Leçon de mathématiques 6ème

Leçons de mathématiques

6ème

Sommaire

Nombres et calculs

Grandeurs et mesures

Espace et Géométrie

Sommaire

Nombres et écritures décimales

Les nombres décimaux

Proportionnalité

Les quatres opérations

Multiplier et diviser par 10, 100, 1000, ...

Distributivité

Fractions

Fraction d'une quantité

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Multiplication de nombres décimaux

Utiliser la proportionnalité

Divisions décimales

Sommaire

Les angles

Périmètres de polygones

Aires de polygones

Durées

Angles et rapporteur

Aire d'un triangle

Volume

Périmètre d'un cercle et aire d'un disque

Organisation et représentation de données

Sommaire

Introduction à la géométrie

Le cercle

Droites perpendiculaires et parallèles

Polygones

Symétrie axiale

Parallélépipède rectangle

Médiatrice

Positions relatives de droites

Nombres et écritures décimales

Nombres entiers

Fractions décimales

Les nombres décimaux

A toi de jouer

Nombres et écritures décimales

Nombres entiers

Ecriture et rang

Différentes écritures

Nombres et écritures décimales

Nombres entiers

Ecriture et rang

Vocabulaire : Il existe DIX chiffres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 et 9. Les nombres s'écrivent à l'aide de ces chiffres. Chaque chiffre a une valeur qui dépend de son rang dans l'écriture. Exemple : 535 est composé des chiffres 5 et 3. Dans le nombre 535, les chiffres 5 n'ont pas la même signification : 5 est le chiffre des centaines et 5 est celui des unités.

Nombres et écritures décimales

Nombres entiers

Ecriture et rang

a. En chiffres Pour faciliter la lecture d'un nombre entier, on écrit ses chiffres par groupe de trois à partir du chiffre des unités. Le nombre ci-dessus s'écrit 713 248 961 305 et se lit 713 milliards 248 millions 961 mille 305.

Nombres et écritures décimales

Nombres entiers

Ecriture et rang

b. En lettres Propriétés : Les mots servant à écrire les nombres sont généralement invariables. Pour écrire en toutes lettres un nombre, on place un trait d'union entre chaque mot. Exceptions : cent et vingt prennent un « s » - s'ils sont multipliés ; - et s'ils ne sont pas suivis (par un autre nombre). Million et milliard sont des noms ; ils s'accordent au pluriel.

Nombres et écritures décimales

Nombres entiers

Ecriture et rang

Exemples : le club des cinq (5); la coupe du monde de deux-mille-six (2 006); 1 221 s'écrit mille-deux-cent-vingt-et-un ; Il y a six-cent-quatre-vingts élèves au collège cette année (680) ; 3 500 000 s'écrit trois-millions-cinq-cent-mille; Il y a six-milliards d'habitants sur Terre (6 000 000 000);

Nombres et écritures décimales

Nombres entiers

Différentes écritures

La décomposition ci-dessous met en évidence le rôle de chaque chiffre dans l'écriture d'un nombre. 5 713 = (5 × 1 000) + (7 × 100) + (1 × 10) + 3 La décomposition ci-dessous met en évidence le nombre de dizaines d'un nombre. 5 713 = (571 × 10) + 3 La décomposition ci-dessous met en évidence le nombre de centaines d'un nombre. 5 713 = (57 × 100) + 13

Nombres et écritures décimales

Fractions décimales

Définition : Une fraction décimale est une fraction de dénominateur 10, 100, 1 000 …. Exemples : Le nombre décimal 23,045 peut se lire de différentes façons : • 2 dizaines, 3 unités, 4 centièmes et 5 millièmes. On peut alors écrire :

Nombres et écritures décimales

Fractions décimales

Définition : Une fraction décimale est une fraction de dénominateur 10, 100, 1 000 …. Exemples : Le nombre décimal 23,045 peut se lire de différentes façons : • 23 unités et 4 centièmes et 5 millièmes. On peut alors écrire :

Nombres et écritures décimales

Fractions décimales

Définition : Une fraction décimale est une fraction de dénominateur 10, 100, 1 000 …. Exemples : Le nombre décimal 23,045 peut se lire de différentes façons : • 23 unités et 45 millièmes. On peut alors écrire :

Nombres et écritures décimales

Les nombres décimaux

Écriture d’un nombre décimal

Rangs des nombres décimaux

Zéros utiles ou inutiles

Nombres et écritures décimales

Les nombres décimaux

Écriture d’un nombre décimal

Définition : Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire à l'aide d'une écriture décimale (somme de la partie entière et de la partie décimale). Exemple : 52,493 est un nombre décimal. 52 est appelée partie entière et 0,493 est appelée partie décimale. Un nombre est la somme de sa partie entière et de sa partie décimale : 52,493 = 52 + 0,493

Nombres et écritures décimales

Les nombres décimaux

Rangs des nombres décimaux

Définition : Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire à l'aide d'une écriture décimale (somme de la partie entière et de la partie décimale). Exemple : 52,493 est un nombre décimal. 52 est appelée partie entière et 0,493 est appelée partie décimale. Un nombre est la somme de sa partie entière et de sa partie décimale : 52,493 = 52 + 0,493

Nombres et écritures décimales

Les nombres décimaux

Rangs des nombres décimaux

En écriture décimale, le rang d'un chiffre d'un nombre est la position qu'il occupe par rapport à la virgule. Exemple : plaçons 4 152,37 dans le tableau ci-dessous. Dans 4 152,37 : • le chiffre des unités est 2 mais le nombre d'unités est 4 152 ; • le chiffre des unités de mille est 4 et le nombre d'unités de mille est 4 ; • le chiffre des centièmes est 7 mais le nombre de centièmes est 415 237.

Nombres et écritures décimales

Les nombres décimaux

Zéros utiles ou inutiles

On ne change pas un nombre décimal si on ajoute ou si on enlève des zéros à gauche de la partie entière ou à droite de la partie décimale. Exemples : 00308,0490 = 308,049 009080700,00605004000 = 9 080 700,006 050 04

Nombres et écritures décimales

Introduction à la géométrie

Points, droites,demi-droites, segments

Distance et milieu d'un segment

A toi de jouer

Introduction à la géométrie

Points, droites,demi-droites, segments

Deux points distincts (c'est à dire qui ne sont pas confondus ) H et G Un point est un objet géométrique, il est représenté par une croix. Attention : Sur une figure, deux points distincts ne peuvent pas avoir le même nom.

Objet Tracé Notation Définitions et remarques

Introduction à la géométrie

Points, droites,demi-droites, segments

Une droite (d) (AB) ou (BA) Une droite est un objet géométrique formé d'un ensemble infini de points. Une droite est illimitée. Par deux points distincts passe une et une seule droite.

Objet Tracé Notation Définitions et remarques

Introduction à la géométrie

Points, droites,demi-droites, segments

Une demi-droite [DE) ou (ED] Une demi-droite est une portion de droite limitée d'un seul côté par un point appelé origine. Attention : on utilise un crochet pour l'origine : [ ou ] et une parenthèse : ( ou ) pour le côté illimité.

Objet Tracé Notation Définitions et remarques

Introduction à la géométrie

Points, droites,demi-droites, segments

Un segment [FG] ou [GF] Un segment est une portion de droite limitée par deux points appelés extrémités.

Objet Tracé Notation Définitions et remarques

Introduction à la géométrie

Points, droites,demi-droites, segments

Notations : Le symbole ∈ signifie appartient à Le symbole ∉ signifie n'appartient pas à Définition : On dit que trois points (ou plus) sont alignés si ces points appartiennent à une même droite. Exemple : N ∈ (LM) donc L, M et N sont alignés. O ∉ (LM) donc L, M et O ne sont pas alignés.

Introduction à la géométrie

Distance et milieu d'un segment

Définition : La distance entre deux points est la longueur du plus court chemin entre ces deux points. C'est la longueur du segment qui joint ces deux points. Exemple : Si la distance entre les points F et G est 3 cm . On note FG = 3 cm

Introduction à la géométrie

Distance et milieu d'un segment

Définition : Le milieu d'un segment est le point de ce segment qui le partage en deux segments de même longueur. Exemple : M ∈ [KH] et KM = MH M est le milieu de [KH]

Introduction à la géométrie

Nombres décimaux

Repérage sur une demi-droite graduée

Comparer et ordonner des nombres décimaux

Encadrer et intercaler des nombres décimaux

A toi de jouer

Nombres décimaux

Repérage sur une demi-droite graduée

Propriété : Sur une demi-droite graduée, l'abscisse d'un point est la distance entre l'origine et ce point.

