Introducción a las derivadas
Manuel García de Vie
Created on June 10, 2024
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4º ESO - Matemáticas B
Empezar
Introducción a las derivadas
Manuel A. García de Viedma Alonso
Introducción
Las derivadas son un concepto fundamental en el cálculo y se utilizan ampliamente en las matemáticas, la física y otras áreas de la ciencia. En términos simples, una derivada representa la tasa de cambio de una función en un punto dado.En geeneral las derivadas las vamos a utilizar cuando queramos saber como va cambiando una funcion según cambia la variable.Si quieres saber un poco más sobre las derivadas puedes ver el video adjunto
5. Encuesta
4. Evaluación
3. Actividades
2. Módulos
1. Objetivos
Índice
El objetivo de este tema es que empieces a entender a que es la derivada de una función en un punto, que es una función derivada, como se calcula y para que las vamos a utilizar
Objetivos
Veremos ejemplos de para que nos sirve calcular la derivada de una función
Aprenderemos que significa que la derivada de una función en un punto sea un determinado valor
y un monton de cosas más
Para que utilizaremos la derivada de una función
Derivada de una función en un punto, función derivada y propiedades de la función derivada
Módulos
Recordando conceptos de las funciones
Recordando conceptos de las funciones
01
Antes de empezar con el tema vamos a recordar conceptos que nos van a ser útiles en este tema tales como- Pendiente de una recta- Crecimiento y decrecimiento- Tasa de Variación Máxima (T.V.M.)- Máximos y mínimos de una función- Límite de una función.
Recordando conceptos
01
En las funciones lineales llamamos pendiente de la función, y lo indicamos normalmente con la letra m, a la inclinación de la recta y se calcula dividiendo el incremento de la variable dependiente, y, entre el incremento de la variable independiente, xDe tal forma que en las funciones lineales la función será creciente cuando el valor de la pendiente sea mayor que 0 y decreciente cuando el valor de la pendiente sea menor que 0Pincha en el enlace de Geogebra para ver un ejemplo.
1.Pendiente de una función
Las funciones pueden ser crecientes o decrecientes a lo largo de su dominio o en un cierto intervalo. Decimos que una función f(x) es creciente en el intervalo (a,b) si dados dos puntos de (a,b) x1 y x2 tal que a < x1 < x2 < b entonces se cumple que f(a) < f(x1) < f(x2) < f(b) y f(a) < f(b)Decimos que una función f(x) es decreciente en el intervalo (a,b) si dados dos puntos de (a,b) x1 y x2 tal que a < x1 < x2 < b entonces se cumple que f(a) > f(x1) > f(x2) > f(b) y f(a) > f(b)Las funciones crecientes son aquellas que nunca decrecen, siempre aumentan su valor o se mantienen cuando el valor de la variable independiente se hace mas grande. Análogamente, las funciones decrecientes nunca crecen, siempre disminuyen su valor o se mantienen cuando el valor de la variable independiente se hace mas grande.Por otra parte, podemos definir funciones estrictamente crecientes o decrecientes: éstas nunca se mantendrán en un mismo valor: o aumentan o disminuyen respectivamenteDecimos que una función f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (a,b) si dados dos puntos de (a,b) x1 y x2 tal que a < x1 < x2 < b entonces se cumple que f(a) < f(x1) < f(x2) < f(b)Decimos que una función f(x) es esctrictamente decreciente en el intervalo (a,b) si dados dos puntos de (a,b) x1 y x2 tal que a < x1 < x2 < b entonces se cumple que f(a) > f(x1) > f(x) > f(b)
2.Crecimiento y decrecimiento
3. Tasa de Variación Media (T.V.M)
Vamos a tratar de cuantificar cómo es el crecimiento de una función. Trataremos de encontrar en que intervalos crece más, en qué intervalos crece menos, en qué intervalos no crece o en cuáles es decreciente.Para ello vamos a calcular la relación entre la variacion del valor de una función en un intervalo y la variación del valor de la variable independiente en ese mismo intervalo.A esta relación la vamos a llamar Tasa de Variación Media y nos indica como cambia la función en un intervaloSe llama tasa de variación media (TVM) de una función, y=f(x), en un intervalo [a,b] al cociente:Si dado un intervalo (a,b) tal que b > a llamamos h a la diferencia entre ambos valores tal que h = b-a la anterior expresión la podemos definir de la siguiente forma:Gráficamente, la tasa de variación media es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a,b) y (f(a),f(b)), o lo que es lo mismo, por los puntos (a,a+h) y (f(a),f(a+h))Como podemos ver en este geogebra.
