Matemàtiques II- Unitat 1. Límits i continuïtat

LÍMITSI CONTÏNUITAT

ÍNDEX

1. Límit d'una funció

2. Càlcul de límits

3. Continuïtat

Límit d'una funció

Idea intuïtiva

1.1. Límit d'una funció f(x) quan x tendeix cap a un punt

Observem la gràfica de la dreta. Si x s'aproxima al número a per l'esquerra (x<a), tant com vulguem, però sense arribar a tocar-lo, els corresponents valors de f(x) s'aproximen al nombre L. Aquesta situació es simbolitza i direm que L és el límit de f(x) quan x tendeix cap a a per l'esquerra.

Anàlogament, si x s'aproxima al número a per la dreta (x>a), tant com vulguem, però sense arribar a tocar-lo, els corresponents valors de f(x) s'aproximen al nombre L'. Aquesta situació es simbolitza i direm que L' és el límit de f(x) quan x tendeix cap a a per la dreta.

Observem la gràfica de la dreta. En aquesta gràfica:

Quan això passa direm que la funció f(x) té límit L o que f(x) convergeix a L quan x tendeix a a. Ho simbolitzarem:

Exemple:

No existeix

Als extrems del domini només té sentit:

Hi ha vegades que quan x s'aproxima al nombre a, tant com vulguem, però sense arribar a tocar-lo, els corresponents valors de f(x) es fan tan grans o petits com vulguem:

Asímptotes verticals

Als gràfics de la diapositiva anterior, la recta d'equació x = a s'anomena asímptota vertical de funció f(x). A la pràctica, si la funció f(x) és un quocient, les asímptotes verticals es troben als valors que anul·len el denominador.

1.2. Límit d'una funció f(x) quan x tendeix a infinit

Hi ha vegades que quan la x es fa tant gran o petita com vulguem els valors corresponents de f(x) es comporten com a les següents gràfiques:

La recta d'equació y = L s'anomena asímptota horitzontal de la funció f(x)

Exemple:

Asímptotes verticals:El denominador s'anul·la per a x=1, anem a veure què passa a la dreta i l'esquerra d'1 fent taules de valors.

Hi ha una asímptota vertical en x = 1

Exemple:

Asímptotes hotizontals:Mirem què passa quan la x es fa molt gran o molt petita:

Hi ha una asímptota horitzontal en y = 2

Asímptotes oblíqües

Una asímptota oblíqua és de la forma y = mx + n, tal que:

Observació: si hi ha asímptotes horitzontals no n'hi ha d'obliqües

Càlcul de límits

PROPIETATS DELS LÍMITS

Siguin f i g dues funcions amb els següents límits: Aleshores,

Aquestes propietats també són vàlides quan

Indeterminacions

A) Límits quan

Si P(x) és un polinomi, aleshores:

A) Límits quan

Si P(x) i Q(x) són polinomis, aleshores:

A) Límits quan

Si P(x) i Q(x) són polinomis, aleshores:

Indeterminació

Quan ens trobem amb aquesta indeterminació, factoritzarem numerador i denominador, simplificarem i tornarem a calcular el límit:

A) Límits quan

Si P(x) és un polinomi, aleshores:

Si ens trobem una indeterminació 0/0 amb una arrel quadrada, multiplicarem i dividirem pel conjugat del terme on està l'arrel:

B) Límits quan

B) Límits quan

Si P(x) i Q(x) són polinomis, aleshores:

B) Límits quan

B) Límits quan

Si P(x) i Q(x) són polinomis, aleshores:

Indeterminació

B) Límits quan

Indeterminació amb arrels

Multiplicarem i dividirem pel conjugat del terme que té arrels.

B) Límits quan

Farem servir la fórmula:

Indeterminació

C) Càlcul d'asímptotes

C) Càlcul d'asímptotes oblíqües

Són de la forma y = mx+n amb

L'asímptota és y = x-5

f(100) = 94,99 i y(100) = 95, per tant per valors molt grans la funció està per sota l'asímptota f(-100) = -104,99 i y(-100) = -105, per tant per valors molt petits la funció està per sobre l'asímptota

Continuïtat

Continuïtat. Idea intuïtiva

Del curs passat coneixem la idea de funció contínua, que és la que pot ser representada d’un sol traç, sense aixecar el llapis del paper. Quan una funció no és contínua en un punt es diu que presenta una discontinuïtat.

Exemple de funció discontínua

Exemple de funció contínua

DEFINICIÓ DE CONTINUÏTAT

Una función f(x) és continua en x=a si

Observem que per tal que f(x) sigui contínua en x=a s'han de complir tres condicions:

Quan no es satisfà alguna d'aquestes condicions direm que la funció f és discontínua en x = a.

Tipus de discontinuïtat

A) Discontinuïtat evitable.Pot donar-se en dos casos: - Existeix el límit però no la imatge (1r gràfic) - Existeix el límit, la imatge també però no són iguals (2n gràfic)

Tipus de discontinuïtat

B) Discontinuïtat de saltEs dona quan els dos límits laterals al punt existeixen (són nombres finits), però són nombres diferents.

Tipus de discontinuïtat

C) Discontinuïtat infinita o asimptòticaUn o els dos límits laterals són infinits.

Exemples

Els punts on hem d'estudiar la continuïtat són els punts de canvi a les funcions definides a trossos i els punts on es divideix per 0 a les funcions racionals.

Punts a estudiar: x = 1 i x = -1

Discontinuïtat evitable en x = 1

Discontinuïtat de salt en x = -1

Exemples

Els punts on hem d'estudiar la continuïtat són els punts de canvi a les funcions definides a trossos i els punts on es divideix per 0 a les funcions racionals.

Punts a estudiar: x = 2 i x = -1

Discontinuïtat infinita en x = -1

Discontinuïtat evitable en x = 2

Continuïtat a un interval

Una funció f és contínua a un interval [a, b] si i només si és contínua a cada valor d'x d'aquest interval. Als punts extrems de l'interval tancat, només els límits laterals (dreta d'a i esquerra de b) han d'igualar el valor de la funció: i

Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano

Teorema de Bolzano