Algebra-s2

Álgebra

VECTORES EN R2 Y R3​

START

Rectas y planos en el espacio​

Triple producto escalar​

Producto cruz de dos vectores​

Vectores en el espacio​

Producto escalar o producto punto​

Vectores en el plano​

INDEX

Vectores en el plano​

• Vector: conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido.​
• Representación del vector: Cualquier segmento de recta en ese conjunto (vector).​

Definición geométrica de un vector​

• Vector: Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a, b). Los números a y b se denominan elementos o componentes del vector v. El vector cero es el vector (0, 0).​
• Magnitud (longitud de un vector): Longitud de cualquiera de sus representaciones.​

• Dirección:​

Definición algebraica de un vector​

• Ejemplo 1: Calcular la magnitud y dirección de los siguientes vectores:​

Producto escalar o producto punto​

Vectores en el espacio

• Se ha visto que cualquier punto en el plano se puede representar como un par ordenado de números reales. De manera análoga, cualquier punto en el espacio se puede representar por una terna ordenada de números reales

• Los tres ejes determinan tres planos coordenados, que se denominan plano xy, plano xz y plano yz.
• Al tener una estructura construida de ejes coordenados y planos, podemos describir cualquier punto P en R3 de una sola manera:

• El sistema coordenado que acaba de establecerse con frecuencia se conoce como sistema de coordenadas rectangulares o sistema de coordenadas cartesianas.

• Ejemplo 4: Calcule la distancia entre los puntos (3, −1, 6) y (−2, 3, 5)

• Ejemplo 5: Calcule la magnitud del vector (1, 3, −2)

• Dirección de un vector en R3

• Ejemplo 7: Encuentre los cosenos directores del vector 𝑣 = (4, −1, 6)

Producto cruz de dos vectores

Triple producto escalar

Rectas y planos en el espacio

Ecuaciones simétricas de una recta

• Si se conoce un punto y la dirección de una recta, también debe ser posible encontrar su ecuación

• Ejemplo 10: Encuentre las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de la recta L que pasa por los puntos 𝑃 = (2, −1, 6) ;𝑄 = (3, 1, −2)

• Ejemplo 11: Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos (1, – 2, 4) y es paralela al vector 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 − k

• • Ejemplo 12: Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que contiene los puntos P = (3, 4, – 1) y Q =(– 2, 4, 6).

• Ejemplo 13: Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos P (2, 3, – 2) y Q = (2, – 1, – 2)

• En las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos 𝑃 = (2, −1, 6) ;𝑄 = (3, 1, −2) se encontró que contiene al punto (5, 5, −18)

• Al elegir 𝑃 = (5, 5, −18) y 𝑄 = (3, 1, −2) , se encuentra que 𝑣 = −2𝑖 − 4𝑗 + 16𝑘
• Por lo tanto:

• Ejemplo 14: Encuentre el plano 𝜋 que pasa por el punto (2, 5, 1) y que tiene un vector normal 𝑛 =𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘.

• El plano es paralelo a un plano coordenado. Si el plano es paralelo a uno de los planos coordenados, entonces la ecuación del plano es una de las siguientes:

• Tres puntos no colineales determinan un plano ya que determinan dos vectores no paralelos que se intersecan en un punto

• Ejemplo 15: Enuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos 𝑃 = (1, 2, 1) , 𝑄 = (−2, 3, −1) y 𝑅 = (1, 0, 4)

Planos paralelos

• Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, es decir, si el producto cruz de sus vectores normales es cero.

• Ejemplo 16: Comprobar que los planos 𝜋1: 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 3 y 𝜋2: −4𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = 8; donde 𝑛1 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 y 𝑛2 = −4𝑖 − 6𝑗 + 2k

• Ejemplo 17: Encontrar todos los puntos de los planos 2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 3 y 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 7.

Gracias