SDA ecuaciones

Historia de los

ECUACIONES

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MATEMÁTICAS 4ESO A

Víctor Prados, Álvaro López, Álvaro Quirós

Métodos de resolución de cuaciones de 2º grado

Cronología de la resolución de ecuaciones

La cara humana de las ecuaciones

Cronología de la resolución de ecuaciones

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1ª Civilización

Civilización Babilónica

La primera civilización conocida por haber trabajado con ecuaciones fueron los babilonios, aproximadamente en el segundo milenio antes de Cristo (2000 a.C.). Los babilonios desarrollaron métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y lineales, aunque no utilizaban la notación algebraica moderna. En lugar de ello, empleaban métodos geométricos y tablas numéricas.

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Situación de Aprendizaje

Ejemplo de método babilónico

Para una ecuación cuadrática x2+bx=cx^2 + bx = cx2+bx=c, los babilonios podrían haber resuelto el problema utilizando un método equivalente a completar el cuadrado:

3.

2.

1.

Sumaban y restaban este valor cuadrado a ambos lados de la ecuación, facilitando la resolución de la ecuación resultante.

Reescribían la ecuación como x2+bx=cx^2 + bx = cx2+bx=c.

Dividían el coeficiente bbb entre 2 y luego lo elevaban al cuadrado.

IMPORTANCIA HISTÓRICA

Cultural y Científica: Babilonia fue un centro de aprendizaje y cultura. Además de sus avances en matemáticas, los babilonios hicieron importantes contribuciones en astronomía, literatura y derecho (famoso es el Código de Hammurabi).

Arquitectura: La ciudad es conocida por sus impresionantes estructuras, como los Jardines Colgantes de Babilonia (una de las Siete Maravillas del Mundo Antiguo) y la Puerta de Ishtar.

Comercio: Su ubicación estratégica entre los ríos facilitó el comercio y la comunicación con otras civilizaciones, lo que contribuyó a su prosperidad y desarrollo cultural.

2ª Civilización

Civilización Egipcia

Período: Aproximadamente 1800 a.C. Contribuciones: Los egipcios resolvían ecuaciones lineales utilizando métodos aritméticos. Usaban tablas y algoritmos para resolver problemas prácticos relacionados con la distribución de bienes y cálculos de áreas y volúmenes.

3ª Civilización

Civilización Griega

Período: Desde aproximadamente 600 a.C. hasta la época helenística. Contribuciones Geometría: Axiomas y teoremas fundamentales, teorema del triángulo rectángulo, clasificación de secciones cónicas.

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4ª Civilización

Civilización India

Período: Desde aproximadamente 500 d.C. en adelante. Contribuciones Sistema Decimal: Introducción del sistema de numeración decimal y el uso del cero. Álgebra: Métodos para resolver ecuaciones y desarrollo de identidades algebraicas.

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5ª Civilización

Civilización Islámica

Período: Edad de Oro del Islam (aproximadamente 750-1258 d.C.). Contribuciones Álgebra: Desarrollo del álgebra como una rama independiente, incluyendo la resolución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.

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6ª Civilización

Civilización China

Período: Dinastía Han (206 a.C. - 220 d.C.) en adelante. Contribuciones Ábaco: Desarrollo y refinamiento del ábaco como herramienta de cálculo. Numeración Decimal: Uso temprano de un sistema decimal y notación posicional

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7ª Civilización

Civilización Europea en el Renacimiento

Período: Siglos XV y XVI. Contribuciones Redescubrimiento de los Textos Clásicos: Traducción y estudio de obras matemáticas griegas y romanas, como Los Elementos de Euclides.

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La cara humana de las ecuciones

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Antigua Grecia // India

Diofanto de Alejandría

Pitágoras

Brahmagupta

Euclides

Aryabhata

Civilización Islámica// Antigua China

Sharaf al-Din al-Tusi

Al-Khwarizmi

Zhu Shijie

Omar Khayyam

Jiuzhang Suanshu

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Métodos para ecuaciones de 2º grado

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1. Fórmula General (Fórmula Cuadrática)

La fórmula cuadrática es una de las formas más utilizadas para resolver ecuaciones cuadráticas. La solución se obtiene usando la siguiente fórmula: Pasos:

• Identificar los coeficientes a, b, y c de la ecuación.
• Calcular el discriminante: Δ=b^2−4ac.
• Evaluar las raíces usando la fórmula cuadrática:
• Si Δ>0, hay dos soluciones reales distintas.
• Si Δ=0, hay una solución real doble.
• Si Δ<0, hay dos soluciones complejas conjugadas.

2. Factorización

La factorización consiste en expresar la ecuación cuadrática como el producto de dos binomios. Este método funciona mejor cuando la ecuación es fácilmente factorizable. Pasos: Escribir la ecuación en la forma ax^2+bx+c=0 Encontrar dos números que multipliquen para ac y sumen para b. Reescribir el término del medio bx utilizando estos dos números. Agrupar los términos y factorizar por partes. Resolver cada factor igualando a cero.