Nombres décimaux

Comparer et ordonner des nombres décimaux

Comparer

Ordonner

Nombres décimaux

Comparer et ordonner des nombres décimaux

Comparer

Vocabulaire : < se lit « … est inférieur à …» > se lit « …est supérieur à …» Pour comparer deux nombres en écriture décimale, (1) on compare d'abord leurs parties entières (2) si elles sont égales, on compare les chiffres des dixièmes (3) s'ils sont égaux, on compare les chiffres des centièmes (4) ….

Nombres décimaux

Comparer et ordonner des nombres décimaux

Comparer

Exemple :Comparons 6,49 et 7,1. (1) 6 < 7 donc 6,49 < 7,1 Comparons 9,05 et 9,008 7. (1) ces deux nombres ont la même partie entière : 9 (2) ces deux nombres ont le même chiffre des dixièmes : 0 (3) mais 5 > 0 donc 9,05 > 9,008 7

Nombres décimaux

Comparer et ordonner des nombres décimaux

Ordonner

Définition : Ranger des nombres • dans l'ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand • dans l'ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit Exemple : Rangeons dans l'ordre croissant : 1,2 ; 12,1 ; 1,12 ; 1,02 1,02 < 1,12 < 1,2 < 12,1

Nombres décimaux

Comparer et ordonner des nombres décimaux

Ordonner

Définition : Ranger des nombres • dans l'ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand • dans l'ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit Exemple : Rangeons dans l'ordre décroissant : 0,032 ; 0,101 ; 0,009 ; 0,0299 ; 0,11 0,11 > 0,101 > 0,032 > 0,0299 > 0,009

Nombres décimaux

Encadrer et intercaler des nombres décimaux

Encadrer

Intercaler

Nombres décimaux

Encadrer et intercaler des nombres décimaux

Encadrer

Définition : Encadrer un nombre signifie donner deux valeurs : l'une inférieure à ce nombre et l'autre supérieure. Exemples : Encadrer le nombre 33,486 à l’unité, au dixième puis au centième.

Nombres décimaux

Encadrer et intercaler des nombres décimaux

Encadrer

Définition : Encadrer un nombre signifie donner deux valeurs : l'une inférieure à ce nombre et l'autre supérieure. Exemples : Encadrer le nombre 33,486 à l’unité, au dixième puis au centième.

Nombres décimaux

Encadrer et intercaler des nombres décimaux

Encadrer

Définition : Encadrer un nombre signifie donner deux valeurs : l'une inférieure à ce nombre et l'autre supérieure. Exemples : Encadrer le nombre 33,486 à l’unité, au dixième puis au centième.

Nombres décimaux

Encadrer et intercaler des nombres décimaux

Intercaler

Définition : Intercaler un nombre entre deux autres nombres a et b signifie trouver un nombre compris entre a et b. Exemples : Intercaler un nombre décimal entre 5,45 et 5,46. On ajoute des « zéros inutiles » : 5,450 et 5,460. On peut par exemple intercaler 456 entre 450 et 460. On peut donc intercaler 5,456 entre 5,450 et 5,460. Et ainsi : 5,450 < 5,456 < 5,460. Soit : 5,45 < 5,456 < 5,46

Nombres décimaux

Le cercle

Définition

Diamètre et rayon

A toi de jouer

Le cercle

Définition

Points sur un cercle

Cercle et disque

Le cercle

Définition

Points sur un cercle

Définitions : Un cercle (C) est l'ensemble des points situés à une même distance d'un point appelé centre du cercle. Cette distance est appelée le rayon du cercle. Propriété : Tous les points situés à une même distance d'un point O appartiennent à un même cercle de centre O.

Le cercle

Définition

Cercle et disque

Ne pas confondre : CERCLE et DISQUE Le disque est formé de tous les points qui sont sur le cercle et à l’intérieur du cercle. Propriété : Tous les points situés à une même distance ou moins d'un point O appartiennent à un même disque de centre O.

Le cercle

Définition

Cercle et disque

Exemple : Le point A appartient au disque de centre O et de rayon [OB]. Le point B appartient au cercle et au disque de centre O et de rayon [OB]. Le point D n'appartient ni au cercle, ni au disque.

Le cercle

Diamètre et rayon

Vocabulaire du cercle

Propriétés

Le cercle

Diamètre et rayon

Vocabulaire du cercle

Définitions : Un rayon est un segment ayant pour extrémités un point du cercle et le centre de ce cercle. Une corde est un segment dont les extrémités sont deux points du cercle. Un diamètre est une corde passant par le centre du cercle.

Le cercle

Diamètre et rayon

Propriétés

Propriétés :Le diamètre mesure le double du rayon. Le milieu d’un diamètre est le centre du cercle. Exemple : Construire le cercle de centre O et de diamètre 6 cm. Le diamètre mesure le double du rayon, donc le rayon mesure la moitié du diamètre. On a donc : Rayon = 6 : 2 = 3 cm. Il s’agit donc de construire un cercle de centre O et de rayon 3 cm.

Le cercle

Diamètre et rayon

Propriétés

On place un point O. L’écartement du compas correspond au rayon du cercle soit 3 cm. On place la pointe du compas en O puis on trace le cercle.

Le cercle

Proportionnalité

Coefficient de proportionnalité

A toi de jouer

Proportionnalité

Coefficient de proportionnalité

Exemple : Remi se remet à la course à pied et il court toujours à la même vitesse. Ses performances sont résumées dans le tableau. Quand sa distance est multipliée par 2, son temps est multiplié par 2. Quand sa distance est multipliée par 3, son temps est multiplié par 3. Donc la distance parcourue est proportionnelle au temps. Ce tableau s’appelle un tableau de proportionnalité.

Proportionnalité

Coefficient de proportionnalité

Exemple : On constate qu’on obtient les nombres de la deuxième ligne en multipliant les nombres de la première ligne par 10. Le nombre 10 s’appelle le coefficient de proportionnalité. Propriété : Dans un tableau de proportionnalité, les nombres de la 2e ligne sont obtenus en multipliant les nombres de la 1re ligne par un même nombre, le coefficient de proportionnalité.

Proportionnalité

Coefficient de proportionnalité

Méthode : Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? a) On constate qu’on obtient les nombres de la deuxième ligne en multipliant les nombres de la première ligne par 5. Il s’agit d’un tableau de proportionnalité. 5 est le coefficient de proportionnalité.

Proportionnalité

Coefficient de proportionnalité

Méthode : Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? b) Ici, on ne reconnaît pas facilement le coefficient de proportionnalité. Pour le calculer, on divise les nombres de la deuxième ligne par les nombres de la première ligne. 3 : 2 = 1,5 6 : 4 = 1,5 21 : 14 = 1,5 On obtient les nombres de la deuxième ligne en multipliant les nombres de la première ligne par 1,5. Il s’agit d’un tableau de proportionnalité. 1,5 est le coefficient de proportionnalité.

Proportionnalité

Coefficient de proportionnalité

Méthode : Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de proportionnalité ? c) 4,8 ∶ 3 = 1,6 6,4 ∶ 4 = 1,6 8,2 ∶ 5 = 1,64 ≠ 1,6 Il n’existe pas de coefficient de proportionnalité, il ne s’agit pas d’un tableau de proportionnalité.

Proportionnalité

Les angles

Définition et notation

Nature des angles

A toi de jouer

Les angles

Définition et notation

Définition : Un angle est une surface délimitée par deux demi-droites de même origine . • Ces demi-droites sont les côtés de l'angle. • Leur origine est le sommet de l'angle. Exemple : Ici, le sommet de l’angle est le point B. Ses côtés sont les demi-droites [BA) et [BC). Cet angle se note : Le sommet de l’angle s’écrit au milieu. Remarque : Cet angle peut également se noter :

Les angles

Nature des angles

Les angles

Droites perpendiculaires et parallèles

Positions de deux droites

Construction

Distance d’un point à une droite

A toi de jouer

Droites perpendiculaires et parallèles

Positions de deux droites

Définition : Deux droites sécantes sont deux droites qui ont un seul point commun. Définition : Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes en formant quatre angles égaux. Ces angles sont des angles droits. Définition : Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes.

Droites perpendiculaires et parallèles

Positions de deux droites

Droites perpendiculaires et parallèles

Construction

Construction d’une droite perpendiculaire à une droite déjà dessinée : Construction d’une droite parallèle à une droite déjà dessinée :

Droites perpendiculaires et parallèles

Distance d’un point à une droite

Définition : La distance d'un point à une droite est la longueur du plus court chemin entre ce point et la droite. Propriété : La distance d'un point A à une droite (d) est la longueur du segment qui est perpendiculaire à la droite (d) passant par A.

Droites perpendiculaires et parallèles

Les quatres opérations

Addition

Soustraction

Multiplication

Division

Enchaînements d'opérations

A toi de jouer

Les quatres opérations

Addition

1. Vocabulaire

2. Propriétés

Les quatres opérations

Addition

1. Vocabulaire

L'addition est l'opération qui permet de calculer la somme de deux nombres. Ces nombres sont appelés les termes de la somme. Exemple : Calculons la somme 78,4 + 191,23.

