Regulación Automática Tema 2

TEMA 2:

Descripción de sistemas continuos

"La regulación automática es la capacidad de los sistemas para mantener un comportamiento estable y deseado frente a perturbaciones externas." -

Norbert Wiener

ÍNDICE

LAPLACE

Marta

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Lidia

ESPACIOS DE ESTADO

Álvaro

LINEALIZACIÓN

Ángela

DIAGRAMAS DE BLOQUES

Ángela

01

LAPLACE

DEFINICIÓN

La transformada de Laplace viene dada por la expresión

La transformada inversa de Laplace viene dada por la expresión

resolver: - Ec. diferenciales - Lineales -Ecuaciones integrales

¿Para qué sirve la trasnformada de laplace?

PROPIEDADES

TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de una suma = suma de las transformadas

La transformada del producto de una función por una constante

Teorema del valor inicial

PROPIEDADES

TRANSFORMADA DE LAPLACE

La transformada de Laplace de la derivada de la función f(t)

Teorema del valor final

TABLAS

FUNCIONES TÍPICAS

02

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

DEFINICIÓN

Es el cociente entre la transformada de laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de laplace de la entrada (función excitación), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son nulas.

EJEMPLO

SOLUCIÓN

CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Las características de la función de transferencia dependen únicamente de las propiedades físicas de los componentes del sistema, no de la señal de entrada aplicada. El conocimiento de la función de transferencia de un sistema de regulación lo caracteriza completamente desde el punto de vista externo, puesto que permite obtener la variable de salida de cada función de entrada especificada.

Info

DEFINICIONES

FUNIÓN ANALÍTICA

PUNTOS ORDINARIOS Y SINGULARES

POLOS Y CEROS

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

FUNCIÓN DE TRANFERENCIA EN UN CIRCUITO RLC

EJEMPLO CIRCUITO

LIMITACIONES DE LA FT

Estructura física

Restricciones

Información limitada

Ventajas Funciones de estado

Condiciones iniciales

03

Espacios de estado

Tipos de sistemas

Sistema determinista vs no determinista

Sistema monovariable vs plurivariable

Sistema casual vs anticipatorio

Sistema dinámico vs estático

Sistema invariante o variante con el tiempo

Elementos de un sistema

Ecuación de salida

Representación de espacios de estado

+ INFO

Visión general de las ecuaciones y vista matricial

Ecuación de estado

04

LINEALIZACIÓN

LINEALIZACIÓN

SERIE DE TAYLOR

¿Qué es ? ¿Porqué se hace?

¿Qué es un modelo no lineal?

Procedimiento

05

diagramas de bloques

DEFINICIÓN

Es una representación gráfica de las funciones realizadas por cada componente y del flujo de las señales. Tal diagrama indica las interrelaciones que existen entre los diversos componentes de forma más realista que una representación matemática.

EJEMPLO

bifurcación

Sumador

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Intercambio de sumadores

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Descomposición de un sumador

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Intercambio de bloques en serie

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Combinación de bloques en serie

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Combinación de bloques en paralelo

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Desplazamiento de un sumador a la izquierda

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Desplazamiento de un sumador a la derecha

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Desplazamiento de una bifurcación a la izquierda

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

Desplazamiento de una bifurcación a la derecha

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

10

Desplazamiento a la izquierda de un bloque en el camino directo

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

11

Desplazamiento a la izquierda de un bloque en la realimentación

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

ÁLGEBRA DE BLOQUES

12

Reducción de un lazo de realimentación

DIAGRAMA ORIGINAL

EQUIVALENTE

Tema 2. Descripción de Sistemas Continuos

Parte de problemas(Grupo 8)

Alejandro Monje Rodríguez (CTO) José Manuel Moro Pérez (Curador) Pablo Núñez Peña (CEO) Alberto Pérez Cobos (Ing Promt)

¡Vamos!

Índice

MODELOS MATEMÁTICOS

DIAGRAMA DE BLOQUES

LAPLACE

RESUMEN

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.

BIBLIOGRAFÍA

MODELOS MATEMÁTICOS

Pablo Núñez Peña

¿Qué son y para qué sirven?

Pablo Núñez Peña

Metodología

Recopilar los datos y sustituir en la ecuación diferencial

Identificar el sistema

Resolver la E.D.O

Pablo Núñez Peña

Sistemas Mecánicos

Modelo simple de rueda suspensión

Pablo Núñez Peña

Sistemas Mecánicos

Modelo rueda-suspensión más realista

Pablo Núñez Peña

Sistemas Eléctricos

Circuito eléctrico RC

Pablo Núñez Peña

Sistemas Térmicos

Tanque de agua aislado térmicamente

Pablo Núñez Peña

Sistemas Hidráulicos

Vaciado de un depósito R.T

Pablo Núñez Peña

LaPlace

Guión

Alejandro Monje Rodríguez

Transformada de LaPLace

Guión

Alejandro Monje Rodríguez

Transformada de LaPLace

Ejemplo a realizar

Alejandro Monje Rodríguez

Antitransformada de LaPLace

Guión

Alejandro Monje Rodríguez

Antitransformada de LaPLace

Ejemplo a realizar

Alejandro Monje Rodríguez

Función de transferencia

José Manuel Moro Pérez

Diagramas de bloques

Elementos:

José Manuel Moro Pérez

13 Reglas de simplificación Diagrama de bloques

Alberto Pérez Cobos

Alberto Pérez Cobos

Alberto Pérez Cobos

Alberto Pérez Cobos

Alberto Pérez Cobos

Alberto Pérez Cobos

Alberto Pérez Cobos

Alberto Pérez Cobos

Alberto Pérez Cobos

10

11

13

12

Alberto Pérez Cobos

Diagramas de bloques

Ejemplo: 1

Alberto Pérez Cobos

Diagramas de bloques

Alberto Pérez Cobos

Diagramas de bloques

Alberto Pérez Cobos

Diagramas de bloques

Alberto Pérez Cobos

Diagramas de bloques

Alberto Pérez Cobos

Diagramas de bloques

Ejemplo: 2

José Manuel Moro Pérez

Diagramas de bloques

José Manuel Moro Pérez

Diagramas de bloques

José Manuel Moro Pérez

Diagramas de bloques

José Manuel Moro Pérez

LAPLACE

MODELOS MATEMÁTICOS

PROBLEMAS T2

DIAGRAMAS DE BLOQUES

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Bibliografía

MODELOS MATEMÁTICOS

LAPLACE

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

DIAGRAMAS DE BLOQUES

Antes de finalizar

Matlab - Toolbox

Tema 2

Jaime Escribano Correro

Toolbox de Control de MATLAB

Para la creación de funciones de transferencia, el comando básico es el TF:

Crea una función de transferencia en tiempo continuo con numerador y denominador especificados por num y den.Num y den son introducidos como vectores teniendo como valores el coeficiente decreciente del polinomio en s.

+ info

Funciones de transferencia cero-polo-ganancia Comando ZPK

Permite definir modelos dados mediante la ubicación de sus polos sus ceros y su ganancia:

C y p son los vectores de ceros y polos reales o conjugados, y k es el valor real escalar de la ganancia.La función de transferencia obtenida vendrá dada por una expresión del tipo:

+ info

Para sistemas sin ceros o polos hay que hacer c o p un vector vacío [].

Descomposición en fracciones parciales de la FT Comando RESIDUE

Utilizando este comando se puede hallar, a partir de la función de transferencia, los residuos, los polos y los términos directos de una descomposición en fracciones parciales.

También podemos realizar la conversión inversa

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Conexiónes Comando SERIES y PARALLEL

Crea un nuevo objeto LTI, sys, producto de otros dos previamente definidos, sys1 y sys2.

Permite la conexión de dos modelos LTI en paralelo.

