DISTRIBUCIÓN NORMAL
DIAZ SANCHEZ BRUNOOROZCO QUIROZ MAURICIO ROBLES LOZANO BYRON XOPA MOJICA KALED PATRICK
ÍNDICE
2.HISTORIA
1. DEFINICIÓN
4. CAMPANA DE GAUSS
3. PARÁMETROS
7. ÁREA BAJO LA CURVA
5.DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR
6. TIPIFICACIÓN
8. EJERCICIOS REALES
1. DEFINICIÓN
La distribución normal es un modelo teórico que aproxima el comportamiento de una variable aleatoria a una situación ideal, utilizando la media y la desviación típica como parámetros clave. Para representar una distribución normal, se necesita una variable aleatoria, calcular su media y desviación típica. Es un patrón estadístico que aparece cuando un conjunto de datos se distribuye de manera uniforme alrededor de un valor central. Es decir, que la mayoría de las observaciones se agrupan en torno al promedio, y los valores se vuelven progresivamente menos comunes a medida que se alejan de este punto medio, esto se representa mediante la campana de gauss.
PROPIEDADES 1. Tiene forma de campana 2. Es simétrica 3.Alcanza su máximo en la media 4.Es asintótica al eje de las abscisas "Y", cualquier valor de x entre -∞ y ∞ es posible.
2. HISTORIA
Carl Friedrich Gauss (1809) - Gauss formalizó la distribución normal mientras trabajaba en la teoría de los errores. Utilizó esta distribución para describir los errores de las observaciones astronómicas y geodésicas, y por ello, a menudo se le atribuye la denominación de "distribución de Gauss".
Pierre-Simon Laplace (1812)**: - Laplace desarrolló la teoría de la probabilidad y la integral de la función de densidad normal. Sus trabajos ayudaron a formalizar el uso de la distribución normal en la teoría del muestreo y la estadística.
Abraham de Moivre (1733)- De Moivre introdujo el concepto de la distribución normal en su obra "The Doctrine of Chances". Descubrió que la distribución binomial se aproximaba a una curva suave, que luego se conocería como la distribución normal, para grandes muestras.
3. PARÁMETROS
DESVIACIÓN ESTANDAR La desviación estandar, es una forma de medir cuánto se alejan los valores en un conjunto de datos de la media(el valor promedio). Siempre es mayor o igual a O.
- Se utiliza para calcular la variación o distancia numérica de los datos individuales con respecto a la media de un conjunto de datos.
- Una baja desviación estándar indica que los datos están cerca de la media, mientras que una desviación alta sugiere que los datos están más dispersos.
- Esto es útil para la mediación de riesgo de algún activo financiero a evaluar la presición de producción
Se representa con el símblo σ
MEDIA La media es el valor promedio de un conjunto de datos numéricos. Se calcula como la suma del conjunto de valores dividida entre el número de total de valores. Divide a la distribución en 2 mitadesy la distancia entre ésta y el punto de inflección, donde la curva cambio de convexa o cóncava, es el índice de la dispersión de los valores en torno a la media. Es igual a la moda y la mediana. La media se representa con el símbolo µ.
4. CAMPANA DE GAUSS
Una Campana de Gauss es una representación gráfica que muestra la distribución de los datos en torno a un valor central. Esta herramienta se utiliza para representar la dispersión de los datos y su tendencia, con el fin de detectar patrones o comportamientos en diferentes situaciones.La Campana de Gauss es una curva normal y suave que se dibuja en forma de campana sobre un eje horizontal; de ahí su nombre. En este caso, dicha curva representa la distribución de datos alrededor de la media, es decir, el punto en el que se concentra la mayoría de frecuencias con las que se encuentran los valores. Además, cabe destacar que es una función simétrica, por lo que ambos lados de la campana serán siempre iguales respecto al punto medio. De esta forma, con la Campana de Gauss es posible establecer una serie de parámetros que ayudan a predecir y racionalizar lo que aparentemente son resultados aleatorios, obteniendo una versión más clara y visual de la distribución normal de un conjunto de números.
5. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR
Cualquier distribución de probabilidad normal puede convertirse en una distribución de probabilidad normal estándar. Para convertit el valor de cualquier variable aleatoria x a la curva normal estandar z se realiza el metodo conocido como tipificación.
Cada curva normal tiene su propia µ y σ; por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado. Para evitar el cálculo de cada distribución se utiliza una sola curva normal llamada curva normal estándar, cuya variable aleatoria x siempre tiene un µ=0 y una σ=1.
6. TIPIFICACIÓN
EJEMPLO Calcular los valores tipificados de los valores x1=1.7 y x2=0.9 si μ=1.2 y σ =0.3. Solución. Para x1. z=X-μ/σ=1.7-1.2/0.3= 1.66 Para x2 z=X-μ/σ=0.9-1.2/0.3= -1
La tipificación de una variable en una distribución normal se refiere al proceso de transformar una variable aleatoria con una distribución normal a una nueva variable que sigue una distribución normal estándar, es decir, una distribución normal con media 0 y desviación estándar 1. Este proceso se realiza mediante la fórmula de tipificación (o estandarización), que se expresa de la siguiente manera:
Z es la variable tipificada (o estandarizada). X es la variable original. μ es la media de la distribución de 𝑋 σ es la desviación estándar de la distribución de X
EJERCICIOS
1.Calcular los valores tipificados de los valores x1=125 y x2=150 si μ=140 y σ =50. Graficar.
2.Calcular los valores tipificados de los valores x1=3.8 y x2=4.2 si μ=2.8 y σ =10. Graficar.
Solución. Para x1. z=X-μ/σ=3.8-2.8/10= 0.1 Para x2 z=X-μ/σ=4.2-2.8/10= 0.14
Solución. Para x1. z=X-μ/σ=125-140/50= -0.3 Para x2 z=X-μ/σ=150-140/50= 0.2
7. ÁREA BAJO LA CURVA
EJEMPLO Determinar el área bajo la curva si z≤2.01 Solución. P(z≤2.01)=Tabla+0.5=0.4778+0.5=0.9778=97.78%
Para una distribución normal estándar (media 0 y desviación estándar 1), la curva de densidad de probabilidad es la"campana de Gauss".Sus propiedades son: Simetría: La curva es simétrica respecto a la media. Total del área bajo la curva: El área total bajo la curva es igual a 1.. El área bajo la curva en un intervalo específico representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de ese intervalo Se calcula utilizando la tabla de ditribución normal estándar y con las siguientes fórmulas:
- P(z≥-a)=P(z≤a)=Tabla +0.5
- P(z≤-a)=P(z≥a)=0.5-P(z≤a)
EJERCICIOS
1.Determinar el área bajo la curva para los valores de: -1.42≤z≤-0.97 2.Determinar el área bajo la curva para los valores de: -2.23≤z≤1.45 3.Determinar el área bajo la curva para los valores de: 2.3≤z≤3.14 4.Determinar el área bajo la curva para los valores de: z≥2.89 5.Determinar el área bajo la curva para los valores de: z≥-1.74
EJERCICIOS
6. Determinar el área bajo la curva para los valores de: z≤3.157. Determinar el área bajo la curva para los valores de: -z≥1.22
8. Determinar el área bajo la curva para los valores de: -0.53≤z≤1.71 9. Determinar el área bajo la curva para los valores de: 2.85≤z≤3 10.Determinar el área bajo la curva para los valores de:-3.24≤z≤-0.24
SOLUCIONES
SOLUCIONES
8. EJERCICIOS REALES
La distribución normal se utiliza en diversos campos y contextos, particularmente en la estadística, el análisis de datos, la ingeniería, la economía y la medicina aunque también se puede utilizar para calcular probabilidades de eventos cotidianos.
