uno secante e l'altro tangente la circonferenza

Tutti i triangoli aventi un vertice sulla circonferenza e un lato coincidente con il diametro sono triangoli rettangoli. In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all'ipotenusa è congruente alla metà dell'ipotenusa stessa.

Ogni angolo alla circonferenza è la metà del corrispondente angolo al centro

PROPRIETà

Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco sono fra loro congruenti.

Ogni angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza è retto.

definizione di poligono inscitto in una circonferenza

Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza.

Quando il poligono è inscritto nella circonferenza si dice che la circonferenza sia circoscritta al poligono.I vertici del poligono sono tutti equidistanti dal centro e tale distanza è detta raggio del poligono

Un poligono è inscrivibile in una circonferenza se tutti gli assi dei suoi lati si intersecano in uno stesso punto che è il circocentro del poligono.

I triangoli sono sempre inscrivibili in una circonferenza.

In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari

Proprietà

Se gli angoli opposti di un quadrilatero sono supplementari allora il quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza.

Definizione di poligono circoscrtitto in una circonferenza

Un poligono è circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.

Quando il poligono è circoscritto ad una circonferenza, quest'ultima è inscritta al poligono.I lati del poligono sono equidistanti dal centro e tale distanza è detta apotema.

Un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza se le bisettrici di tutti i suoi angoli si intersecano in uno stesso punto che si chiama incentro.

PROPRIETà

Il triangolo è sempre circoscrivibile ad una circonferenza.

Se la somma delle misure di due lati opposti è congruente a quella degli altri due, allora il quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenaaza.

In un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza la somma delle misure di due lati opposti è congruente alla somma delle misure degli altri due.

Definizione di poligonoregolare

DEFInizione di raggio del poligono

DEFInizione di apotema del poligono

È il raggio della circonferenza circoscritta.

È il raggio della circonferenza circoscritta.

Un poligono è regolare se è sempre inscrivibile o circoscrivibile ad una circonferenza.

Il rapporto tra la misura dell'apotema a e quella del lato L dei poligoni regolari è costante e varia col variare del numero dei lati. Tale rapporto viene indicato con la lettera n e denominato numero fisso:

PROPRIETà

a L

Esercizio(pag. 55 nm. 137)

La distanza tra i centri di due circonferenze tangenti internamente è 48 cm. Calcola la misura dei due raggi sapendo che uno è 1/7 dell'altro.

Dati: 48 cm = R - R' R = ? R' = 1/7 R

Per prima cosa si fa 1/1 (R) - 1/7 (R') e si ottiene 6/7 (48). Per trovare R bisogna fare 48/1 : 6/7 (48/1 x 7/6) = 56 (R). Per trovare R' bisogna fare 1/7 (R') x 56 (R) = 8

Operazioni:

1/1 - 1/7 = 6/7

R = 7/6 x 48/1 = 56 R' = 1/7 x 56/1 = 8

Punti esterni: hanno distanza dal centro della circonferenza maggiore del raggio. Punti che appartengono: hanno distanza dal centro della circonferenza uguale al raggio. Punti interni: hanno distanza dal centro della circonferenza minore del raggio.

Interne: Concentriche: