MATHS - Lycée - Fonctions exponentielle et logarithme

Exponentielle et logarithme népérien

Mathématiques - Remise à niveau

Stéphanie LEGER

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Exponentielle et logarithme népérien

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Plan

Objectifs

1. La fonction exponentielle 2. La fonction logarithme népérien

À la fin de cette séquence, tu seras capable de :

• résoudre une équation ou inéquation comportant une exponentielle
• réaliser une étude de fonction comportant une exponentielle
• résoudre une équation ou inéquation comportant un logarithme népérien
• réaliser une étude de fonction comportant un logarithme népérien

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Fonctions exponentielle et logarithme

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Plan

1. La fonction exponentielle

2. La fonction logarithme népérien

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1. La fonction exponentielle

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Activité 1

Le carbone 14 est un isotrope du carbone, présent en infime proportion dans la nature mais de manière constante. Lors de la mort d'un être vivant, les atomes de carbone 14 qu'il contient se désintègre . La vitesse de désintégration (nombre de désintégration par unité de temps) est proportionnelle à la quantité d'atomes encore présents. On note λ le coefficient de proportionnalité. Le graphique ci-dessous présente cette désintégration au cours du temps. Les points A, B, C et D sont de coordonnées respectives (20;78,51), (40;61,63), (100;29.82) et (120;23,41)

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1. La fonction exponentielle

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Activité 1 (suite)

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1. La fonction exponentielle

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Activité 2

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1. La fonction exponentielle

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Activité 3

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1. La fonction exponentielle

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Cours

Définition - Propriété :

Il existe une unique fonction f, définie et dérivable sur ℝ qui vérifie . Cette fonction est notée exp et appelée fonction exponentielle. On a donc : , et

Notation :

On conviendra de noter, avec ; e est un nombre réel non rationnel tel que e ≈ 2.718281828

Propriétés :

La fonction exponentielle est :

• strictement positive sur ℝ :
• strictement croissante sur ℝ :

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1. La fonction exponentielle

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Cours

Exercice

Propriété :

Soient a et b deux réels ; on a :

• si et seulement si a = b
• si et seulement si a > b
• si et seulement si a ≥ b
• si et seulement si a < b
• si et seulement si a ≤ b

Exemple :

Résoudre l'équation : Résoudre l'inéquation :

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1. La fonction exponentielle

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Cours

Exercice

Propriété :

Pour tous réels x et y et pour tout entier relatif n, on a : ; ; ;

Exemple :

Notation :

On aurait pu écrire ces formules avec l'autre notation pour la fonction exponentielle (par exemple : exp(x+y) = exp(x)exp(y)), mais sous la forme utilisée dans les propriétés, elles sont plus faciles à retenir puisqu'elle respectent les mêmes règles de calcul qu'avec les puissances.

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1. La fonction exponentielle

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Exercice

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1. La fonction exponentielle

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Cours

Propriétés :

• La dérivée de la fonction exponentielle est elle même donc si alors
• La dérivée d'une fonction de la forme avec a ∈ ℝ est
• De manière générale, la dérivée d'une fonction de la forme avec u une fonction dérivable est

Exemple :

La dérivée de la fonction : est

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1. La fonction exponentielle

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Exercice

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1. La fonction exponentielle

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Cours

Exercice

Propriété :

• ; on en déduit que
• ; on en déduit que

Corollaire : croissance comparée

Pour tout entier naturel n, on a :

Exemple :

On souhaite déterminer : Grâce aux propriétés de limites de quotient :

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1. La fonction exponentielle

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Exercice de synthèse

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Fonctions exponentielle et logarithme

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Plan

1. La fonction exponentielle

2. La fonction logarithme népérien

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2. La fonction logarithme népérien

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Activité 4

On cherche à construire des tables numériques à deux colonnes, mettant en correspondance les nombres de manière qu'à la multiplication de deux nombres de la colonne de gauche corresponde l'addition de deux nombres de la colonne de droite. John Napier publie la première table de ce type en 1614 après 40 ans de travail. En voici un extrait :

Voici un exemple illustrant la procédure calculatoire : 2 x 3 = 6 et 0.69315 + 1.09861 = 1.791756 On vérifie que le nombre qui correspond à 6 placé dans la colonne de gauche est bien 1.791756 dans la colonne de droite.

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2. La fonction logarithme népérien

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Activité 4 (suite)

Conclusion : On vient de découvrir que la fonction logarithme Népérien définie sur ℝ+* est la solution de l'équation focntionnelle avec . Il en découle la propriété algébrique fondamentale suivante : .

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2. La fonction logarithme népérien

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Cours

Définition :

On appelle logarithme népérien du réel strictement positif a l'unique solution de l'équation . Le logarithme népérien de a se note ln(a).

Définition :

La fonction logarithme népérien est la fonction f définie sur ]0 ; ∞[ par

Propriétés :

Pour tout réel a > 0, et pour tout réel b > 0, on a l'équivalence : Les fonctions ln et exp sont dites réciproques l'une de l'autre. Graphiquement, dans un repère orthonormé, cela signifie que leurs courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice du repère (la droite d'équation y = x).

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2. La fonction logarithme népérien

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Cours

Exercice

Propriétés :

• Variation : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; ∞[ .
• Signe :
• ln s'annule en 1 (autrement dit, ln(1) = 0 )
• sur ]0 ; 1[ ;
• sur ]1 ; +∞[ ;

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2. La fonction logarithme népérien

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Cours

Exercice

Propriétés :

Pour tous réels a et b strictement positifs :

• ln(a) = ln(b) si et seulement si a = b
• ln(a) < ln(b) si et seulement si a < b
• ln(a) ≤ ln(b) si et seulement si a ≤ b
• ln(a) > ln(b) si et seulement si a > b
• ln(a) ≥ ln(b) si et seulement si a ≥ b

Remarques :

Dans les faits, pour résoudre des équations exponentielles et logarithmes, on utilisera les équations fonctionnelles :

Exemple :

Résoudre dans ]0 ; +∞[ l'équation :

Cette équation admet une solution

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2. La fonction logarithme népérien

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Exercice

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2. La fonction logarithme népérien

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Cours

Exercice

Exemple :

On souhaite résoudre dans ℝ l'inéquation : 6 n ≥ 400

Méthode :

• On transforme l'inéquation en composant avec le logarithme népérien dans chacun des deux membres (en se rappelant que la fonction ln est strictement croissante
• On utilise une propriété de la fonction ln pour avoir accès à l'inconnue en dehors de l'exposant
• On résout l'inéquation obtenue en veillant à changer le sens des inégalités si l'on divise par un nombre négatif

Résolution :

Dans ℝ, l'ensemble des solutions est :

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2. La fonction logarithme népérien

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Cours

Exercice

Propriétés :

• La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +∞[
• Si, pour tout x > 0, , alors pour tout x > 0,
• Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, telle que, pour tout

Alors, la fonction : est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction

Exemple :

Pour tout . Ainsi, la fonction f définie sur ℝ par a pour dérivée la fonction f' définie, pour tout par

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2. La fonction logarithme népérien

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Exercice

Cours

Propriétés :

et

Corollaire : croissance comparée

Pour

Exemple :

On souhaite déterminer : On a donc une forme indéterminée. Par croissance comparée, on a Comme on a :

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2. La fonction logarithme népérien

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Exercice

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Fonctions exponentielle et logarithme

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Fin

Attributions

Nous avons emprunté et modifié un certain nombre de ressources disponibles sous licence creative commons à différents auteurs pour créer ces séquences de remise à niveau. Nous les remercions et leur dédions cette page pour les créditer.