SOLUCIÓN. Tipificando x=59kg z=59-61/3= -0.66 P(z≤-0.66)=0.5-P(z≤0.66)=0.5-0.2454=0.2546(200)=50.92 alumnos
EJEMPLO. La media de los pesos de 200 estudiantes de un colegio es de 61kg, con una desviación estándar de 3kg. Hallar la probabilidad de que un estudiante escogido al azar pese menos de 59kg.
EJERCICIOS
1. La estatura media en la V1 es de 168cm, con una desviación estandar de 30cm. Determina la probabilidad de seleccionar un alumno entre 162cm y 172cm.
SOLUCIÓN. Tipificando x1=162cm y x2=172cm μ=168cm σ=30cm z1=162-168/30= -0.2 z2=172-160/30= 0.13 P(-0.2≤z≤0.13)=P(z≤0.13)+P(Z≤0.2)= =0.0517+0.0793=0.131=13.1%
EJERCICIOS
2.Las pruebas de selección de una institución tienen una media de 450 puntos con una varianza de 7225. Las puntuaciones tipificadas correspondientes a cinco candidatos con puntuaciones de 350 y 600, son:
SOLUCIÓN. Tipificando x1=350 y x2=600 μ=450 σ=85 z1=350-400/85= -0.58 z2=600-400/85= 2.35 P(-0.58≤z≤2.35)=P(z≤2.35)+P(Z≤0.58)= =0.4906+0.2190=0.7096=70.96%
EJERCICIOS
SOLUCIÓN. Tipificando x=140 μ=123 σ=13.7 z=140-123/13.7= 1.24 P(z≥1.24)=0.5-P(z≤1.24)=0.5-0.3925=0.107=10.75%
3.La presión sanguinea sistólica media de hombres de 20 a 24 años de edad es de 123, con una desviación estandar de 13.7. Si se selecciona al azar uno de estos hombres.¿Cuál es la probabilidad de que su presioón sanguínea sea mayor que 140?
SOLUCIÓN EXAMEN
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DISTRIBUCIÓN NORMAL
Xopa Mojica Kaled Patrick
Created on June 12, 2024
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DISTRIBUCIÓN NORMAL
DIAZ SANCHEZ BRUNOOROZCO QUIROZ MAURICIO ROBLES LOZANO BYRON XOPA MOJICA KALED PATRICK
ÍNDICE
2.HISTORIA
1. DEFINICIÓN
4. CAMPANA DE GAUSS
3. PARÁMETROS
7. ÁREA BAJO LA CURVA
5.DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR
6. TIPIFICACIÓN
8. EJERCICIOS REALES
1. DEFINICIÓN
La distribución normal es un modelo teórico que aproxima el comportamiento de una variable aleatoria a una situación ideal, utilizando la media y la desviación típica como parámetros clave. Para representar una distribución normal, se necesita una variable aleatoria, calcular su media y desviación típica. Es un patrón estadístico que aparece cuando un conjunto de datos se distribuye de manera uniforme alrededor de un valor central. Es decir, que la mayoría de las observaciones se agrupan en torno al promedio, y los valores se vuelven progresivamente menos comunes a medida que se alejan de este punto medio, esto se representa mediante la campana de gauss.
PROPIEDADES 1. Tiene forma de campana 2. Es simétrica 3.Alcanza su máximo en la media 4.Es asintótica al eje de las abscisas "Y", cualquier valor de x entre -∞ y ∞ es posible.
2. HISTORIA
Carl Friedrich Gauss (1809) - Gauss formalizó la distribución normal mientras trabajaba en la teoría de los errores. Utilizó esta distribución para describir los errores de las observaciones astronómicas y geodésicas, y por ello, a menudo se le atribuye la denominación de "distribución de Gauss".
Pierre-Simon Laplace (1812)**: - Laplace desarrolló la teoría de la probabilidad y la integral de la función de densidad normal. Sus trabajos ayudaron a formalizar el uso de la distribución normal en la teoría del muestreo y la estadística.