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Realimentación El comando FEEDBACK

Permite la realimentación de dos modelos LTI:

Esta orden devuelve un sistema equivalente a la realimentación negativa del sistema sys2 como se muestra en la figura:

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Comandos de respuesta temporal I

El comando step permite obtener la respuesta ante un salto escalón:

El comando impulse permite obtener la respuesta ante un impulso unitario:

El comando lsim permite obtener la respuesta ante entradas arbitrarias generadas por el usuario:

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Comandos de respuesta temporal II

Los siguientes comandos producen las gráficas:

Un sistema dado por su función de transferencia:

» a=tf(1,[1 1],'inputDelay',0.1')

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Comandos de respuesta temporal III

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Comandos de respuesta temporal IV

+ info

Comandos de respuesta temporal V

Cada una de las gráficas obtenidas permiten obtener las características típicas de una respuesta temporal como: • Máxima sobreelongación, Mp • Tiempo de Mp • Tiempo se asentamiento • Tiempo de subida • Estado estacionario

+ info

Gracias

### Modelo Hidráulico: Análisis de la Descarga de un Depósito En este análisis, nos centraremos en la dinámica de la altura del agua en un depósito que se está vaciando. Antes de proceder con cualquier aplicación práctica, resulta esencial comprender algunos principios fundamentales de la mecánica de fluidos. El comportamiento del flujo dentro de un conducto puede clasificarse como laminar cuando el número de Reynolds es inferior a 2200, o como turbulento si supera este valor. Este fenómeno es crucial pues influye directamente en las ecuaciones que correlacionan la altura del líquido en el depósito, denotada como \( H \), con el flujo de salida, \( Q \). La constante \( K \) se introduce en estas ecuaciones para compensar las pérdidas de energía asociadas con el diámetro y la longitud del conducto. Para modelar este sistema, aplicaremos la ley de conservación de la masa, que establece que cualquier cambio en el volumen del líquido dentro del depósito debe ser igual a la diferencia entre el caudal entrante y el saliente. En este caso, asumiremos que el flujo de salida ocurre en régimen turbulento y que el depósito comienza completamente vacío.

Un sistema dinámico es aquel donde las variables de salida depende de las variables de entrada de ese ciclo y de las anteriores variables de entrada. Un sistema estático es aquel en el que las variables de salida solo depende de sus variables de entrada y no de las anteriores entradas. En el caso de un muelle si en un tiempo t realizamos varias elongaciones el muelle irá perdiedo sus propiedades elásticas y se irá alargando cada vez más para una misma fuerza; eso es un sistema dinámico. Pero si lo idealizamos y suponemos que no ocurre este alargamiento entonces se convierte en un sitema estático

Podemos observar que volvemos a tener una retroalimentación negativa y una vez operamos la retroalimentación negativa observaremos que nos quedará la función de transferencia.

1. Bloques: Los bloques representan componentes individuales o etapas en un sistema. Pueden ser dispositivos físicos, como sensores, actuadores o procesadores, o pueden representar funciones o procesos abstractos. Los bloques son utilizados para indicar cómo fluye la información o las señales a través del sistema. Cada bloque tiene una entrada y una salida, que están conectadas mediante flechas. 2. Flechas: Las flechas en un diagrama de bloques representan la dirección del flujo de información o señales entre los bloques. Indican cómo la salida de un bloque se conecta a la entrada de otro bloque. Las flechas también pueden tener etiquetas o símbolos para indicar el tipo de señal que se transmite, como señales analógicas, digitales o de control. 3. Bifurcaciones: Las bifurcaciones, también conocidas como ramificaciones o desviaciones, se utilizan cuando una señal se divide en múltiples caminos. Representan la separación de una señal en dos o más direcciones diferentes. Las bifurcaciones son útiles cuando se necesita procesar o analizar una señal en paralelo o cuando se requiere tomar decisiones basadas en condiciones específicas. 4. Sumadores: Los sumadores, también llamados nodos de suma, se utilizan para combinar dos o más señales en una sola señal. Pueden representar operaciones matemáticas de suma o también pueden utilizarse para la combinación de señales analógicas o digitales. Los sumadores suelen tener múltiples entradas y una salida, y se utilizan en diversas aplicaciones, como el procesamiento de señales, el control de sistemas y el procesamiento de datos.

