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4º ESO - Matemáticas B

Empezar

Introducción a las derivadas

Introducción

Las derivadas son un concepto fundamental en el cálculo y se utilizan ampliamente en las matemáticas, la física y otras áreas de la ciencia. En términos simples, una derivada representa la tasa de cambio de una función en un punto dado.En geeneral las derivadas las vamos a utilizar cuando queramos saber como va cambiando una funcion según cambia la variable.Si quieres saber un poco más sobre las derivadas puedes ver el video adjunto

5. Encuesta

4. Evaluación

3. Actividades

2. Módulos

1. Objetivos

Índice

El objetivo de este tema es que empieces a entender a que es la derivada de una función en un punto, que es una función derivada, como se calcula y para que las vamos a utilizar

Objetivos

Veremos ejemplos de para que nos sirve calcular la derivada de una función

Aprenderemos que significa que la derivada de una función en un punto sea un determinado valor

y un monton de cosas más

Para que utilizaremos la derivada de una función

Derivada de una función en un punto, función derivada y propiedades de la función derivada

Módulos

Recordando conceptos de las funciones

Recordando conceptos de las funciones

01

Antes de empezar con el tema vamos a recordar conceptos que nos van a ser útiles en este tema tales como- Pendiente de una recta- Crecimiento y decrecimiento- Tasa de Variación Máxima (T.V.M.)- Máximos y mínimos de una función- Límite de una función.

Recordando conceptos

01

En las funciones lineales llamamos pendiente de la función, y lo indicamos normalmente con la letra m, a la inclinación de la recta y se calcula dividiendo el incremento de la variable dependiente, y, entre el incremento de la variable independiente, xDe tal forma que en las funciones lineales la función será creciente cuando el valor de la pendiente sea mayor que 0 y decreciente cuando el valor de la pendiente sea menor que 0Pincha en el enlace de Geogebra para ver un ejemplo.

1.Pendiente de una función

Las funciones pueden ser crecientes o decrecientes a lo largo de su dominio o en un cierto intervalo. Decimos que una función f(x) es creciente en el intervalo (a,b) si dados dos puntos de (a,b) x1 y x2 tal que a < x1 < x2 < b entonces se cumple que f(a) < f(x1) < f(x2) < f(b)Decimos que una función f(x) es decreciente en el intervalo (a,b) si dados dos puntos de (a,b) x1 y x2 tal que a < x1 < x2 < b entonces se cumple que f(a) > f(x1) > f(x2) > f(b)Las funciones crecientes son aquellas que nunca decrecen, siempre aumentan su valor o se mantienen cuando el valor de la variable independiente se hace mas grande. Análogamente, las funciones decrecientes nunca crecen, siempre disminuyen su valor o se mantienen cuando el valor de la variable independiente se hace mas grande.Por otra parte, podemos definir funciones estrictamente crecientes o decrecientes: éstas nunca se mantendrán en un mismo valor: o aumentan o disminuyenDecimos que una función f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (a,b) si dados dos puntos de (a,b) x1 y x2 tal que a < x1 < x2 < b entonces se cumple que f(a) < f(x1) < f(x2) < f(b)Decimos que una función f(x) es esctrictamente decreciente en el intervalo (a,b) si dados dos puntos de (a,b) x1 y x2 tal que a < x1 < x2 < b entonces se cumple que f(a) > f(x1) > f(x) > f(b)

2.Crecimiento y decrecimiento

3. Tasa de Variación Media (T.V.M)

Vamos a tratar de cuantificar cómo es el crecimiento de una función. Trataremos de encontrar en que intervalos crece más, en qué intervalos crece menos, en qué intervalos no crece o en cuáles es decreciente.Para ello vamos a calcular la relación entre la variacion del valor de una función en un intervalo y la variación del valor de la variable independiente en ese mismo intervalo.A esta relación la vamos a llamar Tasa de Variación Media y nos indica como cambia la función en un intervalosSe llama tasa de variación media (TVM) de una función, y=f(x), en un intervalo [a,b] al cociente:Si dado un intervalo (a,b) tal que b > a llamamos h a la diferenci entre ambos valores tal que h = b-a la anterior expresión la podemos definir de la siguiente forma:Gráficamente, la tasa de variación media es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a,b) y (f(a),f(b)), o lo que es lo mismo, por los puntos (a,a+h) y (f(a),f(a+h))Como podemos ver en este geogebra.

