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Transformaciones lineales

Transformaciones lineales

Instituto Tecnologico Superior de ZacapoaxtlaAlgebra Lineal, Ingeniería MecatronicaSegundo Semestre 2B

En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:F:V→W es una transformación lineal si y sólo si:1. F(u+v)=F(u)+F(v)∀u,v∈V2. F(k.v)=k.F(v) ∀v∈V,∀k∈R

¿Qué son las transformaciones lineales?

4 RANA

CONTRASEÑA

PROpiedad 2

Propiedad 1

Propiedades de una transformacion lineal

La imagen del vector nulo del dominio 0V0V es el vector nulo del codominio 0w0w: T(0V)=0wT(0V)=0w Demostración: T(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0WT(0V)=T(0.v)=0.T(v)=0.w=0W Donde hemos expresado a 0V0V como el producto del escalar 00 por cualquier vector del espacio vectorial VV, hemos usado la segunda condición que debe cumplir una transformación lineal, y finalmente hemos vuelto a usar la propiedad de espacios vectoriales sobre el producto del escalar 0 por cualquier vector.

La imagen del vector –v–v es igual al opuesto de la imagen de vv: T(–v)=–T(v)T(–v)=–T(v) Demostración: T(–v)=T(–1.v)=–1.T(v)=–T(v)T(–v)=T(–1.v)=–1.T(v)=–T(v) La justificación de los pasos dados en la demostración es similar a la anterior.

en un curso básico de álgebra lineal, ambas expresiones suelen tratarse como equivalentes. En general se le llama núcleo o kernel a los dos conceptos, y la diferencia ocurre más a menudo en literatura inglesa.

. La diferencia semántica es que el núcleo está destinado a una transformación lineal, mientras que el espacio nulo está destinado a la matriz de transformación para una transformación lineal.

X

también suele llamarse espacio nulo, siendo ambos términos prácticamente sinónimos.

Núcleo

El núcleo de una aplicación lineal se refiere a todos los vectores que se mapean al vector cero y a menudo se nota como ker. Una explicación alternativa es que el núcleo es el conjunto de soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones

La definición visual del núcleo se encuentra en la siguiente imagen, notada como ker:

X

La imagen y el rango son expresiones inequívocamente equivalentes, mientras que el espacio de las columnas suele considerarse prácticamente como una expresión equivalente. Sin embargo, un matemático puede argumentar que el espacio de las columnas es esencialmente el mismo concepto que la imagen / rango porque las definiciones son análogas, pero la diferencia semántica es que la imagen / rango está destinado a una aplicación lineal, mientras que el espacio de las columnas está destinado a la matriz de transformación de una aplicación lineal. En términos prácticos, en un curso básico de álgebra lineal, las tres expresiones suelen tratarse como equivalentes.

La imagen de una aplicación lineal se refiere a todos los vectores en el codominio que se mapean desde al menos un vector en el dominio. Otra definición es que la imagen de una aplicación lineal se refiere al conjunto de todas sus posibles transformaciones. Una tercera formulación puede ser que la imagen de una aplicación lineal es todas las combinaciones lineales posibles de las columnas de su matriz de aplicación.

Imagen

Proyección - el subespacio que es el objeto al que se refiere la proyección. Reflexión - todo el espacio RRotación - todo el espacio R

Tomemos las tres transformaciones lineales proyección, reflexión y rotación como ejemplos y enumeremos sus imágenes:

La imagen para tres transformaciones

NEXT

X

La definición visual de la imagen se puede encontrar en la siguiente imagen, anotada como Im:

Escribe aquí la respuesta correcta

X

Sea T: V → W una transformación lineal, donde V y W son espacios vectoriales. Sean e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, 0, ..., 0), e3 = (0, 0, 1 , 0, ..., 0) , ..., en = (0, 0, 0, ..., 0, 1). Suponga que {e1, e2, e3, ..., en} es una base de V. Ahora, sea T(e1) = w1, T(e2) = w2, T(e3) = w3, ..., T(en) = wn. Llamamos a AT la matriz cuyas columnas son w1, w2, w3, ... , wn. Entonces a la matriz AT se le llama la representación matricial de T

representacion matricial de una transformacion lineal

X

aplicacion de las transformaciones lineales

Las transformaciones lineales se utilizan en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias. Algunos ejemplos de aplicaciones de las transformaciones lineales incluyen:

Reflexiones: Una reflexión es una transformación lineal que invierte la dirección de cada vector.

Contracciones: Una contracción es una transformación lineal que disminuye la magnitud de cada vector.

Rotaciones: Una rotación es una transformación lineal que gira cada vector alrededor de un punto fijo.

Dilataciones: Una dilatación es una transformación lineal que aumenta o disminuye la magnitud de cada vector.

La aplicación de las transformaciones lineales nos sirven para modificar vectores, estrechar y agrandar formas en línea recta. Y que son funciones lineales, es decir, que preservan las operaciones en el espacio vectorial, por lo tanto, sabemos la relevancia del tema y lo fundamental que es comprenderlo

¡conclusiones!

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¡bibliografias!

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