Les quatres opérations

Addition

2. Propriétés

Propriété : Une somme ne change pas si l'on modifie l'ordre des termes. Exemple : 4 + 3 = 3 + 4 Propriété : Une somme ne change pas si l'on regroupe différemment les termes. Remarque : Pour regrouper des termes, on peut utiliser des parenthèses. Exemple : calculons le plus simplement possible la somme A.

Les quatres opérations

Addition

2. Propriétés

Exemple : calculons le plus simplement possible la somme A.

Les quatres opérations

Soustraction

La soustraction est l'opération qui permet de calculer la différence de deux nombres. Ces nombres sont appelés les termes de la différence. Exemple : Calculons la différence 11 – 7,6.

Les quatres opérations

Multiplication

1. Vocabulaire

2. Propriétés

Les quatres opérations

Multiplication

1. Vocabulaire

La multiplication est l'opération qui permet de calculer le produit de deux nombres. Ces nombres sont appelés les facteurs du produit. Exemple : Exemple : Calculons le produit de 5 par 42.

Les quatres opérations

Multiplication

2. Propriétés

Remarques : Le double d'un nombre est le produit de ce nombre par 2. Le triple d'un nombre est le produit de ce nombre par 3. Propriété : Un produit ne change pas si l'on modifie l'ordre des facteurs. Exemples : en calcul mental : 8 × 6 = 6 × 8 = 48 (On apprend la table de 6 avant celle de 8 !)

Les quatres opérations

Division

Définition : La division euclidienne d'un nombre entier (le dividende) par un nombre entier (le diviseur) différent de 0 est l'opération qui permet de trouver deux nombres entiers appelés quotient et reste tels que : dividende = (quotient × diviseur) + reste avec reste < diviseur. Exemple : Effectuons la division euclidienne de 498 par 17.

Les quatres opérations

Enchaînements d'opérations

1. Calcul d'une expression sans parenthèses Propriété : Dans une expression sans parenthèses, la multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction. Exemples : A = 2,5 × 4 + 1 = 10 + 1 = 11 B = 42 – 2 × 5 = 42 – 10 = 32

Les quatres opérations

Enchaînements d'opérations

2. Calcul d'une expression avec parenthèses Propriété : Dans une expression avec parenthèses, on commence par effectuer les calculs entre parenthèses. Exemples : C = 14 – (2,5 + 3,5) = 14 - 6 =8 D = (12 + 8) × 5 = 20 × 5 =100 E = 12 + 8 × 5 = 12 + 40 = 52

Les quatres opérations

Les polygones usuels

Les polygones

Triangles

Quadrilatères

Les polygones usuels

Polygones

Définitions : Un polygone est une figure fermée composée uniquement de segments. Les segments sont les côtés du polygone. Les extrémités des segments sont les sommets du polygone. Définitions : Deux sommets ou deux côtés qui se suivent sont dits consécutifs. Deux sommets ou côtés qui ne se suivent pas sont dits opposés. Un segment qui rejoint deux sommets opposés est appelé diagonale.

Les polygones usuels

Polygones

Remarque : Le nom d'un polygone est donné par ses sommets. On part d'un sommet et on fait le tour du polygone, dans un sens ou dans l'autre. On peut donc nommer ce polygone de différentes façons : ABCDE BCDEA AEDCB BAEDC CDEAB CBAED DEABC DCBAE EABCD EDCBA

Les polygones usuels

Triangles

Généralités

Triangles isocèles

Triangles équilatéraux

Triangles rectangles

A toi de jouer

Les polygones usuels

Les triangles

Généralités

Définition : Un polygone possédant trois côtés s’appelle un triangle.

Méthode : Construire en vraie grandeur le triangle ABC. Rappel : Lorsque la construction est donnée par un texte, on commence par réaliser une figure à main levée en y codant les informations et en y marquant les mesures.

Les polygones usuels

Les triangles

Généralités

Programme de construction : 1 : Tracer un segment [BC] de longueur 6 cm. 2 : Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 3,5 cm. 3 : Tracer un arc de cercle de centre C et de rayon 5 cm. 4 : Le point A se trouve à l’intersection des deux arcs. 5 : Tracer les segments [AB] et [AC].

Les polygones usuels

Les triangles

Triangles isocèles

Définition : Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Exemple : On dit que ABC est isocèle en A. A est appelé le sommet principal du triangle isocèle. [BC] est appelée la base du triangle isocèle. Propriété : Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.

Les polygones usuels

Les triangles

Triangles isocèles

Méthode : Construire le triangle ABC isocèle en A, tel que : AC = 4 cm et BC = 6 cm.

Programme de construction : 1 : Tracer un segment [BC] de longueur 6 cm. 2 : Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 4 cm. 3 : Tracer un arc de cercle de centre C et de rayon 4 cm. 4 : Le point A se trouve à l’intersection des deux arcs. 5 : Tracer les segments [AB] et [AC].

Les polygones usuels

Les triangles

Triangles équilatéraux

Définition : Un triangle équilatéral a trois côtés de même longueur. Propriété : Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure : 60°.

Les polygones usuels

Les triangles

Triangles équilatéraux

Méthode : Construire le triangle équilatéral DEF tel que EF = 5 cm. Programme de construction : 1 : Tracer un segment [EF] de longueur 5 cm. 2 : Tracer un arc de cercle de centre E et de rayon 5 cm. 3 : Tracer un arc de cercle de centre F et de rayon 5 cm. 4 : Le point D se trouve à l’intersection des deux arcs. 5 : Tracer les segments [ED] et [FD].

Les polygones usuels

Les triangles

Triangles rectangles

Définition : Un triangle rectangle a deux côtés perpendiculaires. Exemple : On dit que le triangle ABC est rectangle en A. Le coté [BC] est appelé l’hypoténuse du triangle rectangle.

Les polygones usuels

Les triangles

Triangles rectangles

Méthodes : Construire le triangle ABC rectangle en A tel que : AB = 5 cm et AC = 3 cm. Programme de construction : 1 : Tracer un segment [AB] de longueur 5 cm. 2 : Tracer la perpendiculaire à [AB] passant par A. Le point C se trouve sur cette perpendiculaire et à 3 cm de A. 3 : Tracer le segment [BC].

Les polygones usuels

Les triangles

Triangles rectangles

Méthodes : Construire le triangle LAG rectangle en A tel que : LA = 3,5 cm et LG = 6 cm.

Programme de construction : 1 : Tracer un segment [AL] de longueur 3,5 cm. 2 : Tracer la perpendiculaire à [AL] passant par A. 3 : Tracer un arc de cercle de centre L et de rayon 6 cm. 4 : L’arc de cercle coupe la perpendiculaire en G. 5 : Tracer le segment [LG].

Les polygones usuels

Quadrilatères

Définition : Un polygone possédant quatre côtés s’appelle un quadrilatère.

Losange

Rectangle

Carré

A toi de jouer

Les polygones usuels

Quadrilatères

Losange

Définition : Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de la même longueur.

Propriété : Si un quadrilatère est un losange alors - ses côtés opposés sont parallèles. - ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Les polygones usuels

Quadrilatères

Losange

Méthode : Construire le losange LOSA tel que : LS = 3 cm et OA = 5 cm. Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu. On le code sur la figure à main levée.

Programme de construction : 1 : Tracer un segment [LS] de longueur 3 cm. 2 : Placer I le milieu de [LS]. Tracer la droite perpendiculaire à [LS] passant par I. 3 : Placer sur cette droite les points O et A à 2,5 cm de I. 4 : Tracer les segments [LO], [OS], [SA] et [AL].

Les polygones usuels

Quadrilatères

Rectangle

Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Propriété : Si un quadrilatère est un rectangle alors - ses côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur. - ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu.

Les polygones usuels

Quadrilatères

Rectangle

Méthode : Construire le rectangle RECT tel que : RE = 5 cm et RT = 3 cm.

Programme de construction : 1 : Tracer un segment [RE] de longueur 5 cm. 2 : Tracer la perpendiculaire à [RE] passant par R. Placer le point T sur cette perpendiculaire à 3 cm de R. 3 : Tracer la perpendiculaire à [TR] passant par T. 4 : Tracer la perpendiculaire à [RE] passant par E. 5 : Les deux dernières perpendiculaires tracées se coupent en C.

Les polygones usuels

Quadrilatères

Rectangle

Méthode : Construire le rectangle RECT tel que : RE = 6 cm et TE = 8 cm.

