Alice nel paese delle meraviglie e i numeri: viaggio tra fantasia e me

Alice nel paese delle meraviglie e i numeri: viaggio tra fantasia e matematica

I am a great title, perfect for providing more context about the topic you are going to discuss

Research and Innovation Project

II Capitolo

Nel capitolo secondo di "Alice nel Paese delle Meraviglie", la protagonista, in preda alla confusione dopo essere diventata gigante, inizia a recitare una serie di moltiplicazioni apparentemente senza senso: "Dunque: quattro per cinque dodici, quattro per sei tredici, quattro per sette quattordici...". Sembra che Alice stia commettendo degli errori, ma un ingegnoso gioco di parole e basi numeriche nasconde un intrigante enigma matematico.

Come possiamo dimostrare che sia vero? Certamente quattro per cinque non fa dodici, ma venti. Tuttavia questa certezza è valida se stiamo contando con la classica notazione in base 10. In quanto 1210 (scritto così significa 12 in base 10) non è altro che “1” decina e “2” unità. Tuttavia se cambiassimo la base, le cifre con cui indichiamo il risultato sarebbero diverse. Come italiani tendiamo a stupirci perché non siamo avvezzi a basi non decimali.

Le moltiplicazioni di Alice: un enigma matematico

Apriamo allora la mente a basi numeriche diverse da dieci

Per esempio contando in base 5 il risultato di quattro per cinque (2010) diventa 4 volte 5 cioè 4 cinquine e nessuna unità. Lo scriveremo perciò 405.Ora siamo in grado di giustificare Alice, come vuole Taylor. Come poterlo fare? Basta trovare quale base bisogna usare per fare sì che quattro per cinque faccia dodici. Ciò avviene quando abbiamo “1” base più “2” unità. Poiché 4 x 5 = 2010 la base si ottiene sottraendo a 20 le due unità: (20 – 2) = 18. Allora possiamo dire che Alice ha ragione perché: 4 x 5 = 1218. La seconda affermazione è “quattro per sei tredici”. Quando è vera? Quando il risultato 2410 è espresso come “1” base più “3” unità, cioè quando la base è (24 – 3) = 21. E in effetti è vero che: 4 x 6 = 1321.

Quindi Alice...

... aumenta il secondo fattore di una unità, ma nel contempo aumenta la base di tre unità. Continuando con questo passo si ha: 4 x 7 = 1424 , 4 x 8 = 1527 , 4 x 9 = 1630 , 4 x 10 = 1733 , 4 x 11 = 1836 , 4 x 12 = 1939Poi cosa succede? Quando arriviamo a 4 x 13 cioè 5210 la base diventa 42 quindi il risultato in base 42 sarà “1” base più un simbolo che indica 10 unità. Non è 10, perché un sistema di notazione in base 42 ha per definizione 42 simboli (cifre). Potremmo per comodità utilizzare “A” per questo simbolo delle 10 unità e quindi il risultato sarebbe: 4 x 13 = 1A42 Con il che è dimostrato che la povera Alice non sarebbe mai potuta mai arrivare a 20!

L'apparente congruenza dell'aumento di base di tre unità a ogni passaggio è voluta o è una semplice conseguenza causale della scelta dei risultati da parte di Carroll?

Non è facile rispondere. Chiediamoci prima come sia possibile adattare un tipo di notazione. Esaminiamo alcune sue “variazioni”.In qualunque sistema di numerazione scrivere 20x significa che abbiamo come risultato due volte la base. In effetti 2010 è proprio 2 volte 10. Così come 205 è due volte cinque, cioè dieci unità.Nel sistema utilizzato da Alice la base è sempre 3 volte il fattore che moltiplica il 4 più tre unità: dato (4 x N), base = (3N + 3). Infatti 4 x 5 = 13 solo se la base è 18, cioè 3 volte 5 più 3 unità. Analogamente 4 x 6 = 14 solo le base è 21, cioè tre volte 6 più tre unità e così via.

Quindi in termini matematici...

possiamo scrivere l’equazione valida affinché la moltiplicazione dia 2 volte la base (quindi 20x): 4 x N = 2 (3N + 3) Che, essendo di primo grado, ammette l’unica soluzione N = -3. Quindi la base che permette di ottenere questo risultato è soltanto (3N+3) = -6. In effetti se N è -3, 4 x N è -12, cioè due volte -6. Quindi effettivamente: (4 x -3) = 20-6.

In questo caso Alice starebbe utilizzando questo diverso modello:

3 x 1 = 112 (come noto per il famoso sistema binario dei computer), 3 x 2 = 124 (sistema quaternario) e così via. Quindi, Alice in questo caso aumenta il fattore che moltiplica il 3 di uno e la base di due. Quindi arrivata a (3 x 10) in base 20 si ritrova sempre nella condizione di avere la prima cifra come 1 e la seconda come un simbolo che indichi 10 unità, ad esempio la “A”: 3 x 10 = 1A20 Questa soluzione è anche più “elegante” matematicamente. Perché? Semplice! Possiamo scrivere l’equazione per il venti come: 3N = 2 (2N+0) Che non ammette alcuna soluzione. Quindi non avrebbe alcun “20” in qualunque base come risultato.

In questa presentazione abbiamo esplorato l'apparente contraddizione tra le affermazioni matematiche di Alice nel Paese delle Meraviglie e la realtà. Abbiamo visto come sono state interpretate e spiegate queste contraddizioni, proponendo teorie che coinvolgono sistemi di numerazione non decimali ed enigmi matematici.