Abraham de Moivre (1733)- De Moivre introdujo el concepto de la distribución normal en su obra "The Doctrine of Chances". Descubrió que la distribución binomial se aproximaba a una curva suave, que luego se conocería como la distribución normal, para grandes muestras.
3. PARÁMETROS
DESVIACIÓN ESTANDAR La desviación estandar, es una forma de medir cuánto se alejan los valores en un conjunto de datos de la media(el valor promedio). Siempre es mayor o igual a O.
- Se utiliza para calcular la variación o distancia numérica de los datos individuales con respecto a la media de un conjunto de datos.
- Una baja desviación estándar indica que los datos están cerca de la media, mientras que una desviación alta sugiere que los datos están más dispersos.
- Esto es útil para la mediación de riesgo de algún activo financiero a evaluar la presición de producción
Se representa con el símblo σMEDIA La media es el valor promedio de un conjunto de datos numéricos. Se calcula como la suma del conjunto de valores dividida entre el número de total de valores. Divide a la distribución en 2 mitadesy la distancia entre ésta y el punto de inflección, donde la curva cambio de convexa o cóncava, es el índice de la dispersión de los valores en torno a la media. Es igual a la moda y la mediana. La media se representa con el símbolo µ.
4. CAMPANA DE GAUSS
Una Campana de Gauss es una representación gráfica que muestra la distribución de los datos en torno a un valor central. Esta herramienta se utiliza para representar la dispersión de los datos y su tendencia, con el fin de detectar patrones o comportamientos en diferentes situaciones.La Campana de Gauss es una curva normal y suave que se dibuja en forma de campana sobre un eje horizontal; de ahí su nombre. En este caso, dicha curva representa la distribución de datos alrededor de la media, es decir, el punto en el que se concentra la mayoría de frecuencias con las que se encuentran los valores. Además, cabe destacar que es una función simétrica, por lo que ambos lados de la campana serán siempre iguales respecto al punto medio. De esta forma, con la Campana de Gauss es posible establecer una serie de parámetros que ayudan a predecir y racionalizar lo que aparentemente son resultados aleatorios, obteniendo una versión más clara y visual de la distribución normal de un conjunto de números.
5. DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDAR
Cualquier distribución de probabilidad normal puede convertirse en una distribución de probabilidad normal estándar. Para convertit el valor de cualquier variable aleatoria x a la curva normal estandar z se realiza el metodo conocido como tipificación.
Cada curva normal tiene su propia µ y σ; por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado. Para evitar el cálculo de cada distribución se utiliza una sola curva normal llamada curva normal estándar, cuya variable aleatoria x siempre tiene un µ=0 y una σ=1.
6. TIPIFICACIÓN
EJEMPLO Calcular los valores tipificados de los valores x1=1.7 y x2=0.9 si μ=1.2 y σ =0.3. Solución. Para x1. z=X-μ/σ=1.7-1.2/0.3= 1.66 Para x2 z=X-μ/σ=0.9-1.2/0.3= -1
La tipificación de una variable en una distribución normal se refiere al proceso de transformar una variable aleatoria con una distribución normal a una nueva variable que sigue una distribución normal estándar, es decir, una distribución normal con media 0 y desviación estándar 1. Este proceso se realiza mediante la fórmula de tipificación (o estandarización), que se expresa de la siguiente manera:
Z es la variable tipificada (o estandarizada). X es la variable original. μ es la media de la distribución de 𝑋 σ es la desviación estándar de la distribución de X
EJERCICIOS
1.Calcular los valores tipificados de los valores x1=125 y x2=150 si μ=140 y σ =50. Graficar.
2.Calcular los valores tipificados de los valores x1=3.8 y x2=4.2 si μ=2.8 y σ =10. Graficar.
