Probabilità

La probabilità

Beatrice Toresin 4BE

Indice

Definizione classica

Che cos'è?

Definizione frequentista

Contesto storico

Definizione soggettivistica

Elementi della probabilità

Operazioni tra eventi

Definizione assiomatica

Che cos'è?

La teoria matematica dell’incertezza

A cosa serve?

Il calcolo della probabilità si occupa di misurare la probabilità con la quale può accadere un evento

Come si applica?

Per fare valutazioni probabilistiche in base a modelli probabilistici

XVII sec.

Contesto storico

Cavalier de Méré

Pascal e Fermat

Finetti e Savage

Huygens

Laplace

Von Mises

1654

Anni '20

XX sec.

XVIII sec.

1657

Elementi della probabilità

L'evento aleatorio

Qualsiasi fenomeno osservabile, non prevedibile e non controllabile.

L'esperimento aleatorio

Il cui esito non può essere predetto senza eseguirlo. Si assume che possa essere ripetuto indefinitamente sotto le medesime condizioni.

Lo spazio campionario

L’insieme Ω che contiene tutti i possibili risultati dell’esperimento aleatorio.

Concentriamoci sull'evento

Esistono diverse tipologie di evento, prendiamo per esempio...

7.

Il lancio di un dado

2.

4.

6.

3.

5.

1.

Definizione classica

"Il rapporto tra gli esiti favorevoli e gli esiti possibili"

Si tratta sicuramente di un numero compreso tra 0 e 1

Dalla formula sappiamo che:

Negli spazi continui il risultato può appartenere ai numeri reali.

Tutti gli esiti devono essere equiprobabili e finiti.

Dobbiamo sapere in anticipo l'esatto numero di esiti, perciò si parla di "probabilità a priori".

Condizioni:

p(E) = f / u

p(Ē) = 1 - P(E)

Esempio

Non importa!

Puoi scegliere tra 2 risultati possibili, ma solo 1 caso ti sarà favorevole.

Testa

croce

p(scelta) = 1 vittoria / 2 possibilità

Possiamo scrivere il risultato come...

1/2

0,5

50%

oppure

oppure

Somma di due eventi

Si verifica E1 oppure E2.

Quando si prende in considerazione più di un evento, bisogna porre attenzione all'enunciato proposto.

E1

E2

Nel caso della somma di due eventi, è sufficiente che un qualsiasi evento all'interno dei due insiemi si realizzi, perciò si calcola la probabilità totale dei due, sommando la probabilità di ogni evento e sottraendone l'intersezione (altrimenti si conterebbero 2 volte gli eventi in comune).

3.

4.

5.

6.

1.

p(E1∪E2) = p(E1) + p(E2) - p(E1∩E2)

2.

∪ = unione di insiemi∩ = intersezione di insiemi

Probabilità condizionata

Si verifica E1 e poi E2.

La probabilità condizionata calcola le possibilità che un evento E2 accada (evento condizionato) sapendo che un altro evento E1 è già accaduto (evento condizionante).

E1

E2

3.

Per calcolarla, si ricava prima la probabilità dell'evento intersezione (prodotto di due eventi), e si divide per la probabilità dell'evento condizionante.

5.

4.

1.

6.

p(E2|E1) = p(E1∩E2) / p(E1)

2.

∩ = intersezione di insiemi E2|E1 = probabilità condizionata di E2 rispetto a E1

Prodotto di due eventi

Si verificano contemporaneamente E1 e E2.

E1

Se si vuole calcolare la probabilità di un evento che rientri in entrambi gli insiemi, bisogna moltiplicare tra loro le due probabilità, stando attenti alla probabilità condizionata, ottenendo così la probabilità dell'evento composto.

E2

2.

3.

5.

1.

p(E1∩E2) = p(E1) ⋅ p(E2|E1)

6.

∩ = intersezione di insiemi E1|E2 = probabilità condizionata di E2 rispetto a E1

4.

Definizione frequentista

o statistica

E se gli eventi possibili non fossero equiprobabili?

Si analizza “la frequenza relativa con cui un certo eventotende a presentarsi su un numero notevole di prove”.

Questo metodo può essere applicato solo dopo numerosi esperimenti, perciò si parla di "probabilità a posteriori"

f(E) = m / n

Esempio

Con che frequenza relativa durante scuola ci danno lo yogurt da bere?

204 giorni di scuola

8/51 ~ 0,16 ~ 16%

32 casi di yogurt

Frequenza(Yogurt) = 32 volte / 204 giorni

Definizione soggetivistica

L'esperimento aleatorionon è sempre ripetibilenelle medisime condizioni.

