Transformaciones Lineales

transformaciones lineales

Maria Fernanda Suárez Uribe

22zp0814

¿qué son las transformaciones lineales

En álgebra lineal las transformaciones son funciones que toman un vector v del espacio vectorial V y lo convierten en otro vector w que pertenece a un espacio vectorial distinto W, es decir:

Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales.

materia

características de las transformaciones lineales

Una transformación lineal puede tener una infinidad de efectos distintos sobre un vector. Entre los efectos más comunes que producen las transformaciones lineales sobre los vectores tenemos las expansiones, contracciones

Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:

Propiedades de las transformaciones lineales

núcleo

El núcleo de una transformación lineal Nu(T) está formado por todos aquellos vectores v que pertenecen al espacio vectorial V y que al ser transformados dan como resultado el vector cero. Es decir:

En la mayoría de las ocasiones resulta más conveniente expresar al núcleo como el conjunto de vectores generado a través de combinaciones lineales de sus vectores base.

nulidad

La nulidad de una transformación lineal ν(T) es la dimensión del núcleo, es decir, el número de vectores en la base del núcleo. Podemos expresar a la nulidad como:

Cuando el núcleo de una transformación sólo contiene al vector cero, entonces la nulidad es cero.

propiedades de las transformaciones lineales

imagen:

La imagen de una transformación lineal im(T) está dada por el conjunto de vectores w que pertenecen al espacio transformado W y son obtenidos al aplicar la transformación T a vectores v que pertenecen al espacio V. La imagen también se puede expresar de manera equivalente como:

De manera similar al núcleo, es más conveniente expresar a la imagen como el conjunto de vectores generado a través de combinaciones lineales de los vectores base del espacio transformado W.

propiedades de las transformaciones lineales

rango

El rango de una transformación lineal está definido como la dimensión de la imagen, es decir,

Cabe mencionar que la suma de la nulidad más el rango es igual al número de renglones linealmente independientes de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones.

Representación matricial de las transformaciones lineales

En concreto, las transformaciones lineales (T) son matrices (AT) que al multiplicarlas por un vector dan como resultado otro vector. Es decir:

Para obtener la representación matricial AT de una transformación lineal aplicamos la transformación a los vectores base del espacio vectorial original (V). Luego, convertimos los vectores transformados en las columnas de la matriz de transformación.

Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Las transformaciones lineales son una parte fundamental del álgebra lineal y tienen aplicaciones en diversas áreas como la física, la informática, la ingeniería, entre otras. Aquí te explico cómo se aplican algunas de estas transformaciones:

• Reflexión
• Dilatación
• Contracción
• Rotación

Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

reflexión

Esta transformación produce una imagen especular de un objeto respecto a un eje. En dos dimensiones, la reflexión respecto al eje x se puede representar por la matriz.

dilatación

Esta transformación aumenta o disminuye el tamaño de un objeto sin cambiar su forma. La dilatación se puede representar por la matriz

Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

contracción

Es un caso especial de dilatación donde el factor de escala es menor que 1. La contracción reduce el tamaño de un objeto sin cambiar su forma.

Rotación

Esta transformación cambia la orientación de un objeto. En dos dimensiones, la rotación en sentido antihorario por un ángulo θ se puede representar por la matriz

conclusión

Por lo tanto, una transformación lineal y sus propiedades son generales, ya que dependen únicamente del proceso modelado por el sistema de ecuaciones lineales y no por condiciones específicas establecidas para dicho proceso a través de los términos independientes.

Las transformaciones lineales son herramientas algebraicas usadas para darle una representación alternativa a los sistemas de ecuaciones lineales. Esto nos permite obtener las propiedades de las transformaciones lineales que son: el núcleo, la nulidad, la imagen y el rango.

bibliografía

• Grossman, S. & Godoy, J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). Mc Graw Hill.Ç
• Lay, D., McDonald, J. & Lay, S. (2016). Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. (5ª ed.). Pearson Education.
• Kolman, B. & Hill, D. (2012). Álgebra Lineal. Fundamentos y Aplicaciones. (8ª ed.). Pearson Education.
• Nicholson, W. (2003). Álgebra Lineal con Aplicaciones. (4ª ed.). Mc Graw Hill.

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