Programme de construction : Programme de construction : 1 : Tracer un segment [RE] de longueur 6 cm. 2 : Tracer la perpendiculaire à [RE] passant par R. 3 : Tracer un arc de cercle de centre E et de rayon 8 cm. 4 : L’arc de cercle coupe la perpendiculaire en T. 5 : Finir de construire le rectangle comme dans la méthode précédente.

Les polygones usuels

Quadrilatères

Carré

Définition : Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de la même longueur.

Par conséquent, un carré est toujours un losange et un rectangle. Il possède donc toutes les propriétés du losange et du rectangle :

Propriété : Si un quadrilatère est un carré alors - ses côtés opposés sont parallèles. - ses diagonales sont perpendiculaires, ont la même longueur et se coupent en leur milieu.

Les polygones usuels

Quadrilatères

Carré

Méthode : Construire le carré ABCD tel que AB = 5 cm. Dans un carré, les côtés consécutifs sont perpendiculaires et ont la même longueur. On le code sur la figure à main levée.

La construction est semblable au rectangle (voir méthode précédente).

Les polygones usuels

Triangles

Les polygones usuels

Quadrilatères

Périmètres de polygones

Unités de longueur

Périmètre d’une figure

A toi de jouer

Périmètres de polygones

Unités de longueur

Exemple : La salle de classe mesure environ 9 m de long. Définition : La longueur est la mesure d’une distance. Son unité est le mètre, notée m. Les unités de longueur

Périmètres de polygones

Périmètre d’une figure

Définition : Le périmètre d'une figure est la longueur que l’on parcourt lorsqu’on fait le tour de la figure.

Exemples : Le périmètre de la figure noire est 16 unités de longueur.

Périmètres de polygones

Périmètre d’une figure

Exemples : Sur une demi-droite, on reporte successivement à l’aide du compas les longueurs des quatre côtés du quadrilatère. On mesure ensuite la distance entre l’origine de la demi-droite et le dernier arc de cercle tracé.

Périmètres de polygones

Périmètre d’une figure

Exemples :Périmètre = AB + BC + CD + DE + EF + AF = 2,5 + 2,5 + 1 + 1,5 + 1,5 + 4 = 13 cm.

Périmètres de polygones

Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, ...

Multiplier par 10, 100, 1 000

Diviser par 10, 100, 1 000

Conversions

A toi de jouer

Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, ...

Multiplier par 10, 100, 1 000

Multiplier un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 ; etc revient à donner à chacun de ses chiffres une valeur 10 fois, 100 fois, 1 000 fois plus grande. Exemples : 32 × 1 000 = 32 000 12 × 500 = 12 × 5 × 100 = 60 × 100 = 6 000 6,3 × 100 = 630 21,21 × 10 = 212,1

Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, ...

Multiplier par 10, 100, 1 000

Propriété : Un produit ne change pas si l'on regroupe différemment les facteurs.

Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, ...

Diviser par 10, 100, 1 000

Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 ; etc revient à donner à chacun de ses chiffres une valeur 10 fois, 100 fois, 1 000 fois plus petite. Exemples : 21,5 : 10 = 2,15 6,3 : 100 = 0,063 2 121 : 1 000 = 2,121

Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, ...

Conversions

Longueurs

Masse

Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, ...

Conversions

Longueurs

Par exemple : 1 dam = 1 000 cm (le dam est 1 000 fois plus grand que le cm) 1 mm = 0,01 dm (le mm est 100 fois plus petit que le dm)

Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, ...

Conversions

Longueurs

Méthode :

Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, ...

Conversions

Masse

Définition : La mesure d'une quantité de matière s'appelle sa masse. L'unité légale de masse est le kilogramme (kg). On utilise aussi le gramme (g).

Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, ...

Conversions

Longueurs

Méthode : Remarque : On a 1 quintal (q) = 100 kg et 1 tonne (t) = 1 000 kg.

Multiplier et diviser par 10, 100, 1 000, ...

Aires de polygones

Comparaison périmètre – aire

Unités d'aires

Formules d'aires

A toi de jouer

Aires de polygones

Comparaison périmètre – aire

Définitions : La surface d’une figure est la partie qui se trouve à l’intérieur de la figure. L'aire d'une surface est la place occupée par cette surface. Le périmètre d'une surface est la longueur de la ligne qui délimite cette surface.

Aires de polygones

Comparaison périmètre – aire

Exemples :

Aires de polygones

Unités d’aire

Exemples et définition

Conversions

Aires de polygones

Unités d’aire

Exemples et définition

Pour mesurer une aire, on utilise une « surface – unité ». C'est l'unité de mesure d'aire (u.a).

Aire de la figure 1 : 𝐴𝑖𝑟𝑒 = 8 carreaux = 8 u.a

Aires de polygones

Unités d’aire

Exemples et définition

Pour mesurer une aire, on utilise une « surface – unité ». C'est l'unité de mesure d'aire (u.a).

Aire de la figure 2 : 𝐴𝑖𝑟𝑒 = 2 ×𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑎𝑢 = 1 u.a

Aires de polygones

Unités d’aire

Exemples et définition

Pour mesurer une aire, on utilise une « surface – unité ». C'est l'unité de mesure d'aire (u.a).

Aire de la figure 3 : 𝐴𝑖𝑟𝑒 = (4 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑎𝑢𝑥) + (4 ×𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑎𝑢) = 6 u.a

Aires de polygones

Unités d’aire

Exemples et définition

Pour mesurer une aire, on utilise une « surface – unité ». C'est l'unité de mesure d'aire (u.a).

Aire de la figure 4 : On complète le triangle en un rectangle. L’aire de la figure 4 mesure la moitié de l’aire du rectangle. 𝐴𝑖𝑟𝑒 = Aire du rectangle : 2 = 6 × 3 : 2 = 9 u.a

Aires de polygones

Unités d’aire

Exemples et définition

Pour mesurer une aire, on utilise une « surface – unité ». C'est l'unité de mesure d'aire (u.a).

Aire de la figure 1 : La figure est composée de 3 carreaux et 3 triangles. Dans un carreau, on compte deux triangles, soit : 𝐴𝑖𝑟𝑒 = 9 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 = 9 u.a

Aires de polygones

Unités d’aire

Exemples et définition

Pour mesurer une aire, on utilise une « surface – unité ». C'est l'unité de mesure d'aire (u.a).

Aire de la figure 2 : Dans un carreau, on compte deux triangles. La figure est composée de 6 carreaux donc il suffit de multiplier le nombre de carreaux par 2 : 𝐴𝑖𝑟𝑒 = 2 × 6 = 12 u.a

Aires de polygones

Unités d’aire

Exemples et définition

Pour mesurer une aire, on utilise une « surface – unité ». C'est l'unité de mesure d'aire (u.a).

Aire de la figure 3 : 𝐴𝑖𝑟𝑒 = 2 × 9 = 18 u.a

Aires de polygones

Unités d’aire

Exemples et définition

La surface du carré peut être représentée par un nombre. Ce nombre s’appelle l’aire du carré. L’aire du carré ci-dessus (de côté de longueur 1 cm) est égale à 1 cm² (se lit « centimètre carré »). → 1 cm² est donc l’aire d’un carré de 1 cm de côté ! Le rectangle suivant est composé de deux carrés de 1 cm de côté. Son aire est égale à 2 cm². Ainsi, l’aire de la figure suivante est égale à 5,5 cm².

Aires de polygones

Unités d’aire

Exemples et définition

Le rectangle suivant est composé de deux carrés de 1 cm de côté. Son aire est égale à 2 cm². Ainsi, l’aire de la figure suivante est égale à 5,5 cm².

Aires de polygones

Unités d’aire

Conversions

Un carré de 1 m de côté a une aire de 1 m².Un carré de 1 dm de côté a une aire de 1 dm². Dans un carré de 1 m de côté, on peut construire 100 carrés de 1 dm de côté. Donc : 1 m² = 100 dm²

Aires de polygones

Unités d’aire

Conversions

Il existe des mesures spécifiques pour mesurer des terrains : 1 hectare (ha) = 1 hm² 1 are (a) = 1 dam²

Aires de polygones

Formules d'aires

Aires de polygones

Formules d'aires

Aires de polygones

Formules d'aires

Exemple : Calculer l’aire des figures suivantes : Aire du rectangle = Longueur × Largeur = 5 × 2,5 = 12,5 cm² Aire du carré = Côté × Côté = 4 × 4 = 16 cm²

Aires de polygones

Distributivité

Formule

Développer

Factoriser

A toi de jouer

Distributivité

Formule

Si on effectue les deux expressions numériques suivantes en respectant les priorités opératoires. Que constate-t-on ? On remarque que ces deux expressions numériques sont égales. Cela pourrait être un cas particulier, mais cette égalité est vraie car elle utilise une propriété mathématique vraie pour tous les nombres.