Un sitema invariable en el tiempo es aquel en el que el tiempo no influye en las constantes no varían con el teimpo. En un sistema variable no el tiempo los parámetros fijos del sitema varían con el tiempo. Un sitema variable con el teimpo puede ser el crecimiento de una planta ya que la altura cambia. Un sistema invariable con el tiempo puede ser como resiste un edificio la caída de la lluvia ya que la altura de este siempree es constante

El objetivo principal de esta asignatura es regular automáticamente procesos diversos, que pueden variar desde fenómenos naturales hasta sistemas económicos. Para alcanzar una regulación óptima, es esencial comprender estos procesos con precisión, diseñando controladores eficaces. Dada la complejidad de la realidad, frecuentemente es necesario realizar simplificaciones significativas para desarrollar modelos que sean prácticos y resolubles, aunque no completamente detallados en el punto de trabajo específico. Las principales fuentes de conocimiento para la modelización de estos procesos incluyen la experiencia acumulada por expertos y la literatura especializada. Además, la comprensión de estos sistemas se beneficia de las leyes naturales que han sido estudiadas por generaciones de científicos, permitiéndonos entender una amplia variedad de sistemas mediante esta aproximación. En este contexto, se destacan dos enfoques fundamentales y distintos para la construcción de modelos: - **Modelado físico**: Implica descomponer el sistema en subsistemas cuyas propiedades son conocidas. - **Identificación**: Usa observaciones directas del sistema para ajustar las propiedades del modelo, complementando el método anterior. En la ingeniería de control, el comportamiento dinámico de un sistema se describe a menudo mediante ecuaciones diferenciales. A partir de estas, se derivan funciones de transferencia que simplifican el análisis. Sistemas análogos, aunque físicamente diferentes, pueden compartir modelos matemáticos idénticos, lo que facilita la aplicación de soluciones comunes, como en el caso del sistema masa-resorte o un circuito RLC.

Fórmula Función de Transferencia

Bloques en serie: El diagrama tiene dos bloques conectados uno tras otro. Simplificación: Se multiplican las funciones de transferencia de estos bloques, obteniendo una expresión más compleja. División y forma final: Esta expresión compleja se simplifica aún más dividiendo el numerador y el denominador por un factor común, lo que lleva a la función de transferencia final: K / s(s + 1).

• Como podemos ver en la primera ecuación la única variable utilizada es el tiempo (el resto son constantes). Cunado t=0 el resultado es 0 y, además, no te dice como te desplazas o donde estás.
• En el segundo caso, tenemos varias variables de salida (velocidad y posición). En este caso vale 0 para t=0 pero esto no es necesario. En este caso no te especifica como te desplazas pero se puede definir una variable que te lo indique.

Otra forma de ver los espacios de estado es usando un método visual por bloques. En el usamos bloques (variables de estado), hay una entrada y una salida.

La limitada informción ofrecida por la FT se ve opacada por los espacios de estado. Esto se debe a que:

• Los sistemas pueden ser lineales o no.
• Permite más de una entrada y salida.
• Pueden ser sistemas invariantes con el tiempo.
• Las condiciones iniciales pueden ser distintas de 0.
• Proporciona información del sistema.
• Da resultados más sencillos y elegantes

La agrupación en serie implica conectar varios bloques de control en una secuencia lineal, donde la salida de un bloque se convierte en la entrada del siguiente. Esta configuración se usa para diseñar sistemas de control más complejos, combinando bloques individuales para lograr el comportamiento deseado. Al analizarla, los ingenieros pueden entender cómo interactúan los componentes y cómo afectan el comportamiento general del sistema de control.

Un sistema causal implica una relación donde los cambios en una variable provocan cambios en otra dentro del sistema. Esta conexión de causa y efecto es esencial para entender y predecir cómo se comporta el sistema. eventos futuros y ajustarse en consecuencia antes de que sucedan. En otras palabras en el sistema casual las variables de salida afectarán a las variables de entrada impidiendo predecir sus futuros valores pero en un sitema anticipatorio al no existir esta relación se puede predecir las futuras entradas

El estado o variables de estado

El "estado" en un espacio de estado es un conjunto de variables que describen completamente el comportamiento de un sistema en un momento dado. Estas variables capturan toda la información necesaria para predecir el comportamiento futuro del sistema. Por ejemplo, en un sistema de masa-resorte-amortiguador, el estado podría estar compuesto por la posición y la velocidad de la masa. Estas dos variables son suficientes para predecir cómo evolucionará el sistema en el tiempo.

