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numeros complejos

TecNM de zacapoaxcla algebra lineal segundo ¨B¨Ingenieria Mecatronica Alan de Jesús Gonzalez Cruz

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El termino numero complejo describe la suma de un numero real y un numero imaginario (que es un multiplo real de la unidad imaginaria, que se indic con la letra ¨i¨) los numeros complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física e ingeniería

definicion

en el siglo XVIII, el matemático Carl Friedrich Gauss, consolidó las premisas de Cardano, además de desarrollar un tratado sobre números complejos en un plano, estableciendo las bases modernas del término.

origen de los números complejos

la conceptualización de los números complejos se remonta al siglo XVI gracias al aporte del matemático italiano Gerolamo Cardano, quien demostró que teniendo un término negativo dentro de una raíz cuadrada se puede obtener la solución a una ecuación. Hasta ese momento, no se creía posible conseguir la raíz cuadrada de un número negativo

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La operación de Dividir dos números complejos (8 + 4 i) y (1 – i) puede expresarse como: (8 + 4 i) / (1 – i)Agrupando y multiplicando los términos semejantes, [(8 + 4 i) (1 + i)] / [(1 – i) (1 + i)] = [8 + 4 i + 8 i + 4 i 2] / [1 – i + i – i 2] = (4 + 12 i) / (2) = 2 + 6 i

La operación de Multiplicar dos números complejos x + yi e c + di puede expresarse como: (x + y i) (c + d i) = (x c – y d) + (x + d yc) i

La operación de restardos números complejos x + yi y c + di, puede expresarse como: (x + yi) – (c + di) = (x + c) – (y + d)i

La operación de sumar dos números complejos x + yi e c + di puede expresarse como : (x + yi) + (c + di) = (x + c) + (y + d)i

Operaciones fundamentales con número complejos

La naturaleza de un número complejo contiene los números reales extendidos que resulten necesarios para resolver un problema que sería difícil de resolver utilizando sólo los números reales. Existen una gran variedad de operaciones que pueden realizarse con los números complejos. La suma, resta, división y multiplicación constituyen las operaciones básicas que pueden realizarse con los números complejos

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La potenciación de números imaginarios se basa en las propiedades de los exponentes y en la interpretación geométrica de los números complejos como rotaciones en el plano. Al elevar i a un exponente, se obtiene una rotación en el plano complejo.

Potencias de I

La forma polar de un número complejo es una forma de representarlo utilizando dos valores: módulo y ángulo. Módulo: Representa la distancia del número complejo al origen del plano complejo.Se calcula con la siguiente fórmula: módulo = √(a2 + b2). Donde a es la parte real del número complejo y b es la parte imaginaria. Ángulo: Representa el ángulo que forma el vector querepresenta al número complejo con el eje real positivo. Se calcula con la siguiente fórmula: ángulo = tan -l (b / a)Donde a es la parte real del número complejo y b es la parte imaginaria.Para obtener la forma polar de un número complejo a + bi, donde a es la parte real y b es la parte imaginaria, se puede utilizar la siguientefórmula: r = √(a^2 + b^2)Para calcular el argumento θ del número complejo a + bi, puedes usar la fórmula: θ = atan(b/a)Una vez que has calculado r y θ, puedes representar el número complejo en su forma polar como r(cos θ + i sen θ). Esta forma r(cos θ + i sen θ) es útil para visualizar el número complejo en términos de su magnitud (r) y ángulo (θ) en un plano complejo

FOMA POLAR, MODULO Y ARGUMENTO

- Genially

De esta forma, en el teorema se indica que cuando se escribe z en una forma trigonométrica, para poder calcular l n-ésima potencia se puede utilizar: Si z = r (cos Ɵ + i * sen Ɵ) entonces zn = rn (cos n*Ɵ + i * sen n*Ɵ). En este caso, si n = 2, entonces quiere decir que z2 = r2[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)]. Si se tiene que n = 3, entonces z3 = z2 * z. O bien, también: z3 = r2[cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] * r [cos 2(Ɵ) + i sen 2 (Ɵ)] = r3[cos 3(Ɵ) + i sen 3 (Ɵ)].

TEOREMA DE MOIVRE

En el teorema se establece que cuando se tiene un número complejo en la forma polar z = rƟ, en la que r es el módulo del número complejo z, el ángulo Ɵ es la amplitud del número complejo en el que 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, de forma que para poder calcular su n-ésima potencia no se necesita múltiplicarlo por sí mismo n-veces.

Los numeros complejos tienen una gran importancia y su aplicacion puede verse y reflejarse al:en los campos como la ingeniería eléctrica, la teoría de señales, la mecánica cuántica, entre otros. En física, los números complejos son fundamentales para describir fenómenos ondulatorios, como las ondas electromagnéticas o las ondas sonoras. En ingeniería eléctrica, se utilizan en el análisis de circuitos eléctricos en corriente alterna. En matemáticas, son esenciales en el estudio de funciones complejas y en la geometría del plano complejo. En tecnología, se aplican en el procesamiento de señales digitales, en la teoría de control y en la criptografía, entre otros campos.

CONCLUSIONES

ferrovial(2024).¿Que son los numeros complejos?YESENIADELANGEL(2025).1.2Operaciones fundamentales con números complejosVarsity tutors.(2024).Potencias de iproblemas v y Ecuaciones. (2023). Números complejos imaginarios:forma polar, trigonométrica, binómica. Ejemplos y problemasTeorema.top. (2023). Teorema de Moivre

Referencias

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