Distributivité

Formule

Tu étudieras cette propriété (appelée distributivité) en cinquième. Elle est vraie aussi, si à la place d’une somme on a une différence : Dans ces exemples, il est plus facile de calculer la deuxième expression.

Distributivité

Développer

On va utiliser cette propriété. Dans ce sens, on dira qu’on développe l’expression numérique.

Distributivité

Factoriser

On va utiliser la même propriété, mais on va lire l’égalité « dans l’autre sens ». On dira qu’on factorise l’expression numérique. Méthode : 1) tu retrouves le facteur commun et tu l’entoures. 2) tu le multiplies par la somme des (ou la différence entre les) deux autres facteurs.

Distributivité

Factoriser

Méthode : 1) tu retrouves le facteur commun et tu l’entoures. 2) tu le multiplies par la somme des (ou la différence entre les) deux autres facteurs.

Distributivité

Factoriser

Méthode : 1) tu retrouves le facteur commun et tu l’entoures. 2) tu le multiplies par la somme des (ou la différence entre les) deux autres facteurs.

Distributivité

Factoriser

Méthode : 1) tu retrouves le facteur commun et tu l’entoures. 2) tu le multiplies par la somme des (ou la différence entre les) deux autres facteurs.

Distributivité

Factoriser

Méthode : 1) tu retrouves le facteur commun et tu l’entoures. 2) tu le multiplies par la somme des (ou la différence entre les) deux autres facteurs.

Distributivité

Durées

Définition : La mesure du temps entre deux instants s'appelle sa durée. Une unité de durée souvent utilisée est la seconde (s).

Conversions

Additionner des durées

Calculer une durée

A toi de jouer

Durées

Conversions

1 semaine = 7 jours 1 mois = 28 ou 29 ou 30 ou 31 jours 1 an = 365,25 jours 1 siècle = 100 ans 1 millénaire = 1 000 ans = 10 siècles

Durées

Conversions

Méthode :a) Convertir 20 543 s en h-min-s. On commence par calculer combien il y a de minutes dans 20 543 s. Pour cela, il faut poser la division euclidienne 20 543 : 60. Dans 20 543 s, on a 342 min et il reste 23 s, donc : 20 543 s = 342 min + 23 s

Durées

Conversions

Méthode :a) Convertir 20 543 s en h-min-s. On calcule ensuite combien il y a d’heures dans 342 min. Pour cela, il faut poser la division euclidienne 342 : 60. Dans 342 min, on a 5 h et il reste 42 min, donc : 342 min = 5 h + 42 min Finalement : 20 543 s = 5 h + 42 min + 23 s

Durées

Conversions

Méthode :Convertir 25 min en s. Dans 1 min, il y a 60 s donc : 25 min = 25 × 60 s = 1 500 s

Durées

Additionner des durées

Un match de football a débuté à 16 h 27 min et a duré 1 h 45 min.A quelle heure le match s’est-il terminé ? Pour répondre à ce problème il faut calculer 16 h 27 min + 1 h 45 min. Pour cela on peut poser l’opération :

On aligne les heures puis les minutes. On calcul séparément les heures puis les minutes.

72 min = 1 h 12 minDonc 17 h 72 min = 18 h 12 min

Durées

Calculer une durée

Un train part de Paris à 17 h 27 min et arrive à Marseille à 22 h 12 min. Quelle est la durée du trajet ? Méthode 1 : La technique du « Z »

33 min + 4h + 12 min = 4 h 45 min Le trajet a duré 4h 45 min.

Durées

Calculer une durée

Un train part de Paris à 17 h 27 min et arrive à Marseille à 22 h 12 min. Quelle est la durée du trajet ? Méthode 2 : je pose la soustraction

12 est plus petit que 27, il faut donc ajouter 60 min et par conséquent retirer 1h : Le trajet a duré 4 h 45 min.

Durées

Symétrie Axiale

Définition et vocabulaire

Construction de l’image d'un point

Construction de l’image d'une figure

Propriétés de la symétrie axiale

Axe de symétrie d'une figure

A toi de jouer

Symétrie Axiale

Définition et vocabulaire

Définitions : Dire que deux figures sont symétriques par rapport à une droite signifie que ces deux figures se superposent par pliage le long de cette droite. Cette droite est l'axe de la symétrie

Symétrie Axiale

Définition et vocabulaire

Exemple : Sur la figure, les points A et F sont symétriques l’un de l’autre par la symétrie d’axe (d).

Symétrie Axiale

Définition et vocabulaire

Exemple : On dit que : Le point F est l’image du point A par la symétrie d’axe (d). On dit aussi que le point F est le symétrique du point A par rapport à la droite (d).

Symétrie Axiale

Définition et vocabulaire

Exemple : Dans ce cas, on a : - [AF] est perpendiculaire à (d), - A et F sont à égale distance de (d). Remarque : Si le point M se trouve sur la droite (d), alors M et M’ sont confondus.

Symétrie Axiale

IConstruction de l’image d'un point

Méthode : Construire l’image A’ du point A par la symétrie d’axe (d).

Symétrie Axiale

II. Construction de l’image d'un point

Méthode : 1 : Tracer la perpendiculaire à (d) passant par A. Elle coupe (d) en I. 2 : Reporter sur cette perpendiculaire la longueur AI de l’autre côté de la droite (d). 3 : On obtient le point A’ symétrique de A par rapport à la droite

Symétrie Axiale

Construction de l’image d'une figure

Image d’un polygone

Image d’une droite

Image d’un cercle

Symétrie Axiale

Construction de l’image d'une figure

Image d’un polygone

Méthode : Construire l’image A’B’C’ du triangle ABC par la symétrie d’axe (d).

Symétrie Axiale

Construction de l’image d'une figure

Image d’un polygone

Méthode : Construire l’image A’B’C’ du triangle ABC par la symétrie d’axe (d). On commence par construire l’image A’ du point A.

Symétrie Axiale

Construction de l’image d'une figure

Image d’un polygone

Méthode : Construire l’image A’B’C’ du triangle ABC par la symétrie d’axe (d). On construit ensuite les images B’ et C’ des points B et C.

Symétrie Axiale

Construction de l’image d'une figure

Image d’un polygone

Méthode : Construire l’image A’B’C’ du triangle ABC par la symétrie d’axe (d). Puis on relie les points A’, B’ et C’.

Symétrie Axiale

Construction de l’image d'une figure

Image d’une droite

Méthode : Construire l’image (d2) de la droite (d1) par la symétrie d’axe (d).

Symétrie Axiale

Construction de l’image d'une figure

Image d’une droite

Méthode : Construire l’image (d2) de la droite (d1) par la symétrie d’axe (d). On commence par placer deux points A et B sur la droite (d1) puis on construit les images A’ et B’ de ces points par rapport à (d).

Symétrie Axiale

Construction de l’image d'une figure

Image d’une droite

Méthode : Construire l’image (d2) de la droite (d1) par la symétrie d’axe (d). La droite (d2) image de la droite (d1) passe par les points A’ et B’. Conseil : Éloigner suffisamment A et B sur (d1) permet une plus grande précision pour tracer ensuite (d2).

Symétrie Axiale

Construction de l’image d'une figure

Image d’un cercle

Méthode : Construire l’image (C’) du cercle (C) de centre O par la symétrie d’axe (d).

Symétrie Axiale

Construction de l’image d'une figure

Image d’un cercle

Méthode : Construire l’image (C’) du cercle (C) de centre O par la symétrie d’axe (d). On commence par construire l’image O’ du centre O du cercle (C). Le cercle (C’) a pour centre le point O’ et a le même rayon que le cercle (C).

Symétrie Axiale

Propriétés de la symétrie axiale

Propriétés : La symétrie axiale conserve : l’alignement, les longueurs, les mesures d'angles et les aires. Exemple : Les points A’, B’, C’ et P’ sont les images respectives des points A, B, C et P par la symétrie d’axe (d).

Symétrie Axiale

Propriétés de la symétrie axiale

Exemple : On observe par exemple que : - A, P, C sont alignés et A’, P’, C’ sont également alignés. - AB = A’B’ - Les angles CAB et C'A'B' ont la même mesure - Aire(ABC) = Aire(A'B'C')

Symétrie Axiale

Axe de symétrie d'une figure

Définition : Dire qu'une droite est un axe de symétrie d'une figure signifie que cette figure est sa propre symétrique par rapport à cette droite. Exemples : 1 axe de 2 axes de aucun axe symétrie symétrie de symétrie

Symétrie Axiale

Axe de symétrie d'une figure

Méthode : Compléter la figure telle que la droite (d) soit un axe de symétrie.

Symétrie Axiale

Axe de symétrie d'une figure

Méthode : Compléter la figure telle que la droite (d) soit un axe de symétrie.

