analisis rn

Construcción de los números reales

• Maldonado Garcia Daniela
• Vargas Martinez Flor
• Tejeda Sanchez Jose Gabriel
• Oropeza Sánchez Andy David

¿Por qué de construir los números reales?

Desde la época babilónica el uso de los números a sido necesario, pasando por muchas culturas y siendo desarrolladas por estas mismas.Debido al avance en las matemáticas y las ideas del momento (siglo XIX) la construcción de los reales obedece a la necesidad de formar las ideas de completitud o continuidad como objetos matemáticos.

Forma axiomática

La forma inmediata

Axiomas de los números Reales

Un conjunto (K, +, ×, ≤ ) es el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:

• K es un cuerpo.
• Es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del cuerpo.

• El conjunto es completo, es decir satisface el axioma del supremo: todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.

Cortaduras de Dedekind

Definicion de Cortadura

Las cortaduras de Dedekind permiten construir los números reales de manera rigurosa.

Representacion

Explicacion

conjuntos

Propiedades de las Cortaduras

Teorema

Operaciones de Cortaduras

Sucesiones de Cauchy

La construcción de los números reales a partir de sucesiones de Cauchy es otro método fundamental en análisis matemático, y se basa en la idea de completar el conjunto de los números racionales 𝑄 para obtener los números reales 𝑅. Este método se denomina "completación de Cauchy" o "completación métrica".

DEFINICION:

Una sucesión (𝑎𝑛) de números racionales es una sucesión de Cauchy si, para cada 𝜖>0, existe un número natural 𝑁 tal que, para todos los 𝑚,𝑛≥𝑁, se cumple que |𝑎𝑛−𝑎𝑚|<𝜖.

CONSTRUCCION DE LOS REALES:

Denotamos al conjunto C. Relación de Equivalencia Clases de Equivalencia: Operaciones en 𝑅

Los números reales definidos de esta manera satisfacen las propiedades habituales de los números reales, como ser un campo ordenado completo.

Completitud

Completitud de 𝑅: Toda sucesión de Cauchy de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy (en 𝑄) converge a una clase de equivalencia en 𝑅. Este proceso hace que 𝑅 sea un conjunto completo.

Comparación

La forma axiomatica, las cortaduras de Dedekind y las suceciones de Cauchy tienen un mismo fin

Forma aximatica

Ventajas

• Simplicidad: Definir 𝑅 a través de un conjunto de axiomas es directo y proporciona una manera rápida de trabajar con los números reales sin necesidad de construirlos explícitamente.
• Generalidad: Este enfoque es muy útil en contextos más abstractos donde las propiedades fundamentales de los números reales son más importantes que su construcción específica.

Desventajas

• Falta de Construcción: Este enfoque no proporciona una construcción explícita de 𝑅, lo que puede ser una desventaja para aquellos interesados en los fundamentos constructivos del análisis.

• Dependencia de Axiomas: Requiere la aceptación de los axiomas sin una construcción concreta, lo que puede ser menos satisfactorio desde un punto de vista constructivo o intuicionista.

Cortaduras de Dedekind

Ventajas

• Intuición Geométrica: La idea de dividir 𝑄 en dos subconjuntos puede ser visualizada fácilmente, proporcionando una intuición clara de lo que significa un número real en términos de "huecos" en 𝑄.

• Completitud: La construcción de Dedekind garantiza de manera directa la completitud de 𝑅 porque cada corte define un número real único que llena "huecos" en 𝑄.

Desventajas

• Complejidad Constructiva: Puede ser más abstracta y complicada de trabajar para alguien que no esté familiarizado con el análisis riguroso.
• Dificultad en Operaciones: Definir las operaciones aritméticas en términos de cortaduras puede ser menos intuitivo y más tedioso.

Sucesiones de Cauchy

Ventajas

• Intuición Analítica: Las sucesiones de Cauchy son una extensión natural del concepto de convergencia en 𝑄, proporcionando una base sólida desde el punto de vista del análisis matemático.

• Convergencia: Este enfoque enfatiza la idea de que 𝑅 es el completamiento de 𝑄 con respecto a su métrica, lo que es útil para entender muchas propiedades topológicas de 𝑅.

Desventajas

• Clases de Equivalencia: Trabajar con clases de equivalencia de sucesiones puede ser abstracto y complicado para los principiantes.

• Definición de Operaciones: Definir operaciones aritméticas en términos de sucesiones puede ser menos directo y más técnico.

