Copia - Regulación Automática Tema 2

TEMA 2:

Descripción de sistemas continuos

"La regulación automática es la capacidad de los sistemas para mantener un comportamiento estable y deseado frente a perturbaciones externas." -

Norbert Wiener

ÍNDICE

LAPLACE

Marta

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Lidia

ESPACIOS DE ESTADO

Álvaro

LINEALIZACIÓN

Ángela

DIAGRAMAS DE BLOQUES

Ángela

01

LAPLACE

DEFINICIÓN

La transformada de Laplace viene dada por la expresión

La transformada inversa de Laplace viene dada por la expresión

resolver: - Ec. diferenciales - Lineales -Ecuaciones integrales

¿Para qué sirve la trasnformada de laplace?

PROPIEDADES

TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de una suma = suma de las transformadas

La transformada del producto de una función por una constante

Teorema del valor inicial

PROPIEDADES

TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace de la derivada de la función f(t)

Teorema del valor final

TABLAS

FUNCIONES TÍPICAS

02

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

DEFINICIÓN

Es el cociente entre la transformada de laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de laplace de la entrada (función excitación), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son nulas.

EJEMPLO

SOLUCIÓN

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Las características de la función de transferencia dependen únicamente de las propiedades físicas de los componentes del sistema, no de la señal de entrada aplicada. El conocimiento de la función de transferencia de un sistema de regulación lo caracteriza completamente desde el punto de vista externo, puesto que permite obtener la variable de salida de cada función de entrada especificada.

Info

DEFINICIONES

FUNIÓN ANALÍTICA

PUNTOS ORDINARIOS Y SINGULARES

POLOS Y CEROS

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

FUNCIÓN DE TRANFERENCIA EN UN CIRCUITO RLC

EJEMPLO CIRCUITO

LIMITACIONES DE LA FT

Estructura física

Restricciones

Información limitada

Ventajas Espacios de estado

Condiciones iniciales

03

Espacios de estado

Tipos de sistemas

Sistema determinista vs no determinista

Sistema monovariable vs plurivariable

Sistema casual vs anticipatorio

Sistema dinámico vs estático

Sistema invariante o variante con el tiempo

Elementos de un sistema

Ecuación de salida

Representación de espacios de estado

+ INFO

Visión general de las ecuaciones y vista matricial

Ecuación de estado

04

LINEALIZACIÓN

LINEALIZACIÓN

SERIE DE TAYLOR

¿Qué es ? ¿Porqué se hace?

¿Qué es un modelo no lineal?

Procedimiento

05

diagramas de bloques

DEFINICIÓN

Es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. Tal diagrama indica las interrelaciones que existen entre los diversos componentes de forma más realista que una representación matemática.

EJEMPLO

bifurcación

Sumador

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Intercambio de sumadores

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Descomposición de un sumador

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Intercambio de bloques en serie

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Combinación de bloques en serie

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Combinación de bloques en paralelo

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Desplazamiento de un sumador a la izquierda

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Desplazamiento de un sumador a la derecha

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Desplazamiento de una bifurcación a la izquierda

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Desplazamiento de una bifurcación a la derecha

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

10

Desplazamiento a la izquierda de un bloque en el camino directo

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

11

Desplazamiento a la izquierda de un bloque en la realimentación

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

12

Reducción de un lazo de realimentación

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

Un sistema dinámico es aquel donde las variables de salida depende de las variables de entrada de ese ciclo y de las anteriores variables de entrada. Un sistema estático es aquel en el que las variables de salida solo depende de sus variables de entrada y no de las anteriores entradas. En el caso de un muelle si en un tiempo t realizamos varias elongaciones el muelle irá perdiedo sus propiedades elásticas y se irá alargando cada vez más para una misma fuerza; eso es un sistema dinámico. Pero si lo idealizamos y suponemos que no ocurre este alargamiento entonces se convierte en un sitema estático

Un sitema invariable en el tiempo es aquel en el que el tiempo no influye en las constantes no varían con el teimpo. En un sistema variable no el tiempo los parámetros fijos del sitema varían con el tiempo. Un sitema variable con el teimpo puede ser el crecimiento de una planta ya que la altura cambia. Un sistema invariable con el tiempo puede ser como resiste un edificio la caída de la lluvia ya que la altura de este siempree es constante

Fórmula Función de Transferencia

• Como podemos ver en la primera ecuación la única variable utilizada es el tiempo (el resto son constantes). Cunado t=0 el resultado es 0 y, además, no te dice como te desplazas o donde estás.
• En el segundo caso, tenemos varias variables de salida (velocidad y posición). En este caso vale 0 para t=0 pero esto no es necesario. En este caso no te especifica como te desplazas pero se puede definir una variable que te lo indique.

Otra forma de ver los espacios de estado es usando un método visual por bloques. En el usamos bloques (variables de estado), hay una entrada y una salida.

