MAT1_T2. Divisibilidad

MATEMÁTICAS 1º ESO

TEMA 2.DIVISIBILIDAD

1. POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES
2. MÚLTIPLOS Y DIVISORES
3. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
4. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS
5. MÁXIMO COMÚN DIVISOR
6. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

1 POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES

Cada vez que multiplicamos un número natural "n" veces, estamos realizando una operación matemática llamada potenciación.

Una potencia no es más que un número natural multiplicado por sí mismo "n" veces. El número "n" se convierte en el exponente de la potencia, y el número multiplicado por sí mismo es la base.

Cualquier número elevado a 1 da como resultado el mismo número. Cualquier número elevado a 0 da como resultado el número 1.

2 MÚLTIPLOS Y DIVISORES

DEFINICIÓN DE MÚLTIPLO: Un número natural, a, es múltiplo de otro número natural, b, cuando es el resultado de multiplicar el segundo por cualquier número natural, c, de modo que a = b · c

M(6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42...}

Esto significa que, por ejemplo, 20 es múltiplo de 4 porque existe un número, en este caso el 5, tal que 20 = 4 · 5

Un número tiene infinitos múltiplos, mira el ejemplo.

Para calcular el conjunto de los múltiplos de 6 hay que multiplicar 6·1, 6·2, 6·3, 6·4, 6·5, .... así hasta el infinito...

DEFINICIÓN DE DIVISOR: Un número natural, a, es divisor de otro número natural, b, cuando al dividir b entre a el resto es cero.

D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 50, 100}

Un número no tiene infinitos divisores, se dice que tiene una cantidad finita de ellos.

Esto significa que, por ejemplo, 4 es divisor de 20 porque 20 : 4 = 5 y el resto es cero, es decir, la división da exacta.

Como ves, los divisores de 100 son aquellos números que, al dividir 100 entre ellos, dan como resultado una división exacta, con resto cero.

TRUCO: Para calcular los divisores de un número, empieza siempre el conjunto con el número 1 y acábalo con el propio número, de esta forma: D (18) = {1,............, 18}. El resto de números que faltan serían aquellos que dividen a 18 dando como resultado una división exacta.

3 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Los criterios de divisibilidad son las condiciones que tienen que darse para que un número sea divisible entre 2, 3, 5, 9 y 11.

Un número es divisible entre 2 si acaba en 0 o en cifra par.

Por ejemplo, 16 es divisible entre 2 porque acaba en cifra par. 50 es divisible entre 2 porque acaba en 0.

Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es 3 o múltiplo de 3.

24 es divisible entre 3 porque 2 + 4 = 6, que es un múltiplo de 3. También lo es 423, ya que 4+2+3 = 9, que también es múltiplo de 3.

Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 en 5.

100 es divisible entre 5 porque acaba en 0. 105 es divisible entre 5 porque acaba en 5.

Un número es divisible entre 9 la suma de sus cifras es 9 o múltiplo de 9.

81 es divisible entre 9 porque 8+1 = 9. 648 es divisible entre 9 porque 6+4+8 = 18, que es múltiplo de 9.

4 DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

EJEMPLOS DE NÚMEROS PRIMOS

UN NÚMERO PRIMO ES AQUEL QUE SÓLO ES DIVISIBLE ENTRE SÍ MISMO Y LA UNIDAD.

La DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL de un número en factores primos significa expresar ese número como una multiplicación de factores que sean números primos. Puedes ver debajo varios ejemplos:

Cuando hay factores que se repiten, se suelen poner EN FORMA DE POTENCIA, como vemos aquí debajo con los mismos ejemplos que en el caso anterior:

Cualquier número PRIMO sólo se descompone en el producto de sí mismo por la unidad, como podemos ver aquí:

4 DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS

Para realizar la descomposición factorial de un número, hay que seguir 5 pasos.

Colocamos el número a descomponer, en este caso el 300, y hacemos una línea vertical

Buscamos el número primo más pequeño (distinto de 1) que sea divisor del número 300. En este caso es el 2. Lo ponemos a la derecha y, debajo del 300 a la izquierda, ponemos el resultado de la división.

300 : 2 = 150

Si el resultado sigue siendo divisible entre el mismo número (en este caso el 2) repetimos otra vez el paso anterior, poniendo los nuevos resultados una posición por debajo de los anteriores.

150 : 2 = 75

Si el último resultado obtenido ya no sigue siendo divisible entre el número de la derecha (en este caso el 2), pasamos a probar con el siguiente número primo en la lista (el 3). Repetimos el mismo proceso hasta que el resultado final de las divisiones sea 1.

Por último, expresamos el número (300) como producto de los factores primos que nos han quedado a la derecha de la línea.

5 MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Existen varios métodos para calcular el máximo común divisor, siendo los dos que se muestran a continuación los más sencillos,

MÉTODO LARGO: Calculamos todos los divisores de los números cuyo MCD queramos calcular, subrayamos aquellos que sean comunes (iguales) y elegimos de todos ellos EL MAYOR. Ese será el máximo común divisor.

D (12) = 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 D (24) = 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24

MCD (12,24) = 12

MÉTODO CORTO: Descomponemos en factores primos cada uno de los números y multiplicamos aquellos que sean comunes elevados AL MENOR EXPONENTE.

6 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Existen varios métodos para calcular el mínimo común múltiplo de dos números:

MÉTODO LARGO: Calculamos los primeros múltiplos de ambos números y los ponemos en una lista, separados por comas. Seleccionamos aquellos que tengan en común y nos quedamos, de todos ellos, con el número menor.

M (12) = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96... M (24) = 48, 72, 96, 120, 144...

MCM (12,24) = 48

MÉTODO CORTO: Descomponemos en factores primos cada uno de los números y multiplicamos aquellos que sean comunes elevados AL MAYOR EXPONENTE y los no comunes ELEVADOS AL EXPONENTE QUE TENGAN.