In questo caso si calcola

“il grado di fiducia sentitoda un dato individuo nell'avverarsi di un dato evento”.

In più, il suo risultatopuò dipendere danumerosi fattori.

"Soggettivistica" proprio perché ogni individuo possiede conoscenze diverse e creauna propria stima personale.

p(E) = S / V

Esempio

Scommettiamo!

Definizione assiomatica

Secondo questa impostazione, dato uno spazio campionario Ω, una funzione p che associa a ogni evento E dello spazio degli eventi un numero reale, la probabilità è definita tale se rispetta i seguenti assiomi:

Positività → p(E)≥0

Certezza → p(Ecerto)=p(Ω)=1

Unione di due eventi incompatibili → p(E1∪E2)=p(E1)+p(E2)

Sitografia

- Matematica.blu 2.0. Volume 4di Anna Trifone, Graziella Barozzi e Massimo Bergamini

- Introduzione alla probabilitàdi UniBo

- Probabilitàdi UniTo

- Il calcolo della probabilitàdi Sapere.Virgilio.it

- Calcolo della probabilitàdi UniVe

- Calcolo combinatorio e probabilitàdi Elia Bombardelli

- Elementi di probabilitàdi UniMc

- Calcolo della probabilitàdi YouMath

Assioma = affermazione che non si dimostra in quanto principio universalmente riconosciuto.

Poiché i risultati favorevoli possono essere al massimouguali (evento certo) o nulli (evento impossibile), ma non negativi,il numero è sicuramente compreso tra 0 e 1.

Ragioniamo un secondo...

I possibili esiti favorevoli di E1 (numeri > 3) sono {4, 5, 6}, mentre per E2 (numeri dispari) si considerano {1, 3, 5}.Se si sommassero semplicemente le due probabilità, il cinque verrebbe contato due volte {1, 3, 4, 5, 5, 6}. Perciò si sottrae l'intersezione {5}, in modo da ottenere l'insieme {1, 3, 4, 5, 6}.

Esempio

"Esce un numero primo dispari"

Dal latino alea, aleae, che significa "dado", il cui risultato è imprevedibile.

Contesto storico

Nel 1933 il matematicoAndrej Nikolaevič Kolmogorov pubblicò l'opera "Foundation of the theory of probability", dove definì gli assiomi della probabilità.

Si tratta della formula inversa della probabilità condizionata.

Esempio

"Esce un numero primotra i numeri dispari"

Analizziamo

Il risultato è casuale, perciò si tratta di un evento aleatorio.

Il lancio di un dado (non truccato) è un esperimento aleatorio.

L'insieme delle facce del dado rappresenta uno spazio campionario discreto.

"3" è un evento elementare, mentre"un numero dispari" è un evento non-elementare.

Solitamente nominato Ω, può essere:

• Discreto, composto da un numero finito o infinito numerabile di eventi;

• Continuo, composto da un numero innumerabile di eventi.

Svantaggi

Questa concezione ha tuttavia diversi limiti:

- Quantitativi, poiché servono molti dati;

- Temporali, poiché per raccogliere i dati si impiega molto tempo;

- Procedurali, poiché gli eventi devono essere indipendenti e devono avvenire nelle medesime condizioni;

- Teorici, poiché si tratta di una legge empirica non dimostrabile.

Perchè è importante?

La teoria assiomatica si fonda su tre momenti fondamentali:

• la definizione dei concetti fondamentali di esperimento, evento e spazio;
• l’enunciazione degli assiomi (o postulati) della probabilità;
• la dimostrazione di tutti i teoremi associati al calcolo della probabilità

Mentre le altre definizioni si distinguono dal metodo di calcolo, questa considera gli aspetti comuni e sempre riconoscibili in ogni definizione, rendendola superiore alle precedenti.

Esempio

"Esce o un numero dispari o un numero maggiore di 3"

La formula deriva dalla definizione classica di probabilità, perchè prende in considerazioneil rapporto tra gli esiti favorevoli (E2∩E1) e gli esiti possibili (E1).Non si considerano gli esiti esterni ad E1 perchè si ragiona nell'ipotesi che E1 sia già accaduto.

Attenzione!

Nella propabilità soggettivista si parla di vere e proprie scommesse.

La formula infatti non calcola la probabilità che l'evento favorevole accada, ma quanto la persona è sicura che accada.

XVII secolo, Francia

Il giocatore d’azzardo Cavalier de Méré(il cui vero nome era Antoine Gombaud)nonostante i suoi calcoli continuavaa perdere a un gioco di dadi. Scrisse perciò all’amico Blaise Pascalper lamentarsi della fallacitàdella matematica.