Ejemplo: Resolver x2+5x+6=0 Encontrar dos números que multipliquen para 6 (producto de 1⋅6) y sumen para 5: 2 y 3. Reescribir 5x como 2x+3x: x2+2x+3x+6=0 Agrupar y factorizar: (x^2+2x)+(3x+6)=0 x(x + 2) + 3(x + 2) = 0 Factor común: (x+2)(x+3)=0 Resolver cada factor: x+2=0  ⟹  x=−2 x+3=0  ⟹  x=−3

3. Completación del Cuadrado

Este método transforma la ecuación cuadrática en un trinomio cuadrado perfecto, lo que facilita su resolución. Pasos: Escribir la ecuación en la forma ax^2+bx+c=0 Dividir todos los términos por a (si a≠1). Mover el término constante c al otro lado de la ecuación. Añadir y restar el cuadrado del coeficiente del término lineal dividido por 2 al lado izquierdo de la ecuación. Reescribir el lado izquierdo como un cuadrado perfecto. Resolver la ecuación cuadrada.

Ejemplo: Resolver x^2 + 6x + 5 = 0 completando el cuadrado.Mover el término constante: x^2+6x=−5 Añadir y restar (6/2)^2=9 x^2+6x+9=−5+9 (x+3)^2=4 Resolver la ecuación cuadrada: x+3=±2 x=−3+2  ⟹  x=−1 x=−3−2  ⟹  x=−5

4. Uso de Gráficas

Las soluciones de una ecuación cuadrática también pueden encontrarse gráficamente, identificando los puntos donde la parábola y=ax^2+bx+c intersecta el eje x. Pasos: Dibujar la parábola y=ax^2+bx+c Identificar los puntos de intersección con el eje x, que representan las soluciones de la ecuación.

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Inicio

Aritmética: Introducción y popularización del sistema de numeración decimal en el mundo islámico y, posteriormente, en Europa. Trigonometría: Avances en trigonometría, incluyendo el desarrollo de funciones trigonométricas y la creación de tablas trigonométricas precisas. Geometría: Contribuciones significativas a la geometría, incluyendo trabajos en geometría euclidiana y no euclidiana.

Época: Aproximadamente 2000 a.C. a 1600 a.C.Contribuciones Matemáticas: Desarrollo de métodos para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2+bx=cax^2 + bx = cax2+bx=c. Uso de tablas de multiplicar, tablas de recíprocos, tablas de cuadrados y cubos para facilitar los cálculos. Resolución de problemas que implicaban sumas y productos de números desconocidos (equivalente a resolver sistemas de ecuaciones).

Aritmética y Álgebra: Propiedades de números, teoría de proporciones, solución de problemas algebraicos. Trigonometría: Creación de tablas de cuerdas. Lógica: Desarrollo de la lógica formal. Método Axiomático: Uso de axiomas y deducción lógica. Astronomía Matemática: Modelos geocéntricos. Análisis: Geometría del volumen y superficie, aproximación de pi, métodos para cálculo integral.

Instrumentos Astronómicos: Mejora de instrumentos matemáticos para observaciones astronómicas precisas. Método Científico: Aplicación sistemática de las matemáticas en la física y otras ciencias naturales.

Teoría de Números: Contribuciones en números primos, métodos para resolver ecuaciones diofánticas. Geometría: Avances en cálculo de áreas y volúmenes. Teorema del Resto Chino: Formulación y aplicación en sistemas de congruencias.

Astronomía Matemática: Aplicación de las matemáticas en la astronomía, desarrollando modelos precisos y herramientas matemáticas para predecir posiciones planetarias y eclipses. Cálculo y Análisis: Desarrollo de métodos para el cálculo de áreas y volúmenes, y avances en el estudio de series infinitas. Algoritmos y Cálculos: Mejora de algoritmos matemáticos para facilitar cálculos complejos.

Triángulo de Pascal: Contribuciones al desarrollo de conceptos relacionados y coeficientes binomiales. Métodos Numéricos: Creación de métodos para resolver ecuaciones polinómicas, como el método de Horner.

Notación Algebraica: Introducción de la notación simbólica para resolver ecuaciones de manera sistemática. Desarrollo Geométrico: Avances en geometría proyectiva y cálculo de áreas y volúmenes. Funciones Trigonométricas: Refinamiento de funciones trigonométricas y métodos para aproximar pi.

La civilización babilónica estuvo ubicada en la antigua Mesopotamia, una región que corresponde en gran parte al actual Irak. La ciudad de Babilonia, que fue el centro de esta civilización, se encontraba a unos 85 kilómetros al sur de la actual Bagdad, cerca del río Éufrates.

Trigonometría: Desarrollo de funciones trigonométricas y tablas precisas. Series y Análisis: Cálculo de series y aproximación precisa de pi. Geometría: Formulación de varios teoremas geométricos. Algoritmos: Desarrollo de algoritmos para cálculos complejos.