Modelo integral del llenado de un tinaco en un tiempo determinado”
Cálculo Integral
- Evelyn Gpe. Benitez Chan
- Irving Jared Cauich Pech
- Jorge Eduardo Fernández Olán
Índice
Introducción
Primer paso
Segundo paso
Tercer paso
Referencias
Introducción
¿Cual es el propósito?
Desarrollar un modelo matemático minucioso para determinar el tiempo en el que un tinaco alcanza una cantidad específica de agua.
¿Nos sirve de algo?
Primer paso: Obtener datos
Para poder obtener el volumen del tinaco, se deben tener las medidas de este
Circunferencias su radio
Altura
Datos obtenidos
¿Qué prosigue?
Es importante conocer las medidas ya que es de un tamaño irregular
Recordemos los datos previamente obtendios
Tenemos que medir los radios de la parte inferor y superior
+ INFO
+ INFO
+ INFO
+ INFO
Segundo paso: Cálculos
Antes que nada, hay que saber que...
Dado que estamos trabajando con circunferencias, las rebanadas o secciones transversales que componen el sólido deben conformar una sumatoria de todas estas rebanadas que se estarán sobreponiendo una tras otra, hasta llegar a la altura del solido obteniendo así el volumen del cilindro.
Trabajamos con nuestro cilindro mayor
Nuestra integral
• Altura del cilindro mayor: 75 cm • Radio de la circunferencia mayor: 40 cm
Evaluamos los limites de integración
Volumen
Ahora trabajamos con nuestro cilindro menor
Nuestra integral
• Altura del cilindro menor: 10 cm • Radio de la circunferencia menor: 23.5 cm Se repite el mismo procedimiento con el cilindro con radio y altura menor. Pero, dado que no se desea llenar en su totalidad, tomaremos la mitad de la altura del cilindro menor.
Evaluamos los limites de integración
Volumen
Volumen de la superficie diagonal
Recta
Para obtener el volumen de la parte donde la superficie es diagonal, se observa la forma que tiene la sección, siendo esta uniforme y lisa. Se puede decir que es una recta, un sólido de revolución. Si se imagina la sección en el suelo cuando y=0, entonces x=40 y cuando la y=12 entonces x=23.5 lo que se simboliza en el plano como puntos ordenados: (40,0) y (23.5,12).
Graficamos
Despejar x
Integrar
Integrar
Nuestra integral
Resolución pt. 2
Resolución pt. 3
Resolución pt. 1
+ INFO
+ INFO
+ INFO
+ INFO
Volumen total
Sumamos todos los volumenes obtenidos
Dado que se desean conocer los litros que caben en el volumen del tinaco previamente calculado, se debe conocer la equivalencia 1 Litro=1000 cm^3, por lo tanto, se divide el volumen entre mil.
Tercer paso: Cálculo para llenar el tinaco
Cálculo para llenar el tinaco
Agua hacia el tinaco.
Resultado
Tiempo en el que la bomba llena el tinaco
Se llena un recipiente de un litro y se coloca un temporizador de un minuto para contabilizar los litros por minuto que es capaz de mandar la bomba de agua al tinaco.
¿Preguntas?
Referencias
Volúmenes - Giematic UC. (2022, September 29). Giematic UC. https://www.giematic.unican.es/integracion-simple/aplicaciones/volumenes/
Irvinn. (s.f..). Modelo matemático del llenado de recipientes. https://www.academia.edu/31671718/Modelo_matem%C3%A1tico_del_llenado_de_recipientes
Erikajc. (n.d.). Franco_Jacobo_Erick_act1.Calculo Integral_Llenado de recipientes. Scribd. https://es.scribd.com/document/724964162/Franco-Jacobo-Erick-act1-Calculo-Integral-Llenado-de-recipientes
Radios de las ircunferencias
Midiendo los radios de ambas circunferencias encontradas en la forma del tinaco, se observa que se compone de dos cilindros con bases diferentes.
¿Qué tanto obtuvimos?