Symétrie Axiale

Fractions

Partage et fraction

Somme de deux fractions de même dénominateur

A toi de jouer

Fractions

Partage et fraction

Partage

Fraction et demi-droite graduée

Fractions

Partage et fraction

Partage

Définitions : Soit a et b des nombres entiers avec b non nul. Le quotient est appelé une fraction. a s'appelle le numérateur et b le dénominateur.

Fractions

Partage et fraction

Partage

Exemple 1 : La bande ci-dessous est partagée en cinq morceaux égaux. Chaque morceau représente un cinquième de cette bande, soit . Deux morceaux ont été hachurés. La partie hachurée représente les deux cinquièmes de la bande, soit .

Fractions

Partage et fraction

Partage

Exemple 2 : Chaque disque est partagé en 4 parts égales. 5 parts sont hachurées. La partie hachurée représente d'un disque. On remarque que :

Fractions

Partage et fraction

Partage

La partie hachurée de la figure ci-contre ne correspond pas au du disque car les 4 parts ne sont pas égales

Fractions

Partage et fraction

Fraction et demi-droite graduée

Exemple : Sur la demi-droite graduée ci-dessous, l’unité (la baguette de pain) est partagée en 5 parts égales. En coupant au niveau du point M, on coupera les de la baguette. Mathématiquement, on dit que le point M a pour abscisse et on écrit M( ) .

Fractions

Fraction et demi-droite graduée

Exemple : Sur la demi-droite graduée ci-dessous, l’unité (la baguette de pain) est partagée en 5 parts égales. Si on veut couper les d’une baguette, il faut ajouter une deuxième baguette. On coupe alors au niveau du point N et on a : N( ) .

Fractions

Fraction et demi-droite graduée

Exemple : Sur la demi-droite graduée ci-dessous, l’unité (la baguette de pain) est partagée en 5 parts égales. On observe graphiquement que :

Fractions

Somme de deux fractions de même dénominateur

Propriété : Pour additionner ou soustraire deux fractions ayant le même dénominateur, il faut : - additionner ou soustraire les numérateurs ; - conserver le dénominateur commun. Soient a,b et k des nombres avec k différent de 0. On a :

Fractions

Somme de deux fractions de même dénominateur

Exemple:

+ =

Fractions

Angles et rapporteur

Mesure d'un angle

Construction

A toi de jouer

Angles et rapporteur

Mesure d'un angle

Pour mesurer un angle, on utilise un rapporteur. Il est gradué de 0 à 180 lorsqu'on utilise le degré (noté °) comme unité de mesure.

Angles et rapporteur

Mesure d'un angle

1 : On place le centre du rapporteur sur le sommet de l’angle.2 : Le « 0° » du rapporteur repose sur un côté de l’angle : la demi-droite [BC) 3 : Les flèches du rapporteur recouvrent l’angle. 4 : La mesure de l’angle se lit sur l’autre côté de l’angle : la demi-droite [BA) On lit sur le rapporteur 38. L’unité d’angle est le degré, qui se note °. On écrit : = 38°.

Angles et rapporteur

Mesure d'un angle

Angles et rapporteur

Construction

1 : On commence par tracer une demi-droite.2 : On place le centre du rapporteur sur l’origine de la demi-droite. Le « 0° » du rapporteur repose sur la demi-droite. On fait une petite marque au niveau de 32° du rapporteur. 3 : On relie la marque et le sommet de l’angle.

Angles et rapporteur

Fraction d'une quantité

Fraction et quotient

Fraction d'une quantité

A toi de jouer

Fraction d'une quantité

Fraction et quotient

Définition : Le quotient de deux nombres a par b, avec b non nul, est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Sous forme fractionnaire, le quotient de a par b s'écrit

Exemple : Par quel nombre faut-il multiplier 2 pour trouver 7? soit 2 x ? = 7 Le nombre cherché est le quotient de 7 par 2, soit . est le nombre qui multiplié par 2 donne 7 :

Fraction d'une quantité

Fraction et quotient

Exemples :- sont des fractions. - n’est pas une fraction car 2,1 n’est pas un nombre entier. - sont des fractions décimales.

Certaines fractions ne sont pas des nombres décimaux. Par exemple : Mais on peut toujours en donner une valeur approchée :

Fraction d'une quantité

Fraction et quotient

A l’inverse, il est toujours possible d’écrire un nombre décimal sous forme d’une fraction.Par exemple :

Fraction d'une quantité

Fraction d'une quantité

Propriété : Prendre une fraction d'une quantité, c'est multiplier cette fraction par cette quantité. Exemple 1 : Prendre de 20, c'est calculer : Pour ce calcul, il existe trois méthodes

Fraction d'une quantité

Fraction d'une quantité

Exemple 1 : 1ère méthode:

Fraction d'une quantité

Fraction d'une quantité

Exemple 1 : 2ème méthode:

Fraction d'une quantité

Fraction d'une quantité

Exemple 1 : 3ème méthode:

Fraction d'une quantité

Fraction d'une quantité

Exemple 2 : Calculons de 6 c'est à dire : 1ère méthode: Cela ne donne pas de valeur exacte

Fraction d'une quantité

Fraction d'une quantité

Exemple 2 : Calculons de 6 c'est à dire : 2ème méthode: Cela ne donne pas de valeur exacte

Fraction d'une quantité

Fraction d'une quantité

Exemple 2 : Calculons de 6 c'est à dire : 3ème méthode: Dans ce cas, seule la méthode commençant par la multiplication permet d'obtenir la valeur exacte du résultat.

Fraction d'une quantité

Fraction d'une quantité

Dans un village, un facteur doit distribuer 84 annuaires. Il en a distribué les le lundi et le reste le mardi. Combien d'annuaires a-t-il distribué le lundi ? Il en a distribué 35 le lundi.

Fraction d'une quantité

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Multiplication par 0,1 ou 0,5

Pourcentages et calcul mental

Appliquer un pourcentage

A toi de jouer

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Multiplication par 0,1 ou 0,5

Multiplier par 0,1 Cela revient à … Multiplier par Cela revient à … Diviser par 10 Exemple:

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Multiplication par 0,1 ou 0,5

Multiplier par 0,01 Cela revient à … Multiplier par Cela revient à … Diviser par 100 Exemple:

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Multiplication par 0,1 ou 0,5

Multiplier par 0,001 Cela revient à … Multiplier par Cela revient à … Diviser par 1000 Exemple:

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Multiplication par 0,1 ou 0,5

Multiplier par 0,5 Cela revient à … Multiplier par Cela revient à … Diviser par 2 Exemple:

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Pourcentages et calcul mental

Pourcentage 1% Cela revient à prendre … Le centième Ou à … Multiplier par Exemple:

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Pourcentages et calcul mental

Pourcentage 10% Cela revient à prendre … Le dixième Ou à … Multiplier par Exemple:

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Pourcentages et calcul mental

Pourcentage 25% Cela revient à prendre … Le quart Ou à … Multiplier par Exemple:

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Pourcentages et calcul mental

Pourcentage 50% Cela revient à prendre … La moitié Ou à … Multiplier par Exemple:

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Pourcentages et calcul mental

Pourcentage 75% Cela revient à prendre … Les trois quarts Ou à … Multiplier par Exemple:

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Pourcentages et calcul mental

Pourcentage 100% Cela revient à prendre … Le tout Ou à … Multiplier par 1

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Pourcentages et calcul mental

Pourcentage 200% Cela revient à prendre … Le double Ou à … Multiplier par 2 Exemple:

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Pourcentages et calcul mental

Pourcentage 300% Cela revient à prendre … Le triple Ou à … Multiplier par 3

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Appliquer un pourcentage

75 % des enfants aiment les maths cela signifie que : sur 100 enfants, il y en aurait 75 qui aiment les maths. Toutes les écritures suivantes sont égales :

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Appliquer un pourcentage

Exemples : Si 75 % des enfants aiment les mathématiques : sur un groupe de 28 enfants, combien d’entre eux devraient aimer les maths ? On cherche les 75 % de 28 élèves. Dans ce contexte, 21 enfants sur 28 devraient aimer les maths.

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Appliquer un pourcentage

Exemples : Sur un tee-shirt qui coûtait 26 €, le commerçant accorde une remise de 40 %. Calculer le nouveau prix. Calcul du nouveau prix : Ancien prix – Réduction = 26 – 10,40 = 15,60 €. Le prix après réduction est de 15,60 €.