Análisis Dinámico de la Suspensión de un Automóvil :En el estudio del sistema mecánico de la suspensión de un automóvil, hemos llevado a cabo un análisis dinámico centrado en una de las ruedas. Para ello, aplicamos la segunda ley de Newton y detallamos las fuerzas que influyen en su comportamiento. Los aspectos clave considerados incluyen: 1. **Aceleración**: definida como la segunda derivada de la posición en función del tiempo, lo que proporciona una medida precisa de cómo cambia la velocidad de la rueda a lo largo del tiempo. 2. **Fuerza Elástica**: esta fuerza es directamente proporcional a la constante de rigidez del muelle y al desplazamiento que experimenta. Es fundamental para determinar cómo la suspensión responde a las irregularidades de la carretera. 3. **Fuerza Amortiguadora**: depende de la velocidad de desplazamiento de la rueda y del coeficiente de amortiguamiento. Esta fuerza es crucial para disipar la energía del sistema, reduciendo así las oscilaciones y mejorando la estabilidad del vehículo. Al integrar estos componentes, podemos modelar y predecir el comportamiento dinámico de la suspensión, lo cual es esencial para optimizar el confort y la seguridad del vehículo en operación.

La retroalimentación negativa implica enviar una parte de la salida de un sistema de vuelta a su entrada, pero con una polaridad opuesta. Este proceso ayuda a corregir y estabilizar el sistema, reduciendo las discrepancias entre la salida deseada y la salida real. Es esencial para mantener la estabilidad y la precisión del control, contrarrestando cualquier desviación no deseada en la salida del sistema.

Si realizamos un modelo más realista en el cálculo de una suspensión en el que separamos la masa de la rueda y la suspendida nos saldrían dos ecuaciones diferenciales cuyo análisis dinámico es prácticamente igual al anterior. En esta ocasión habría datos distintos para cada una de las masas.

Una función de transferencia es una herramienta matemática que describe el comportamiento de un sistema dinámico ante una señal de entrada.Se expresa como la relación entre la transformada de Laplace de la salida del sistema y la transformada de Laplace de la entrada . En otras palabras, la función de transferencia nos dice cómo un sistema transforma una señal de entrada en una señal de salida.

La metodología para abordar estos sistemas sigue siempre los mismos pasos: 1. Identificación del sistema y la ecuación diferencial que lo describe. 2. Recopilación de datos y su inserción en la ecuación diferencial. 3. Resolución de la ecuación utilizando métodos matemáticos, frecuentemente mediante la transformada de Laplace. A continuación, exploraremos varios sistemas dinámicos, eléctricos y mecánicos, y las ecuaciones diferenciales que los rigen, basadas en leyes físicas para construir sus modelos matemáticos.

**Sistema eléctrico:** Gracias a las leyes de Kirchhoff, sabemos que en un nodo, la suma algebraica de las corrientes entrantes y salientes es cero, y que en cualquier malla cerrada, la suma algebraica de las tensiones debe ser igual a cero. Al combinar esto con las fórmulas que describen la relación entre tensión y corriente en los componentes pasivos del circuito, como resistencias, condensadores y bobinas, es posible determinar la corriente o carga en el circuito de manera precisa.

Es una representación matemática de un sistema cuya relación entre las entradas y las salidas puede ser no proporcional o presentar comportamientos complejos no lineales.

La FT no te da informacíon de lo que pasa dentro de un sitema. Únicamente te dice como se relaciona la entrada de la salida.Si estudiamos como un grifo filtra el agua que pasa la función de transferencia por sí sola no te dirá cómo el filtro purifica el agua, cuántos filtros hay o cómo están dispuestos físicamente. En cambio, la función de transferencia se enfoca únicamente en la relación entre la entrada y la salida del sistema, sin detallar los procesos internos específicos.

