Matrices y Determinantes

matrices y determinantes

Definición, propiedades y operaciones

Maria Fernanda Suárez Uribe22zp0814 Ingeniería Industrial

Definición, notación y orden

Una matriz es una tabla rectangular de n´umeros reales dispuestos en filas y columnas, representando datos de manera ordenada.

Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.

si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es mxn (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.

clasificación de matrices

Matriz Rectangular

Se llama matriz fila a la que solo tiene una fila, es decir su dimensión es 1x n.

Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

matriz fila de tamaño 1x4

Matriz Nula

Matriz Fila

matriz nula de tamaño 2x5

Tiene distinto numero de filas que de columnas, siendo su dimensión m x n.

Matriz Cuadrada

Se llama matriz columna a la que solo consta de una columna, es decir su dimensión será mx1

Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n.

Matriz Columna

Matriz columna de tamaño 3 x 1.

matriz cuadrada tamaño 3x3

CLasifiación de matrices

Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33,...,ann

Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos

Una matriz es triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de la diagonal principal

Triangular Inferior

Triangular Superior

Matriz Identidad

Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal solo unos, se denomina matriz unidado identidad. Se suelen representar por In , donde n es el orden o tamañoo de la matriz

Matriz Diagonal

Si una matriz solo tiene elementos en la diagonal principal se denomina matriz diagonal.

transformaciones elementales por renglón

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar.

Una MATRIZ ESCALONADA es aquella que verifica las siguientes propiedades:Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior de la matriz. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente mas a la derecha que el pivote de la fila de encima.

Dada una matriz A cualquiera, las TRANSFORMACIONES ELEMENTALES por filas de A son tres:

• Intercambiar la posición de dos filas.
• Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.
• Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.

¿cómo obtener una matriz escalonada?

Como se muestra en el ejemplo: Primero, hacemos que la componente (1,1) de la matriz de partida sea igual a uno. Luego, se hace que el resto de componentes de la primera columna sean cero. Después se pasa a la componente (2,2), y así sucesivamente.

rango de una matriz

Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente independientes. Si el rango fila y la columna son iguales, éste número es llamado simplemente rango de A.

También la dimensión del espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que uno o menor o igual que el mínimo entre m y n.

OPERACIONES DE MATRICES

Producto por un número real

Suma y Diferencia de matrices

Potencias de matrices

Trasposición de matrices

Producto de matrices

suma y diferencia de matrices

Para poder sumar dos matrices, estas deben tener la misma dimensión. Entonces se suman termino a termino.

producto de un número real por una matriz

Se multiplica el numero por cada uno de los elementos de la matriz.

producto de matrices

Para poder multiplicar dos matrices, el numero de columnas de la primera debe coincidir con el numero de filas de la segunda. Entonces el producto A·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo:

“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”

RESULTADO

TRASPOSICIÓN DE MATRICES

Trasponer una matriz significa cambiar las filas por las columnas. Si una matriz es de dimensión m x n, su traspuesta es de dimensión n x m, la matriz traspuesta se representa AT y se lee la traspuesta de A.

PRODUCTO DE MATRICES

Para poder calcular la potencia de una matriz, esta tiene que ser cuadrada. Se trata de multiplicar la matriz por si misma tantas veces como diga el exponente.

INVERSA DE UNA MATRIZ

La manera más fácil de determinar la invertibilidad de una matriz es mediante su determinante:

• Si el determinante de la matriz en cuestión es diferente de 0, significa que la matriz es invertible.
• En cambio, si el determinante de la matriz es igual a 0, no se puede invertir la matriz. Y, se dice que es una matriz singular

Sea A una matriz cuadrada. La matriz inversa de A se escribe A^{-1}, y es aquella matriz que cumple:Donde I es la matriz Identidad.

¿cómo calcular la inversa de una matriz?

Para calcular la inversa de una matriz hay que aplicar la siguiente formulaDonde:

Ejemplo:

Pero si el determinante de la matriz es nulo significa que la matriz no es invertible. Por tanto, lo primero que debemos hacer es calcular el determinante de la matriz y comprobar que es diferente de 0.

Por tanto, sustituyendo el valor del determinante en la fórmula, la inversa de la matriz será:

Ahora tenemos que calcular la matriz adjunta de A. Para ello, debemos sustituir cada elemento de la matriz A por su adjunto.:

Matriz Inversa:

Una vez hemos calculado los adjuntos, tan solo tenemos que sustituir los elementos de A por sus adjuntos para hallar la matriz adjunta de A:

Por último,multiplicamos cada término de la matriz por 1/2:

El exponente t nos indica que tenemos que trasponer la matriz. Y para trasponer una matriz hay que cambiar sus filas por columnas:

Determinante de una matriz

Un determinante es una matriz cuadrada representada con una barra vertical a cada lado de la matriz.

El determinante de la matriz A se representa de la siguiente manera:

Por ejemplo, si tenemos la siguiente matriz:

solo se pueden resolver determinantes de matrices cuadradas.

Propiedades de los determinantes

Propiedad 1: Determinante de la matriz transpuesta

El determinante de una matriz es equivalente al determinante de su matriz traspuesta.

Propiedad 2: Determinante con una fila o columna llena de ceros

Si un determinante tiene una fila o una columna llena de ceros, el determinante da 0.

Propiedad 3: Determinante con dos filas o columnas iguales

Si un determinante tiene dos filas o dos columnas iguales o múltiples, el determinante es igual a cero (0).

Propiedad 4: Cambiar filas o columnas de un determinante

Si se cambian dos filas o dos columnas entre sí, el determinante da el mismo resultado pero cambiado de signo.

Propiedad 5: Multiplicar una línea de una determinante por un escalar

Multiplicar todos los elementos de toda una fila o de toda una columna por un número real, es igual a multiplicar el resultado del determinante por dicho número.

Propiedad 6: Determinante del producto matricial

El determinante del producto de dos matrices es igual al producto del determinante de cada matriz por separado.

Propiedad 7: Determinante de la matriz inversa

Si una matriz es invertible, el determinante de su inversa corresponde al inverso del determinante de la matriz original.

Propiedad 8: Sustituir la fila de un determinante

Se puede sustituir la fila de un determinante por la suma (o resta) de la misma fila más (o menos) otra fila multiplicada por un número.

APLICACIONES DE MATRICES Y DETERMINANTES

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Las matrices organizan grandes cantidades de datos y son clave en la administración de información, análisis genético y optimización de sistemas energéticos. Su uso en álgebra lineal permite resolver sistemas de ecuaciones y tomar decisiones estratégicas.

• Matrices y Determinantes. (2022, 11 julio). TODO sobre Matrices y Determinantes (teoría, ejercicios resueltos, ejemplos, etc.) ✅. https://www.matricesydeterminantes.com/#google_vignette
• RazielBerzunza. (s. f.). UNIDAD 2. https://algebralinealie3.blogspot.com/p/unidad-2.html

bibliografía:

CONCLUSIÓN:

Podemos dar por sentado que las matrices son estructuras matemáticas que desempeñan un papel crucial tanto en actividades cotidianas como en contextos profesionales. Su capacidad para organizar y manejar grandes cantidades de datos las hace esenciales en la administración de información, como en la creación de bases de datos para el registro de estudiantes o en la contabilidad de una empresa