Presentación problemas de optimización de caja sin tapa

problemas de optimización en caja sin tapa

Máximos y mínimos, aplicación de la derivada

EMPEZAR

Objetivo

Las y los alumnos aprenderán el uso práctico de la derivada.

Conceptos básicos

• Función.

• Derivada.

• Punto c´ritico.

• Propiedad de igualdad.

Planteamiento del problema

Se desea construir una caja sin tapa, utilizando una pieza cuadrada de cartón de 60 cm de lado, recortando un cuadrado de cada una de las cuatro esquinas y doblando los costados. Encontrar el volumen máximo óptimo que esa caja puede tener.

Descripción gráfica del problema

60 cm

60 cm

Desarrollo del problema

Desarrollo del problema

Fórmula para calcular el volumen: V(x)= Abxh V(x)= bxlxh V(x)= (60-2x)(60-2x)(x)

V(x)= (60-2x) (x)

V(x)= (3600-240x+4x )(x)

V(x)= 3600x-240x+4x

Desarrollo del problema

Buscamos el máximo de esta función mediante su derivada:

V(x)= 3600x-240x+4x

V´(x)= 3600-480x+12x

3600-480x+12x=0

Simplificamos la función:

300-40x+x=0

Desarrollo del problema

300-40x+x=0

Nos queda una función de segundo grado que podemos resolver mediante el uso de la fórmula general:

Conclusión del problema

Al realizar las operciones obtenemos:

A partir de aquí podemos obtener los resultados posibles de x, al sumar, en el primer caso y restar, en el segundo momento.

x1= (40+20)/2= 30 cm

x2= (40-20)/2= 10 cm

conclusión del problema

Ahora corroboramos cual de los dos resultados es el que nos proporciona el volumen optimo:

Con x1= 30 cm

conclusión del problema

Por lo tanto, la posible solución sería con x2= 10 cm. Así que procedemos a realizar la sustitución del valor de x en nuestra formula inicial de volumen:

V= bxlxh

V= (60-2x)(60-2x)(x)

V= (60-2(10))(60-2(10))(10)

V= (60-20)(60-20)(10)

V= (40)(40)(10)

V= 16000cm

Comprobación de resultado

Por último, nos queda demostar que el resultado es nuestro volumen máximo. Para ello utilizaremos el criterio de la segunda derivada:

V´(x)= 3600-480x+12x

V´ ´(x)=-480+24x

Comprobación de resultado

Igualamos nuestra función a cero y sustituimos nuestro valor de x, el cual es 10 y si el resultado es negativo, entonces tenemos un maximo.

V´ ´(x)=-480+24x

-480+24x=0

-480+24(10)=0

-480+240=-240

Gracias por su atención

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