Datos:
- Altura del cilindro mayor: 75 cm
- Altura del cilindro menor: 10 cm
- Altura de la superficie diagonal: 12 cm
- Radio de la circunferencia menor: 23.5 cm
- Radio de la circunferencia mayor: 40 cm
¿Qué prosigue?
Con nuestro conjunto de datos podemos dar inicio al proceso de integración para obtener el volumen del sólido, que en este caso son dos cilindros. Además se explicará cómo se obtuvo el volumen de la parte donde la superficie es diagonal, por lo pronto, se obtendrán los volúmenes de los cilindros.
Agua hacia el tinaco
Obtuvimos que por cada minuto se obtienen ocho litros, se formula una función que represente la razón de ambas magnitudes.
f(x)=8x
Representación de los litros por minuto que es posible emitir la bomba de agua hacia el tinaco.
Como ya mencionamos es una forma irregular entonces dividimos en secciones y tomamos las alturas
Graficamos
Despejamos a x
¿Tienes una idea?
Evaluamos los limites de integración.
Volumen de la superficie diagonal.
¿Nos sirve de algo?
Este problema es importante para garantizar la optimización del uso del agua en hogares, en este caso será especificamente para el llenado de tinacos, evitando de este modo desbordes, lo cual beneficia en ahorro tanto de energía como de tiempo.
Resolución pt. 2
Aplicamos linealidad
Resultado
Dado que anteriormente obtuvimos el valor de 53.07, para tener un valor entero se redondea a 53 minutos. Por lo tanto, para que la bomba llene 424.560 litros de agua al tinaco tienen que transcurrir 53 minutos.
Nuestra integral
Se integra la recta, dado que las rebanadas son una circunferencia el área es πr^2, entonces:
Obtenemos la siguiente integral e integramos
Tiempo en el que la bomba llena el tinaco
Resolución pt.1
Aplicando binomio al cuadrado
Dado que se está trabajando con centímetros, el volumen se encontrará en esa magnitud.
Obtenemos la recta
Utilizamos la formula de punto pendiente
Aplicamos la fórmula general de la recta
Obtenemos la siguiente integral e integramos
Presentación Educación Superior
Irving Cauich
Created on July 8, 2024
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Modelo integral del llenado de un tinaco en un tiempo determinado”
Cálculo Integral
Índice
Introducción
Primer paso
Segundo paso
Tercer paso
Referencias
Introducción
¿Cual es el propósito?
Desarrollar un modelo matemático minucioso para determinar el tiempo en el que un tinaco alcanza una cantidad específica de agua.
¿Nos sirve de algo?
Primer paso: Obtener datos
Para poder obtener el volumen del tinaco, se deben tener las medidas de este
Circunferencias su radio
Altura
Datos obtenidos
¿Qué prosigue?
Es importante conocer las medidas ya que es de un tamaño irregular
Recordemos los datos previamente obtendios
Tenemos que medir los radios de la parte inferor y superior
+ INFO
+ INFO
+ INFO
+ INFO
Segundo paso: Cálculos
Antes que nada, hay que saber que...
Dado que estamos trabajando con circunferencias, las rebanadas o secciones transversales que componen el sólido deben conformar una sumatoria de todas estas rebanadas que se estarán sobreponiendo una tras otra, hasta llegar a la altura del solido obteniendo así el volumen del cilindro.
Trabajamos con nuestro cilindro mayor
Nuestra integral
• Altura del cilindro mayor: 75 cm • Radio de la circunferencia mayor: 40 cm
Evaluamos los limites de integración
Volumen
Ahora trabajamos con nuestro cilindro menor
Nuestra integral
• Altura del cilindro menor: 10 cm • Radio de la circunferencia menor: 23.5 cm Se repite el mismo procedimiento con el cilindro con radio y altura menor. Pero, dado que no se desea llenar en su totalidad, tomaremos la mitad de la altura del cilindro menor.