Multiplier par 0,1 ou 0,5 Appliquer un taux de pourcentage

Parallélépipède rectangle

Se repérer

La perspective cavalière

Pavé droit

A toi de jouer

Parallélépipède rectangle

Se repérer

La vue d'un objet dépend de la position de l'observateur. Exemple : L'homme voit:

Parallélépipède rectangle

Se repérer

La vue d'un objet dépend de la position de l'observateur. Exemple : La femme voit:

Parallélépipède rectangle

Se repérer

La vue d'un objet dépend de la position de l'observateur. Exemple : Le chat voit:

Parallélépipède rectangle

Se repérer

La vue d'un objet dépend de la position de l'observateur. Exemple : Le chien voit:

Parallélépipède rectangle

La perspective cavalière

Définition : La perspective cavalière permet de représenter un solide en 3dimensions dans un plan. Les règles de la perspective cavalière sont les suivantes : - Les arêtes parallèles sur le solide restent parallèles sur le dessin. - Les arêtes parallèles et de même longueur restent de même longueur. - Les milieux restent au milieu. - Les points alignés restent alignés. - Les arêtes cachées se représentent en pointillés. - La « face avant » peut être représentée en vraie grandeur. - Les arêtes fuyantes sont représentées environ deux fois plus petite que dans la réalité en suivant un angle d’environ 30° par rapport à l’horizontale

Parallélépipède rectangle

Pavé droit

Définition : Un parallélépipède rectangle (appelé aussi pavé droit) est un solide dont les 6 faces sont des rectangles.

Description

Patrons

Parallélépipède rectangle

Pavé droit

Description

Cas particulier : Un cube est un parallélépipède rectangle dont les 6 faces sont des carrés. Exemple: Le parallélépipède rectangle ABCDEFGH a: - 8 sommets : les points A , B , C , D , E , F , G et H. - 12 arêtes : les segments [AB] , [BC] , [CD] , [DA] , [EF] , [FG] , [GH] , [HE] , [AE] , [BF] , [CG] et [DH]. - 6 faces : les rectangles ABCD , BFGC , EFGH , AEHD , ABFE et DCGH.

Parallélépipède rectangle

Pavé droit

Description

Propriétés:

Parallélépipède rectangle

Pavé droit

Description

Propriétés:

Parallélépipède rectangle

Pavé droit

Description

Propriétés:

Parallélépipède rectangle

Pavé droit

Description

Propriétés: Remarque : Les arêtes parallèles ont la même longueur.

Parallélépipède rectangle

Pavé droit

Patrons

Définition : Un patron d'un solide est un dessin en un seul morceau qui permet, après découpage et pliage, de construire ce solide. Sur un patron, chaque face est dessinée en vraie grandeur. Remarque : Il y a plusieurs patrons possibles pour un même pavé droit.

Parallélépipède rectangle

Aire d'un triangle

Hauteur d’un triangle

Formules d’aires

A toi de jouer

Aire d'un triangle

Hauteur d’un triangle

Définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

Aire d'un triangle

Hauteur d’un triangle

Construction: Dans le triangle ABC, construire la hauteur issue de A On construit la perpendiculaire à [BC] passant par A.

Aire d'un triangle

Hauteur d’un triangle

Construction: Dans le triangle ABC, construire la hauteur issue de B On construit la perpendiculaire à [AB] passant par C. Pour cela, on prolonge le segment [AB] du côté de A.

Aire d'un triangle

Formules d’aires

Remarque :On constate que les 3 hauteurs d’un triangle se coupent en un même point. On dit qu’elles sont concourantes.

Aire d'un triangle

Formules d’aires

Aire d'un triangle

Formules d’aires

Exemples :

Aire d'un triangle

Formules d’aires

Exemples :

Aire d'un triangle

Multiplication de nombres décimaux

A toi de jouer

Rappel : Lorsqu’on multiplie des centièmes par des dixièmes on obtient des millièmes. Ainsi, le nombre de chiffres après la virgule du produit est obtenu en additionnant les nombres de chiffres après la virgule des deux facteurs.

Multiplication de nombres décimaux

A toi de jouer

Methode :Calculons le produit 74,36 × 30,6. On calcule le produit de deux nombres décimaux sans se soucier de la virgule, puis on place la virgule de façon que le nombre de décimales du produit soit égal au nombre total de décimales des facteurs.

Multiplication de nombres décimaux

Volume

Unités de volume et de contenance

Calculs de volume

A toi de jouer

Volume

Unités de volume et de contenance

Contenance

Conversions

Volume

Unités de volume et de contenance

Contenance

Définition : La contenance d’un solide est la partie qui se trouve à l’intérieur de ce solide. Le volume est la mesure de la contenance.

L’unité de contenance est le litre, notée L.1 L est la contenance d’un cube de 1 dm d’arête.

Volume

Unités de volume et de contenance

Contenance

Le volume du cube ci-contre (d’arête de longueur 1 cm) est égale à (se lit « centimètre cube »). → est donc le volume d’un cube de 1 cm d’arête ! De même, est le volume d’un cube de 1 m d’arête. est le volume d’un cube de 1 dm d’arête. On a alors : 1 L =

Volume

Unités de volume et de contenance

Conversions

Dans un cube de 1 dm d’arête, on peut compter 10 × 10 × 10 = 1 000 cubes de 1 cm d’arête.Donc :

Volume

Unités de volume et de contenance

Conversions

Volume

Calculs de volume

Par dénombrement

Avec une formule

Volume

Calculs de volume

Par dénombrement

Exemple : On remplit le pavé droit ci-contre de cubes de 1 cm d'arête. Au fond du pavé, on dispose 6 rangées de 4 petits cubes. 6 × 4 = 24, il y a 24 petits cubes au fond du pavé droit. Dans le pavé droit, 5 de ces couches sont superposées. 5 × 24 = 120, donc le pavé contient 120 cubes d'arête 1 cm. Le volume de ce pavé droit est donc .

Volume

Calculs de volume

Avec une formule

Volume

Calculs de volume

Avec une formule

Volume

Médiatrice

Médiatrice d’un segment

Axes de symétrie

A toi de jouer

Médiatrice

Médiatrice d’un segment

Définition

Construction de la médiatrice à l’aide de l’équerre

Propriété de la médiatrice

Construction de la médiatrice au compas

Médiatrice

Médiatrice d’un segment

Définition

Définition : La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment. Propriété : Tous les points situés sur la médiatrice de [AB] sont à égale distance de A et de B. On dit qu’ils sont équidistants de A et de B.

Médiatrice

Médiatrice d’un segment

Construction de la médiatrice à l’aide de l’équerre

Médiatrice

Médiatrice d’un segment

Propriété de la médiatrice

Propriété : Tous les points situés sur la médiatrice de [AB] sont à égale distance de A et de B. On dit qu’ils sont équidistants de A et de B.

Médiatrice

Médiatrice d’un segment

Construction de la médiatrice au compas

Médiatrice

Axes de symétrie

Axes de symétrie d’un segment

Axes de symétrie des figures usuelles

Médiatrice

Axes de symétrie

Axes de symétrie d’un segment

Propriété : Un segment possède deux axes de symétrie :• la médiatrice de ce segment • la droite qui porte ce segment

Exemple : Le segment [AB] a pour axes de symétrie : sa médiatrice (b) et la droite (AB)

Médiatrice

Axes de symétrie

Axes de symétrie des figures usuelles

Un triangle isocèle possède un axe de symétrie : la médiatrice de la base. Cet axe passe par le sommet principal.

Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie : les médiatrices des côtés.

Médiatrice

Axes de symétrie

Axes de symétrie des figures usuelles

Un losange a deux axes de symétrie : ses diagonales.Elles sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

Un rectangle a 2 axes de symétrie : les médiatrices des côtés.

Un carré est à la fois un losange et un rectangle.Il a quatre axes de symétrie : les diagonales et les médiatrices des côtés.

Médiatrice

Périmètre d'un cercle et aire d'un disque

Longueur du cercle (ou circonférence)

Aire du disque

A toi de jouer

Périmètre d'un cercle et aire d'un disque

Longueur du cercle (ou circonférence)

Propriété : La longueur d'un cercle est donnée par les formules :

ou

Périmètre d'un cercle et aire d'un disque

Longueur du cercle (ou circonférence)

Exemples : Calculer la longueur d’un cercle de rayon 3 cm :

Périmètre d'un cercle et aire d'un disque

Longueur du cercle (ou circonférence)

Exemples : Calculer la longueur d’un demi-cercle de diamètre 4 cm Pour le cercle entier: Pour le demi cercle:

Périmètre d'un cercle et aire d'un disque

Aire du disque

Propriété : L’aire d’un disque est donnée par la formule :

Périmètre d'un cercle et aire d'un disque

Aire du disque

Exemples : Calculer l'aire d’un disque de rayon 4 cm :

Périmètre d'un cercle et aire d'un disque

Aire du disque

Exemples : Calculer l'aire d’un demi-disque de diamètre 3 cm Pour le disque entier: Pour le demi demi-disque:

Périmètre d'un cercle et aire d'un disque

Utiliser la proportionnalité

Traiter une situation de proportionnalité

Agrandissement ou réduction d'une figure

A toi de jouer

Utiliser la proportionnalité

Traiter une situation de proportionnalité

Avec la propriété multiplicative

Avec le passage à l'unité

Avec la propriété additive

Avec le coefficient de proportionnalité

Utiliser la proportionnalité

Traiter une situation de proportionnalité

Avec la propriété multiplicative

Exemple : Violette achète 6 effaceurs tous identiques et au même prix. Elle a payé 9 €. Tristan achète 3 effaceurs. Combien va-t-il payer ? 9 ÷ 2 = 4,5 3 effaceurs coûtent 4,50 €.