La limitada informción ofrecida por la FT se ve opacada por los espacios de estado. Esto se debe a que:

• Los sistemas pueden ser lineales o no.
• Permite más de una entrada y salida.
• Pueden ser sistemas invariantes con el tiempo.
• Las condiciones iniciales pueden ser distintas de 0.
• Proporciona información del sistema.
• Da resultados más sencillos y elegantes

Un sistema causal implica una relación donde los cambios en una variable provocan cambios en otra dentro del sistema. Esta conexión de causa y efecto es esencial para entender y predecir cómo se comporta el sistema. eventos futuros y ajustarse en consecuencia antes de que sucedan. En otras palabras en el sistema casual las variables de salida afectarán a las variables de entrada impidiendo predecir sus futuros valores pero en un sitema anticipatorio al no existir esta relación se puede predecir las futuras entradas

El estado o variables de estado

El "estado" en un espacio de estado es un conjunto de variables que describen completamente el comportamiento de un sistema en un momento dado. Estas variables capturan toda la información necesaria para predecir el comportamiento futuro del sistema. Por ejemplo, en un sistema de masa-resorte-amortiguador, el estado podría estar compuesto por la posición y la velocidad de la masa. Estas dos variables son suficientes para predecir cómo evolucionará el sistema en el tiempo.

Es una representación matemática de un sistema cuya relación entre las entradas y las salidas puede ser no proporcional o presentar comportamientos complejos no lineales.

La FT no te da informacíon de lo que pasa dentro de un sitema. Únicamente te dice como se relaciona la entrada de la salida.Si estudiamos como un grifo filtra el agua que pasa la función de transferencia por sí sola no te dirá cómo el filtro purifica el agua, cuántos filtros hay o cómo están dispuestos físicamente. En cambio, la función de transferencia se enfoca únicamente en la relación entre la entrada y la salida del sistema, sin detallar los procesos internos específicos.

Una ecuación de estado en el espacio de estado proporciona una descripción dinámica del sistema en términos de cómo sus variables de estado cambian con el tiempo. Esta representación es fundamental en el análisis y diseño de sistemas de control, ya que permite modelar sistemas complejos y diseñar estrategias de control efectivas.

x'(t)=A*x(t)+B*u(t)

Un sistema monovariable es aquel que solo tiene una entrada y una salida. Si observamos la posición de un cuerpo en un plano horizontal. La entrada es el tiempo y la salida su posiciónSi hay más de una entrada o de salida es un sistema multivariable. Por ejemplo si estudiamos un automóvil hay que tener en cuenta su peso, la cantidad de combustible, los materiales de fabricación, ...

• Primero elegimos el punto (punto de operación) en torno al cual queremos linealizar

• Identificar las variables de estado, son las variables que cambian con el tiempo y se vem afectadas por las entradas del sistema

• Escribir las ecuaciones del sistema que describen su comportamiento

• Linealizar las ecuaciones siguiendo la seria de Taylor y eliminar los términos no lineales

• Comprobar, por ejemplo mediante simulación, el rango de validez de la linealización, ya que si elegimos mal el punto puede haber discrepancias entre el modelo linealizado y el modelo real al que representa

Un sistema determinista es aquel en el que cada variable de entrada corresponde con una salida. Un ejemplo es el movimiento de un péndulo; conociendo las constante y en que instante estamos sabemos su posición. Un sistema no determinista es aque donde las salidas no corresponden con las entradas. Si fijamos como objeto de estudio el clima. Aunque sepamos las entradas más básicas es imposible predecir las salidas (soleado, nublado, lluvia,..) ya que hay demasiadas variables a tomar en cuenta

Una ecuación de salida en un espacio de estado describe la relación entre las variables de estado de un sistema y las variables de salida observables. En otras palabras; una ecuación de salida en el espacio de estado proporciona una descripción matemática de cómo las variables de salida de un sistema dependen de sus variables de estado y de las entradas externas.Siendo la ecuación la siguiente:

y(t)=C⋅x(t)+D⋅u(t)

PUNTOS ORDINARIOS Y SINGULARES

Aquellos puntos del plano s donde la función G(s) sea analítica se denominan puntos ordinarios. Los puntos donde G(s) no sea analítica se llaman puntos singulares.

FUNCIÓN ANALÍTICA

Se dice que una función compleja G(s) es analítica en una región si G(s) y todas sus derivadas existen en dicha región.

La derivada de una función analítica se determina mediante:

La función de transferencia no proporciona información sobre la estructura del sistema. Es decir nos habla de la relación entre las entrada y salida del sistema pero no sobre los aparatos físicos. En el caso de la refrigeración de una casa: la función de transferencia del sistema de control de temperatura proporciona información sobre cómo cambia la temperatura interior en función de diversas variables, pero no revela detalles sobre la estructura física específica del sistema, como los componentes y su disposición física.

POLOS Y CEROS

Los polos son aquellos puntos singulares en los que la función o sus derivadas tienden a infinito. Los ceros son aquellos puntos donde la función se anula. Si se incluyen los puntos en el infinito, toda función de variable compleja tiene el mismo número de ceros que de polos.

Linealizar un modelo matemático es un proceso mediante el cual, se aproxima un modelo matemático no lineal a otro lineal, para hacer que su análisis, comprensión y diseño sean más sencillos.

En todo espacio de estado se encuentran estos tres elemnetos. Un total de m entradas que reaccionan con n variables de estado y dan lugar a p salidas.

TAmbién es posible representar esta relación como un sistema de ecuaciones o una ecuación matricial.