Una ecuación de estado en el espacio de estado proporciona una descripción dinámica del sistema en términos de cómo sus variables de estado cambian con el tiempo. Esta representación es fundamental en el análisis y diseño de sistemas de control, ya que permite modelar sistemas complejos y diseñar estrategias de control efectivas.

x'(t)=A*x(t)+B*u(t)

Un sistema monovariable es aquel que solo tiene una entrada y una salida. Si observamos la posición de un cuerpo en un plano horizontal. La entrada es el tiempo y la salida su posiciónSi hay más de una entrada o de salida es un sistema multivariable. Por ejemplo si estudiamos un automóvil hay que tener en cuenta su peso, la cantidad de combustible, los materiales de fabricación, ...

• Primero elegimos el punto (punto de operación) en torno al cual queremos linealizar

• Identificar las variables de estado, son las variables que cambian con el tiempo y se vem afectadas por las entradas del sistema

• Escribir las ecuaciones del sistema que describen su comportamiento

• Linealizar las ecuaciones siguiendo la seria de Taylor y eliminar los términos no lineales

• Comprobar, por ejemplo mediante simulación, el rango de validez de la linealización, ya que si elegimos mal el punto puede haber discrepancias entre el modelo linealizado y el modelo real al que representa

Un sistema determinista es aquel en el que cada variable de entrada corresponde con una salida. Un ejemplo es el movimiento de un péndulo; conociendo las constante y en que instante estamos sabemos su posición. Un sistema no determinista es aque donde las salidas no corresponden con las entradas. Si fijamos como objeto de estudio el clima. Aunque sepamos las entradas más básicas es imposible predecir las salidas (soleado, nublado, lluvia,..) ya que hay demasiadas variables a tomar en cuenta

Una ecuación de salida en un espacio de estado describe la relación entre las variables de estado de un sistema y las variables de salida observables. En otras palabras; una ecuación de salida en el espacio de estado proporciona una descripción matemática de cómo las variables de salida de un sistema dependen de sus variables de estado y de las entradas externas.Siendo la ecuación la siguiente:

y(t)=C⋅x(t)+D⋅u(t)

PUNTOS ORDINARIOS Y SINGULARES

Aquellos puntos del plano s donde la función G(s) sea analítica se denominan puntos ordinarios. Los puntos donde G(s) no sea analítica se llaman puntos singulares.

FUNCIÓN ANALÍTICA

Se dice que una función compleja G(s) es analítica en una región si G(s) y todas sus derivadas existen en dicha región.

La derivada de una función analítica se determina mediante:

Modelo Térmico Simplificado: Bajo la suposición de que la temperatura en un cuerpo es uniforme, el primer principio de la termodinámica nos indica que la cantidad de energía calorífica introducida debe ser igual a la suma de la energía almacenada y las pérdidas energéticas. Al aplicar los principios fundamentales de la termodinámica, derivamos las relaciones correspondientes para cada componente del calor. Dado que en nuestras fórmulas intervienen diferentes temperaturas y un volumen que podría variar, optamos por simplificar nuestro modelo. Para ello, expresaremos la temperatura del agua en relación con la temperatura exterior y consideraremos que el volumen permanece constante.

La función de transferencia no proporciona información sobre la estructura del sistema. Es decir nos habla de la relación entre las entrada y salida del sistema pero no sobre los aparatos físicos. En el caso de la refrigeración de una casa: la función de transferencia del sistema de control de temperatura proporciona información sobre cómo cambia la temperatura interior en función de diversas variables, pero no revela detalles sobre la estructura física específica del sistema, como los componentes y su disposición física.

POLOS Y CEROS

Los polos son aquellos puntos singulares en los que la función o sus derivadas tienden a infinito. Los ceros son aquellos puntos donde la función se anula. Si se incluyen los puntos en el infinito, toda función de variable compleja tiene el mismo número de ceros que de polos.

Linealizar un modelo matemático es un proceso mediante el cual, se aproxima un modelo matemático no lineal a otro lineal, para hacer que su análisis, comprensión y diseño sean más sencillos.

En todo espacio de estado se encuentran estos tres elemnetos. Un total de m entradas que reaccionan con n variables de estado y dan lugar a p salidas.

TAmbién es posible representar esta relación como un sistema de ecuaciones o una ecuación matricial.