Utiliser la proportionnalité

Traiter une situation de proportionnalité

Avec le passage à l'unité

Exemple : Violette achète 6 effaceurs tous identiques et au même prix. Elle a payé 9 €. Dorian achète 5 effaceurs. Combien va-t-il payer ? 1 effaceur coûte 6 fois moins cher : 9 ÷ 6 = 1,5 Donc 5 effaceurs coûtent 5 fois plus cher : 5 × 1,5 = 7,5 5 effaceurs coûtent 7,50 €.

Utiliser la proportionnalité

Traiter une situation de proportionnalité

Avec la propriété additive

Exemple : A allure régulière, j'ai constaté que je parcours 18 km en 4 h. Quelle distance vais-je parcourir en 6 h ? 18 + 9 = 27 km En 6 h, je parcours 27 km.

Utiliser la proportionnalité

Traiter une situation de proportionnalité

Avec le coefficient de proportionnalité

Exemple : Mathilde souhaite préparer un cocktail et pour cela, elle a besoin de jus d’oranges. Avec 2 oranges, elle obtient 40 cL de jus d’oranges. Compléter le tableau en supposant que le volume de jus est proportionnel au nombre d’oranges. Pour calculer le coefficient de proportionnalité, on fait 40 ÷ 2 = 20. On peut alors compléter : 6 x 20 = 120 7 x 20 = 140 180 ÷ 20 = 9

Utiliser la proportionnalité

Agrandissement ou réduction d'une figure

Définition : Pour réduire une figure, on multiplie toutes les longueurs de cette figurepar un même nombre compris entre 0 et 1. Pour agrandir une figure, on multiplie toutes les longueurs de cette figure par un même nombre supérieur à 1.

Utiliser la proportionnalité

Agrandissement ou réduction d'une figure

Exemple : 1) Agrandir le rectangle ci-contre tel que les longueurs données soient multipliées par 1,5. 2) a) Quelles sont les dimensions du rectangle agrandi ? Pour la longueur, mesurer avec précision. b) En déduire la longueur AB du rectangle donné dans l’énoncé.

Utiliser la proportionnalité

Agrandissement ou réduction d'une figure

Exemple : 1) 1,5 x 3 = 4,5 cm 1,5 x 5 = 7,5 cm Programme de construction : - On trace le segment [A’D’] de longueur 4,5 cm. - On trace la perpendiculaire à [A’D’] passant par A’. - On trace un arc de cercle de centre D’ et de rayon 7,5 cm. - L’arc de cercle coupe la perpendiculaire en B’. - On trace le segment [D’B’]. - On finit de construire le rectangle A’B’C’D’ en construisant des côtés perpendiculaires.

Utiliser la proportionnalité

Agrandissement ou réduction d'une figure

Exemple : 2) a) Les dimensions du rectangle agrandi sont 4,5 cm et 6 cm (mesuré sur le rectangle agrandi). b) On en déduit que AB = 6 ÷ 1,5 = 4 cm.

Utiliser la proportionnalité

Positions relatives de droites

« par, par, PAR »

« per, per, PAR »

« par, per, PER »

Exemple

A toi de jouer

Positions relatives de droites

« par, par, PAR »

Propriété : Si deux droites sont parallèles à une même droite alors ces deux droites sont parallèles entre elles.

Positions relatives de droites

« per, per, PAR »

Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors ces deux droites sont parallèles entre elles.

Positions relatives de droites

« par, per, PER »

Propriété : Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l'autre.

Positions relatives de droites

Exemple

a) Tracer un triangle quelconque ABC et placer un point M sur le côté [BC]. Tracer la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point C. Elle coupe (AB) en H. Tracer la perpendiculaire à la droite (CH) passant par le point M. Elle coupe (CH) en K.

Positions relatives de droites

Exemple

b) Prouver que les droites (AB) et (MK) sont parallèles.Je sais que : La droite (AB) est perpendiculaire à la droite (CH). La droite (MK) est perpendiculaire à la droite (CH). Or : Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. Donc : On en déduit que (AB) et (MK) sont parallèles.

Positions relatives de droites

Divisions décimales

Définition : Soit a un nombre décimal et b un nombre entier différent de zéro. La division décimale de a par b est une opération qui permet de partager le nombre a en b parts identiques. Autrement dit, la division décimale est l'opération qui permet de calculer le quotient de a par b.

A toi de jouer

Divisions décimales

Exemples: Lorsqu’on « franchit la virgule » au dividende en abaissant le 1, on écrit une virgule au quotient. 32,12 ÷ 4 = 8,03

A toi de jouer

Divisions décimales

Exemples: On peut ajouter autant de « 0 » que nécessaire après la virgule au dividende. 45 ÷ 8 = 5,625

A toi de jouer

Divisions décimales

Exemples: 23 ÷ 11 2,09

A toi de jouer

Divisions décimales

Organisation et représentation de données

Tableaux

Graphique cartésien

Diagramme

A toi de jouer

Organisation et représentation de données

Tableaux

Vocabulaire : Un tableau permet d'organiser et de regrouper des données afin de les lire plus facilement.

Tableau simple

Tableau à double entrée

Organisation et représentation de données

Tableaux

Tableau simple

Exemple : On effectue une petite enquête dans une classe de sixième. On demandeaux élèves durant quelle saison sont-ils nés ? Les réponses sont notées au fur et à mesure : Présenter ces résultats dans un tableau.

Organisation et représentation de données

Tableaux

Tableau à double entrée

Un tableau à double entrée permet d'organiser des données selon deux types d'informations mis en relation. Exemple : Répartition des élèves d'une classe selon leur sexe et leur âge.

Organisation et représentation de données

Graphique cartésien

Vocabulaire : Un graphique cartésien permet de représenter l'évolution d'une grandeur en fonction d'une autre. Exemple : Les statistiques météo ci-dessous représentent les valeurs moyennes (de 1961 à 1991) des durées d’ensoleillement à Strasbourg pour chacun des mois de l’année.

Organisation et représentation de données

Graphique cartésien

Représenter les données du tableau dans un graphique.

Remarques : Sur l'axe des abscisses (horizontal) sont placés les mois de l’année. Sur l'axe des ordonnées (vertical) est placé la durée d’ensoleillement. Ces deux axes sont gradués régulièrement.

Organisation et représentation de données

Diagramme

Diagramme en bâton (ou en barre)

Diagramme circulaire et semi-circulaire

Organisation et représentation de données

Diagramme

Diagramme en bâton (ou en barre)

Vocabulaire : Un diagramme en bâtons permet de comparer des données. Propriété : Dans un diagramme en bâtons, la hauteur des bâtons est proportionnelle au nombre qu'il représente.

Organisation et représentation de données

Diagramme

Diagramme en bâton (ou en barre)

Exemple : Nombre de médailles d'or obtenues lors des Jeux Olympiques de Pékin en 2008. Le pays qui a remporté le plus de médailles d'or est la Chine, suivie des Etats-Unis et de la Russie.

Organisation et représentation de données

Diagramme

Diagramme circulaire et semi-circulaire

Vocabulaire : Un diagramme circulaire ou demi-circulaire permet de visualiser une répartition des données. Propriété : Dans un diagramme circulaire ou demi-circulaire, la mesure de chaque angle est proportionnelle au nombre qu'il représente.

Organisation et représentation de données

Diagramme

Diagramme circulaire et semi-circulaire

Exemple : Représenter les données du tableau suivant (voir partie 1) dans un diagramme circulaire. La totalité des effectifs, soit 26, est représentée par un disque (secteur de mesure 360°). Le coefficient de proportionnalité est donc égal à 360÷26≈13,85.

Organisation et représentation de données

Diagramme

Diagramme circulaire et semi-circulaire

Exemple : Il y a proportionnalité entre le nombre d’élèves et le secteur de disque correspondant. On complète alors le tableau de proportionnalité : Par exemple, la valeur Printemps est représentée par un secteur d’angle : 7× 13,85≈97° On fait de même pour calculer les angles correspondants aux autres secteurs.

Organisation et représentation de données

Diagramme

Diagramme circulaire et semi-circulaire

Exemple : On construit le diagramme circulaire en respectant les mesures d’angles du tableau.

Organisation et représentation de données