Evaluamos los limites de integración
Volumen
Volumen de la superficie diagonal
Recta
Para obtener el volumen de la parte donde la superficie es diagonal, se observa la forma que tiene la sección, siendo esta uniforme y lisa. Se puede decir que es una recta, un sólido de revolución. Si se imagina la sección en el suelo cuando y=0, entonces x=40 y cuando la y=12 entonces x=23.5 lo que se simboliza en el plano como puntos ordenados: (40,0) y (23.5,12).
Graficamos
Despejar x
Integrar
Integrar
Nuestra integral
Resolución pt. 2
Resolución pt. 3
Resolución pt. 1
+ INFO
+ INFO
+ INFO
+ INFO
Volumen total
Sumamos todos los volumenes obtenidos
Dado que se desean conocer los litros que caben en el volumen del tinaco previamente calculado, se debe conocer la equivalencia 1 Litro=1000 cm^3, por lo tanto, se divide el volumen entre mil.
Tercer paso: Cálculo para llenar el tinaco
Cálculo para llenar el tinaco
Agua hacia el tinaco.
Resultado
Tiempo en el que la bomba llena el tinaco
Se llena un recipiente de un litro y se coloca un temporizador de un minuto para contabilizar los litros por minuto que es capaz de mandar la bomba de agua al tinaco.
¿Preguntas?
Referencias
Volúmenes - Giematic UC. (2022, September 29). Giematic UC. https://www.giematic.unican.es/integracion-simple/aplicaciones/volumenes/
Irvinn. (s.f..). Modelo matemático del llenado de recipientes. https://www.academia.edu/31671718/Modelo_matem%C3%A1tico_del_llenado_de_recipientes
Erikajc. (n.d.). Franco_Jacobo_Erick_act1.Calculo Integral_Llenado de recipientes. Scribd. https://es.scribd.com/document/724964162/Franco-Jacobo-Erick-act1-Calculo-Integral-Llenado-de-recipientes
Radios de las ircunferencias
Midiendo los radios de ambas circunferencias encontradas en la forma del tinaco, se observa que se compone de dos cilindros con bases diferentes.
¿Qué tanto obtuvimos?
Datos:
¿Qué prosigue?
Con nuestro conjunto de datos podemos dar inicio al proceso de integración para obtener el volumen del sólido, que en este caso son dos cilindros. Además se explicará cómo se obtuvo el volumen de la parte donde la superficie es diagonal, por lo pronto, se obtendrán los volúmenes de los cilindros.
Agua hacia el tinaco
Obtuvimos que por cada minuto se obtienen ocho litros, se formula una función que represente la razón de ambas magnitudes.
f(x)=8x
Representación de los litros por minuto que es posible emitir la bomba de agua hacia el tinaco.
Como ya mencionamos es una forma irregular entonces dividimos en secciones y tomamos las alturas
Graficamos
Despejamos a x
¿Tienes una idea?
Evaluamos los limites de integración.
Volumen de la superficie diagonal.
¿Nos sirve de algo?
Este problema es importante para garantizar la optimización del uso del agua en hogares, en este caso será especificamente para el llenado de tinacos, evitando de este modo desbordes, lo cual beneficia en ahorro tanto de energía como de tiempo.
Resolución pt. 2
Aplicamos linealidad
Resultado
Dado que anteriormente obtuvimos el valor de 53.07, para tener un valor entero se redondea a 53 minutos. Por lo tanto, para que la bomba llene 424.560 litros de agua al tinaco tienen que transcurrir 53 minutos.
Nuestra integral
Se integra la recta, dado que las rebanadas son una circunferencia el área es πr^2, entonces:
Obtenemos la siguiente integral e integramos
Tiempo en el que la bomba llena el tinaco
Resolución pt.1
Aplicando binomio al cuadrado
Dado que se está trabajando con centímetros, el volumen se encontrará en esa magnitud.
Obtenemos la recta
Utilizamos la formula de punto pendiente
Aplicamos la fórmula general de la recta
Obtenemos la siguiente integral e integramos