4. Máximos y mínimos
Dada una función f(x) decimos que c es un máximo de la función si existe un intervalo [a, b] tal que a < c < b en el que se cumple que para todo x incluido en el intervalo se cumple que f(x) < f(c) Dada una función f(x) decimos que c es un mínimo de la función si existe un intervalo [a, b] tal que a < c < b en el que se cumple que para todo x incluido en el intervalo se cumple que f(x) > f(c) Dada una función f(x) decimos que c es un máximo absoluto de la función si se cumple que para todo x incluido en el Dom f(x) se cumple que f(x) < f(c) Dada una función f(x) decimos que c es un mínimo absoluto de la función si se cumple que para todo x incluido en el Dom f(x) se cumple que f(x) > f(c)
Si un valor es un máximo pero no es máximo absoluto se denomina máximo relativoSi un valor es un mínimo pero no es mínimo absoluto se denomina mínimo relativo
3. Propiedades de las derivadas
2. Función derivada
1. Derivada de una función en un punto
Modulo 2
La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente entre lo que aumenta el valor de la función al aumentar el valor de la variable independiente entre el aumento de la variable independiente cuando ese aumento tiende a 0.En otras palabras si la T.V.M. era la relación entre la diferencia de valor de la función en los bordes de un intervalo entre la longitud del intervalo, la derivada de una función en un punto es el valor que toma esa T.V.M. en un determinado punto cuando la longitud del intervalo tiende a 0
1. a Derivada de una función en un punto
En el geogebra adjunto podeis comprobar como en la función representada cuando el valor de h se aproxima a 0 el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h) se va aproximando al valor de la recta tangente a la función en ese puntoAdjunto un video por si teneis alguna duda
En la diapositiva anterior definiamos la derivada de una función f(x) en un punto x = a como el valor del límite, si existe, del cociente entre lo que aumenta el valor de la función al aumentar el valor de la variable independiente entre el aumento de la variable independiente cuando ese aumento tiende a 0.Cuando estudiamos como va variando el valor de la función a lo largo de la misma entonces estamos estudiando la funcion derivada de otra función, o dicho de otra forma la función derivada de una función es aquella función que nos define la forma en la que varía la pendiente de la recta tangente a los distintos puntos de la función a lo largo de los distintos valores que puede tomar la variable independiente
2. a Función derivada
En el geogebra adjunto podeis ver como para cada punto de la función f(x), dibujada en verde, podemos obtener el valor de la derivada de esa función en ese punto, que es la recta tangente a la función en ese punto, en morado, y, si dibujamos el punto C, de coordenadas x e y, la abcisa de la función en ese punto y la derivada de la función en ese punto (en rojo en el archivo) y lo vamos haciendo para todos los puntos de la función f(x) obtenemos la función derivada de f(x) que la denominamos como f'(x) (en rojo en el geogebra)
Sigue en la siguiente diapositiva
En el geogebra anterior la función derivada de la función era una recta como podemos ver la imagen adjunta
2. b Función derivada (2ª parte)
Pero como se puede observar en las siguientes imágenes en función del tipo de función, la forma de la función derivada variará. En los siguientes diapositivas veremos como calcular las principales funciones derivadas de las funciones
Funcion logaritmo neperiano
Funcion seno
Funcion cuadrática
Funcion exponencial
Funcion polinómica
Sigue en la siguiente diapositiva
2.c Función derivada (3ª parte)
Sigue en la siguiente diapositiva
Vamos a ver como podríamos calcula la función derivada de una función a partir de la definición
En la primera diapositiva de esta parte hemos definido la derivada de una función en punto x = a como el valor del límite, si existe, del cociente entre lo que aumenta el valor de la función al aumentar el valor de la variable independiente entre el aumento de la variable independiente cuando ese aumento tiende a 0, o puesto en notación matemática comoGeneralizando para todo x perteneciente a la función podemos calcular la derivada de la función f'(x) como En la siguiente diapositiva veremos como podríamos calcular la derivada de una función a partir de esta definición
2.d Función derivada (4ª parte)
Sigue en la siguiente diapositiva
Vamos a ver como podríamos calcula la función derivada de una función a partir de la definición
Si quieres una explicación mas detallada de esta operación pincha aqui
2.e Función derivada (5ª parte)
Este mismo proceso lo podriamos aplicar a cualquier función pero quizas sea más facil aprendernos las derivadas de los principales tipos de funciones y las principales propiedades de las derivadas
Tabla de derivadas inmediatas
