MAPA MENTAL (Transformaciones geométricas)

Transformaciones geométricas

Los vectores

Movimientos y homotecias

Suma de vectores

Los vectores

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Multiplicación de un vector por un número

La razón (k)

Transformaciones Geométricas

Traslaciones

Perímetro

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Giros y traslaciones

Semejanzas

Giros

Área

Simetrías

Volumen

Suma de vectores

Para sumar dos vectores gráficamente se dibuja el primer vector (normalmente desde el origen de coordenadas) y se traza el segundo vector. La suma se obtiene uniendo el origen del primer vector con el extremo del segundo.

Para sumar dos vectores numéricamente se suman sus componentes: Para restar dos vectores, la resta se convierte en la suma del primer vector más el opusto del segundo.

Traslaciones:

Para realizar una traslación es necesario disponer de un vector de traslación, porque la figura homóloga se desplaza siguiendo una dirección, un sentido y una longitud determinados.

Principales características de una traslación:

• Magnitud del desplazamiento: Distancia entre la posición inicial y final de cada punto.
• Dirección: Es la que marca la dirección del vector de traslación.
• Sentido: El marca la punta de la flecha del vector de traslación.

Definición:

Un vector fijo con origen en A y extremo en B se represetna gráficamente con un segmentos orientado que va desde A hasta B (una flecha que sale de A y apunta hacia B)

Elementos de un vector fijo:

• Dirección: La marca la inclinación de la recta sobre la que está situado el vector.
• Sentido: Lo marca la punta de la flecha.
• Módulo: Lo marca la longitud de la flecha.

Info

Elementos de un giro:

• Sentido del giro: Orientación que sigue el giro. El sentido es positivo cuando el giro se produce en sentido contrario a las agujas del reloj y es negativo si se produce en el mismo sentido que las agujas del reloj.

Un giro se expresa de esta manera: G(0;45º) Esta expresión indica un giro de centro respecto a un punto 0 y con un ángulo 45º en sentido positivo.

• Centro de rotación o de giro: Es el punto 0 alrededor del que se desplaza o rota la figura a la que se le aplica el giro.

Si P es un punto de la figura y P' es un punto homologado de la figura que ha girado, se cumple lo siguiente: dist (0, P) = dist (0, P)

• Ángulo de giro o amplitud: Medida del ángulo que gira cualquier punto P para llegar a su homólogo P' simepre respecto al centro 0.

La razón (k)

La razón (k) indica cuántas veces ha aumentado un objeto al transformarse en el otro. Existe, por lo tanto, una relación entre las distancias del centro 0 a los puntos A, B y C y las distancias del punto A', B' y C'.

Para calcular la razón de una homotecia, tan solo hay que hacer la división de las distacias de dos pares de segmentso homólogos.

• Si k > 0, la homotecia es directa
• Si k < 0, la homotecia es inversa.

La transformaciones geométricas se clasifican en dos categorías:

• Los movimiento o isometrías: Son transformaciones geométricas que conservan las distancias y los ángulos. La figura se transforma cambiando su posición, pero no cambia la forma ni el tamaño.
• Un movimiento directo: Si en la transformación que se realiza, el objeto inicial y el transformado conservan el sentido de orientación de los ángulos.
• Un movimiento inverso: Si la transformación que se realiza, el obejto inicial y el transformado no conserva el sentido de orientación de los ángulos.

• Las homotecias: Son transformaciones geométricas que respetan la forma, pero no las distancias; es decir, son transformaciones geométricas en elas que ahy un cambio de tamaño manteniendo la form en todo momento.

Multiplicación de un vector por un número

Para multiplicar un vector por un número gráficamente se multiplica el módulo del vector por el número y mantiene la dirección del vector. Si el número es positivo también tendrá el mismo sentido; no obstante, si el número es negativo, tendrá el sentido opuesto.

Para multiplicar un vector por un número numéricamente se multiplica cada componente del vector por el número.

Perímetro de figuras semejantes

Cuando una serie de razones iguales se suman los numeradores y los denominadores, el resultado es una fracción que pertenece a la misma serie. Esto quiere decir que la razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón de semejanza.

Cuando dos triángulos son semejantes, entre sus lados homólogos hay una proporción expresada por la razón de semejanza k.

Para calcular la razón de las dos áreas de los dos triángulos, hay que dividir al área del triángulo entre el área del otro y, a continuación, simplificar las expresiones que aparecen. Por lo tanto, la razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual a la razón de semejanza elevada al cuadrado. Este resultado se puede generalizar para otros polígonos distintos del triángulo.

Área de figuras semejantes

En dos triángulos semejantes, todas las medidas son propocionales entre ellas, tanto los dlados como las alturas. Esto quiere decir que, si la razón de dos tríangulos T y T' es k, la división de sus lados y de sus alturas también será k.

Volumen de cuerpos semejantes

Todos los cubos son semejantes entre ellos porque todos los cubos tienen las misma forma. En este caso, la semejanza entre los lados de los cubos será: Si se quiere saber la razón de semejanza de los volúmenes, tan solo hay que dividir los volúmenes de cada uno y simplificar el resultado obtenido. Por lo tanto, la razón entre los volúmenes de dos cubos semejantes es igual a la razón de semejanza elevada al cubo.

Cuando dos figuras tridimensionales son semejantes, como por ejemplo dos cubos, su volúmenes también siguen un determinada proporción. a partir de los segmentos L1 y L2 se pueden construir dos cubos que tienen como artista estos segmentos que tendrán volumenes L1³ y L2³.