Solución. Para x1. z=X-μ/σ=3.8-2.8/10= 0.1 Para x2 z=X-μ/σ=4.2-2.8/10= 0.14
Solución. Para x1. z=X-μ/σ=125-140/50= -0.3 Para x2 z=X-μ/σ=150-140/50= 0.2
7. ÁREA BAJO LA CURVA
EJEMPLO Determinar el área bajo la curva si z≤2.01 Solución. P(z≤2.01)=Tabla+0.5=0.4778+0.5=0.9778=97.78%
Para una distribución normal estándar (media 0 y desviación estándar 1), la curva de densidad de probabilidad es la"campana de Gauss".Sus propiedades son: Simetría: La curva es simétrica respecto a la media. Total del área bajo la curva: El área total bajo la curva es igual a 1.. El área bajo la curva en un intervalo específico representa la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de ese intervalo Se calcula utilizando la tabla de ditribución normal estándar y con las siguientes fórmulas:
EJERCICIOS
1.Determinar el área bajo la curva para los valores de: -1.42≤z≤-0.97 2.Determinar el área bajo la curva para los valores de: -2.23≤z≤1.45 3.Determinar el área bajo la curva para los valores de: 2.3≤z≤3.14 4.Determinar el área bajo la curva para los valores de: z≥2.89 5.Determinar el área bajo la curva para los valores de: z≥-1.74
EJERCICIOS
6. Determinar el área bajo la curva para los valores de: z≤3.157. Determinar el área bajo la curva para los valores de: -z≥1.22 8. Determinar el área bajo la curva para los valores de: -0.53≤z≤1.71 9. Determinar el área bajo la curva para los valores de: 2.85≤z≤3 10.Determinar el área bajo la curva para los valores de:-3.24≤z≤-0.24
SOLUCIONES
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8. EJERCICIOS REALES
La distribución normal se utiliza en diversos campos y contextos, particularmente en la estadística, el análisis de datos, la ingeniería, la economía y la medicina aunque también se puede utilizar para calcular probabilidades de eventos cotidianos.
SOLUCIÓN. Tipificando x=59kg z=59-61/3= -0.66 P(z≤-0.66)=0.5-P(z≤0.66)=0.5-0.2454=0.2546(200)=50.92 alumnos
EJEMPLO. La media de los pesos de 200 estudiantes de un colegio es de 61kg, con una desviación estándar de 3kg. Hallar la probabilidad de que un estudiante escogido al azar pese menos de 59kg.
EJERCICIOS
1. La estatura media en la V1 es de 168cm, con una desviación estandar de 30cm. Determina la probabilidad de seleccionar un alumno entre 162cm y 172cm.
SOLUCIÓN. Tipificando x1=162cm y x2=172cm μ=168cm σ=30cm z1=162-168/30= -0.2 z2=172-160/30= 0.13 P(-0.2≤z≤0.13)=P(z≤0.13)+P(Z≤0.2)= =0.0517+0.0793=0.131=13.1%
EJERCICIOS
2.Las pruebas de selección de una institución tienen una media de 450 puntos con una varianza de 7225. Las puntuaciones tipificadas correspondientes a cinco candidatos con puntuaciones de 350 y 600, son:
SOLUCIÓN. Tipificando x1=350 y x2=600 μ=450 σ=85 z1=350-400/85= -0.58 z2=600-400/85= 2.35 P(-0.58≤z≤2.35)=P(z≤2.35)+P(Z≤0.58)= =0.4906+0.2190=0.7096=70.96%
EJERCICIOS
SOLUCIÓN. Tipificando x=140 μ=123 σ=13.7 z=140-123/13.7= 1.24 P(z≥1.24)=0.5-P(z≤1.24)=0.5-0.3925=0.107=10.75%
3.La presión sanguinea sistólica media de hombres de 20 a 24 años de edad es de 123, con una desviación estandar de 13.7. Si se selecciona al azar uno de estos hombres.¿Cuál es la probabilidad de que su presioón sanguínea sea mayor que 140?
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