Una vez vistas las las derivadas de los principales funciones elementales vamos a ver las propiedades de las derivadas que nos ayudarán a poder derivar cualquier tipo de funciónFunción constante - f(x) = k siendo k un nº real --> f'(x) = 0Derivada de una función por una constante f(x) = k · u(x) siendo k un nº real --> f'(x) = k·u'(x) donde u'(x) es la derivada de u(x)Derivada de la suma de una funcion y una constante f(x) = u(x) + k siendo k un nº real --> f'(x) = u'(x) donde u'(x) es la derivada de u(x)Derivada de la suma de funciones f(x) = u(x) + v(x) --> f'(x) = u'(x) + v'(x) donde u'(x) y v'(x) son las derivadas de u(x) y v(x) respectivamenteDerivada de la multiplicación de funciones f(x) = u(x)·v(x) --> f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x) donde u'(x) y v'(x) son las derivadas de u(x) y v(x) respectivamenteDerivada de la división de funciones f(x) = u(x)/v(x)--> f'(x) = (u'(x)·v(x) - u(x)·v'(x))/v2(x) donde u'(x) y v'(x) son las derivadas de u(x) y v(x) respectivamente
3.a Propiedades de las derivadas
Sigue en la siguiente diapositiva
Todas estas propiedades las podemos resumir e la siguiente tabla
3.b Propiedades de las derivadas (2º parte)
Sabemos que la composición de funciones consiste en definir funciones cuyas variables son a su vez otras funciones. (f∘g)(x)=f(g(x)), g es la función que se aplica en primer lugar, "la de dentro", y f es la que se aplica en segundo lugar, "la de fuera".La regla de la cadena sirve para calcular la derivada de una función que viene dada como composición de dos funciones. Para hallar la derivada utilizaremos la siguiente fórmula: (f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)Quizas lo veamos mejor con un ejemploTenemos la función f(x) = sen (x3), esta función la podemos expresar como la combinación de dos funciones g(x) sen (x) y h(x) = x3 luego f(x) = g(h(x)) o (h∘g)(x)Aplicando la regra de la cadena f'(x) = g′(h(x))⋅h′(x), como según la tabla de las diapositivas anteriores la derivada de g(x)=Sen (x) es g'(x) = Cos (x) y la derivada de h(x)=x3 es h'(x)= 3x2 entonces f'(x) = Cos (x3)·3x2
3.c Propiedades de las derivadas - Regla de la cadena
Para derivar este tipo de funciones vamos a aplicar lo que sabemos de ecuaciones exponenciales y de las propiedades de las derivadasVamos a verlo con un ejemplo
3.d Funciones potenciales exponenciales tipo f(x) =g(x)h(x)
Para que utilizaremos la derivada de una función
03
4. Calcular los máximos y mínimos
3. Estudiar la continuidad de funciones
2. Calcular la recta tangente a una función en un punto
Para que nos sirve calcular la derivada de una función
1. Comprobar el crecimiento o decrecimiento de una funcion
1. Crecimiento y decrecimiento
La derivada de una función en un punto nos indica el ritmo de cambio de la función en dicho punto. Una consecuencia inmediata es que la derivada nos va a permitir saber si la función crece o decrece en un punto determinado con solo atender al signo del valor de la derivada. Si la derivada es positiva, la variación de la función es positiva, por tanto crece en el punto considerado. Por el contrario, si la derivada es negativa, la variación es negativa, por lo que la función decrece en el punto considerado.En el geogebra adjunto podemos observar como al deslizar el punto B por el eje de abcisas la derivada del punto C va cambiando de valor y en aquellos puntos donde la función decrece la derivada es negartiva y donde crece la derivada es positiva
2. Recta tangente a una función en un punto
Cuando hemos estudiado la geoometria en el plano hemos visto que una forma de definir una recta es mediante la pendiente de la recta (m) y un punto A de la recta de coordenadas (xA, yA)mediante la ecuacion y = m(x - xA) + yA (1)Entonces dada una función f(x), si tomamos un punto cualquiera de esa función de abcisa x = a, la función pasará por el punto (a, f(a)) y, de acuerdo con la definicíon de dereivada de una función en un punto, la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto será f'(a), luego ya tenemos el valor de la pendiente de la recta tangente y el valor de las coordenadas de un punto de la recta, con lo que sustituyendo en la ecuacion (1) tenemos:y = f'(a) (x - a) + f(a).A continuación puedes ver un geogebra con este desarrollo
3. Continuidad de una función
En cursos anteriores habiamos definido de forma sencilla que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz.Cuando hablamos de límites dijimos que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes: * La función existe en a, es decir a esta incluido en el dominio de definición de f(x) ->* Existe límite de f(x) cuando x tiende a a, es decir existen los limites por la derecha y por la izquierda de f(x) cuando x tiende a "a" y son iguales y * El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales es decir De la definición de la derivada de una función en un punto podemos deducir que si podemos calcular la derivada de una función en un punto, existe la recta tangente a esa función en ese punto y es única, luego podemos decir que si existe la derivada de la función en un punto la función es continua en ese punto.