Comparación

Intuición y Accesibilidad

Operaciones y Propiedades:

Uso y Aplicaciones

En resumen, cada enfoque tiene sus propias ventajas y desventajas, dependiendo del contexto en el que se utilice y del nivel de detalle y formalidad deseado. Las cortaduras de Dedekind y las sucesiones de Cauchy proporcionan construcciones explícitas y completas de 𝑅 R, mientras que el enfoque axiomático proporciona una manera rápida y general de trabajar con los números reales basada en sus propiedades fundamentales.

Este conjunto contiene todos los números racionales mayores que el punto de corte α. En la representación, está dibujado desde el punto α hacia la derecha.

Conjunto B

Este conjunto contiene todos los números racionales menores que el punto de corte α. En la representación, está dibujado desde la izquierda hasta el punto α.

Conjunto A

Explicacion de concepto

Se define como un par (A, B) de subconjuntos no vacíos de números racionales (ℚ) tal que:

• Partición: A y B son disjuntos y A ∪ B = ℚ.
• Orden: Todo elemento de A es menor que todo elemento de B.
• Sin máximo en A: A no tiene un mayor elemento (equivalente a decir que A es un conjunto abierto en el sentido de que si a ∈ A, entonces existe a' ∈ A tal que a < a' < b para cualquier b ∈ B).

El punto de corte α puede ser:

• Un número racional, si α ∈ ℚ.
• Un número irracional, si α ∉ ℚ.

Totalmente ordenado

Diremos que un cuerpo R es totalmente ordenado si en él está definida una relación de orden ≤, y además para cualesquiera a, b ∈ R, se cumple lo siguiente:

• a ≤ b o b ≤ a
• Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c para cualquier c ∈ R.
• Si a ≤ b entonces ac ≤ bc para cualquier 0 ≤ c

Definimos una relación de equivalencia∼ en𝐶. Dos sucesiones de Cauchy (𝑎𝑛) y (𝑏𝑛) son equivalentes, (𝑎𝑛)∼(𝑏𝑛), si la sucesión (𝑎𝑛−𝑏𝑛) converge a 0. Formalmente, (𝑎𝑛)∼(𝑏𝑛)si lim 𝑛→∞(𝑎𝑛−𝑏𝑛)=0

Cada sucesión de Cauchy pertenece a una clase de equivalencia bajo esta relación. Una clase de equivalencia representa un único número real. Denotamos la clase de equivalencia que contiene a la sucesión (𝑎𝑛) como [(𝑎𝑛)].

Suma: Si [(𝑎𝑛)]y [(𝑏𝑛)] son dos clases de equivalencia, definimos la suma como [(𝑎𝑛)]+[(𝑏𝑛)]=[(𝑎𝑛+𝑏𝑛)]. Producto: Definimos el producto como [(𝑎𝑛) ⁣]⋅[(𝑏𝑛)]=[ (𝑎𝑛⋅𝑏𝑛)]. Orden: Decimos que [ (𝑎𝑛)]≤[ ⁣(𝑏𝑛) ⁣] si existe un 𝑁 tal que para todo 𝑛≥𝑁, 𝑎𝑛≤𝑏𝑛.

• Cortaduras de Dedekind: Proporcionan una intuición geométrica clara, pero pueden ser menos accesibles debido a la complejidad de trabajar con cortaduras.
• Sucesiones de Cauchy: Ofrecen una intuición analítica sólida basada en la convergencia, siendo naturales para quienes ya tienen un conocimiento básico de análisis.
• Axiomas: Son directos y fáciles de entender en términos de propiedades, pero carecen de una construcción concreta que algunos podrían encontrar insatisfactoria.

• Cortaduras de Dedekind: Son útiles para entender la estructura y completitud de 𝑅 desde un punto de vista constructivo.

• Sucesiones de Cauchy: Son fundamentales en análisis real y teoría de series, siendo útiles para demostrar propiedades de límites y continuidad.
• Axiomas: Son útiles en contextos teóricos y abstractos donde las propiedades de 𝑅 son más importantes que su construcción explícita.

• Cortaduras de Dedekind: Definir operaciones puede ser más complicado y menos intuitivo.
• Sucesiones de Cauchy: Definir operaciones es técnico pero sigue un camino natural en análisis.
• Axiomas: Las operaciones se definen de acuerdo con las propiedades axiomatizadas, simplificando el trabajo con R.