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Transcript

Superficie gaussiana y cálculo de flujos

Consecuencias de la simetria

Ejemplo Teorema de Gaussl

Definicion de teorema Gauss

Definicion Integral

Definicion de integrales l

Campo vectorial F(x,y,z)=(0,0,Z)

Casquete con coordenadas esfericas

ACTIVIDAD 1.5.10 MOMENTO INDEPENDIENTE ESTUDIANTE: EDWARD PEÑA AMAYA DOCENTE: MIGUEL ORJUELA fECHA: 04/JULIO/2024

CALCULO VECTORIAL

TEOREMA DE GAUSS

En todos los casos de simetría cilíndrica, el campo eléctrico E→P en cualquier punto P también debe mostrar simetría cilíndrica. Simetría cilíndrica E⃗ P=EP(r)rˆ,donde r es la distancia al eje y rˆes un vector unitario dirigido perpendicularmente fuera del eje.

El campo eléctrico en una situación de simetría cilíndrica depende solo de la distancia al eje. La dirección del campo eléctrico se aleja del eje para las cargas positivas y se acerca al eje para las cargas negativas.

Campo vectorial f(x,y,z)=(0,0,z)

La ley de Gauss, también conocida como teorema de Gauss fué enunciada por el matemático alemán Karl Friederich Gauss (1777-1855). Dicho matemático determinó en esta ley una relación entre el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada y la carga eléctrica que se encuentra en su interior, establece tambien el teorema de la divergencia, también conocido como teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradski, es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo en el volumen delimitado por dicha superficie.Una de las aplicaciones más comunes del teorema de Gauss en física es en el estudio de campos vectoriales como el campo eléctrico. Por ejemplo, consideremos un campo eléctrico uniforme E que atraviesa una superficie cerrada S en forma de cubo. Podemos aplicar el teorema de Gauss para relacionar el flujo eléctrico a través de la superficie S con la carga encerrada en el volumen del cubo.

Teorema de Gauss

La superficie gaussiana en el caso de simetría cilíndrica. El campo eléctrico en un área es paralelo o perpendicular a la normal del área de la superficie gaussiana.

Superficie gaussiana y cálculo de flujos

El campo eléctrico es perpendicular al lado cilíndrico y paralelo a los extremos planos de la superficie. El flujo que atraviesa la parte cilíndrica es

mientras que el flujo a través de las tapas de los extremos es cero porque E→⋅nˆ=0 allí. Por lo tanto, el flujo es

CASQUETE CON COORDENADAS ESFERICAS

se realiza el calculo de los vectores, derivadas y el producto vectorial del casquete

Por lo tanto se representa de la siguiente manera la integral

Teniendo en cuenta la integral en el mismo campo sobre la tapa inferior y el teorema , se determina que es valido la superficie ya que es cerrada, con una parametrizacion del circulo la cual se define de la siguiente manera.

x=r cos(t)y=r sin(t)z=0t=∈[0,2π]r=∈[0,1]

Una distribución de carga tiene simetría cilíndrica si la densidad de carga depende solo de la distancia r del eje de un cilindro y no debe variar a lo largo del eje o con la dirección alrededor del eje. En otras palabras, si su sistema varía si lo gira alrededor del eje, o lo desplaza a lo largo del eje, no tiene simetría cilíndrica.

Distribución de la carga con simetría cilíndrica

La Figura muestra cuatro situaciones en las que las cargas se distribuyen en un cilindro. Una densidad de carga uniforme ρ0.en un alambre recto infinito tiene una simetría cilíndrica, y lo mismo ocurre con un cilindro infinitamente largo con densidad de carga constante ρ0. Un cilindro infinitamente largo que tiene diferentes densidades de carga a lo largo de su longitud, como una densidad de carga ρ1 para z>0 y ρ2≠ρ1 para z<0, no tiene una simetría cilíndrica utilizable para este curso. Tampoco.