Ojo, una función puede ser continua en un punto y no existir la derivada de esa función en ese punto
En la siguiente diapositiva veremos ejemplos de estudios de continuidad de funciones utilizando la derivada de una función
3. Continuidad de una función (2ª parte)
Ejemplo de función continua derivable en todos sus puntos
Ejemplo de función discontinua
Ejemplo de función continua no derivable en todos sus puntos
4. Máximos y mínimos
Hasta ahora sabiamos identificar, una vez representada una función, en que puntos la función tenía un máximo o un mínimoDecíamos que la función tenía un máximo en un punto si en los puntos inmediatamente anteriores a ese la funcíon era creciente y en los inmediatamente posteriores era decreciente, e igualmente decíamos que la función tenía un mínimo en un punto si en los puntos inmediatamente anteriores a ese la funcíon era decreciente y en los inmediatamente posteriores era crecienteBueno pues vamos a utilizar esa definición y la definición de derivada de una función en un punto para calcular los puntos en los que la función tiene un máximo o un mínimo.Vamos prmero a repasar lo que ya sabemos.Si la función es creciente el valor de la derivada de la función en ese punto es positiva y si es decreciente es negativa.Cuando pasa de positiva a negativa el valor va disminuyendo progresivamenta hasta llegar un momento en el que vale 0, en ese momento en el que no es ni positiva ni negativa la función no es creciente ni decreciente y es el punto exacto en el que pasa de ser creciente a decreciente, luego ese punto es un máximo. En el geogebra adjunto lo podeis ver con detenimiento
4. Máximos y mínimos (2ª parte)
Igualmente, cuando pasa de negativa a positiva el valor va aumentando progresivamenta hasta llegar un momento en el que vale 0, en ese momento en el que no es ni negativa ni positiva la función no es creciente ni decreciente y es el punto exacto en el que pasa de ser decreciente a creciente, luego ese es un mínimo. En el geogebra adjunto lo podeis ver con detenimiento
Luego, de esta forma, calcular los puntos donde una función tiene un máximo o un mínimo será tan facil como calcular los puntos donde la cerivada de a funcón se hace 0. Ahora bien, ¿Podremos calcular tambien si en ese punto lo que tenenmos en un máximo o un mínimo?Una manera sería ver como es la función en los dos lados del punto, sabemos que si en los puntos situados a la izquierda es creciente y en los situados a la derecha es decreciente, entonces es un máximo y si en los puntos situados a la izquierda es decreciente y en los situados a la derecha es creciente, entonces es un mínimoPero eso tambirn lo podemos calcular de una forma mas fácil, en las próximas dispositiva veremos como
4. Máximos y mínimos (Derivada 2ª)
Antes de seguir con el estudio de los máximos y mínimos famos a volver un poco a la función derivada.Hemos dicho en la definición que la función derivada es una función que relaciona cada punto de una función con la tangente a esa función en ese punto. Es decir la función derivada vuelve a ser otra función por lo cual podremos volver a calcular la derivada de esa nueva función.A esta nueva derivada la llamaremos derivada segunda de f(x) y la denotaremos por f''(x)Para ver laspropiedades de esta derivada segunda y como afecta al cálculo de los máximos y mínimos de una función vamos a ver el siguiente geogebra
Tarea 2
Tarea 1
¡Comprueba lo que sabes!
Tarea 3
02:00
Tarea 1
fin de la tarea 1
01:30
Tarea 2
fin de la tarea 2
01:30
Tarea 3
fin de la tarea 3
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