4. Máximos y mínimos

Dada una función f(x) decimos que c es un máximo de la función si existe un intervalo [a, b] tal que a < c < b en el que se cumple que para todo x incluido en el intervalo se cumple que f(x) < f(c) Dada una función f(x) decimos que c es un mínimo de la función si existe un intervalo [a, b] tal que a < c < b en el que se cumple que para todo x incluido en el intervalo se cumple que f(x) > f(c) Dada una función f(x) decimos que c es un máximo absoluto de la función si se cumple que para todo x incluido en el Dom f(x) se cumple que f(x) < f(c) Dada una función f(x) decimos que c es un mínimo absoluto de la función si se cumple que para todo x incluido en el Dom f(x) se cumple que f(x) > f(c)

Si un valor es un máximo pero no es máximo absoluto se denomina máximo relativoSi un valor es un mínimo pero no es mínimo absoluto se denomina mínimo relativo

3. Propiedades de las derivadas

2. Función derivada

1. Derivada de una función en un punto

Modulo 2

La derivada de una función f(x) en un punto x = a es el valor del límite, si existe, del cociente entre lo que aumenta el valor de la función al aumentar el valor de la variable independiente entre el aumento de la variable independiente cuando ese aumento tiende a 0.En otras palabras si la T.V.M. era la relación entre la diferencia de valor de la función en los bordes de un intervalo entre la longitud del intervalo, la derivada de una función en un punto es el valor que toma esa T.V.M. en un determinado punto cuando la longitud del intervalo tiende a 0

1. a Derivada de una función en un punto

En el geogebra adjunto podeis comprobar como en la función representada cuando el valor de h se aproxima a 0 el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h) se va aproximando al valor de la recta tangente a la función en ese puntoAdjunto un video por si teneis alguna duda

En la diapositiva anterior definiamos la derivada de una función f(x) en un punto x = a como el valor del límite, si existe, del cociente entre lo que aumenta el valor de la función al aumentar el valor de la variable independiente entre el aumento de la variable independiente cuando ese aumento tiende a 0.Cuando estudiamos como va variando el valor de la función a lo largo de la misma entonces estamos estudiando la funcion derivada de otra función, o dicho de otra forma la función derivada de una función es aquella función que nos define la forma en la que varía la pendiente de la recta tangente a los distintos puntos de la función a lo largo de los distintos valores que puede tomar la variable independiente

2. a Función derivada

En el geogebra adjunto podeis ver como para cada punto de la función f(x), dibujada en verde, podemos obtener el valor de la derivada de esa función en ese punto, que es la recta tangente a la función en ese punto, en morado, y, si dibujamos el punto C, de coordenadas x e y, la abcisa de la función en ese punto y la derivada de la función en ese punto (en rojo en el archivo) y lo vamos haciendo para todos los puntos de la función f(x) obtenemos la función derivada de f(x) que la denominamos como f'(x) (en rojo en el geogebra)

Sigue en la siguiente diapositiva

En el geogebra anterior la función derivada de la función era una recta como podemos ver la imagen adjunta

2. b Función derivada (2ª parte)

Pero como se puede observar en las siguientes imágenes en función del tipo de función, la forma de la función derivada variará. En los siguientes diapositivas veremos como calcular las principales funciones derivadas de las funciones

Funcion logaritmo neperiano

Funcion seno

Funcion cuadrática

Funcion exponencial

Funcion polinómica

Sigue en la siguiente diapositiva

2.c Función derivada (3ª parte)

Sigue en la siguiente diapositiva

Vamos a ver como podríamos calcula la función derivada de una función a partir de la definición

En la primera diapositiva de esta parte hemos definido la derivada de una función en punto x = a como el valor del límite, si existe, del cociente entre lo que aumenta el valor de la función al aumentar el valor de la variable independiente entre el aumento de la variable independiente cuando ese aumento tiende a 0, o puesto en notación matemática comoGeneralizando para todo x erteneciente a la función podemos calcular la derivada de la función f'(x) como En la siguiente diapositiva veremos como podríamos calcular la derivada de una función a partir de esta definición

2.d Función derivada (4ª parte)

Sigue en la siguiente diapositiva

Vamos a ver como podríamos calcula la función derivada de una función a partir de la definición

2.e Función derivada (5ª parte)

Este mismo proceso lo podriamos aplicar a cualquier función pero quizas más facil sea aprendernos las derivadas de los principales tipos de funcionesy las principales propiedades de las derivadas

Tabla de derivadas inmediatas

Una vez vistas las las derivadas de los principales funciones elementales vamos a ver las propiedades de las derivadas que nos ayudarán a poder derivar cualquier tipo de funciónFunción constante - f(x) = k siendo k un nº real --> f'(x) = 0Derivada de una función por una constante f(x) = k · u(x) siendo k un nº real --> f'(x) = k·u'(x) donde u'(x) es la derivada de u(x)Derivada de la suma de una funcion y una constante f(x) = u(x) + k siendo k un nº real --> f'(x) = u'(x) donde u'(x) es la derivada de u(x)Derivada de la suma de funciones f(x) = u(x) + v(x) --> f'(x) = u'(x) + v'(x) donde u'(x) y v'(x) son las derivadas de u(x) y v(x) respectivamenteDerivada de la multiplicación de funciones f(x) = u(x)·v(x) --> f'(x) = u'(x)·v(x) + u(x)·v'(x) donde u'(x) y v'(x) son las derivadas de u(x) y v(x) respectivamenteDerivada de la división de funciones f(x) = u(x)/v(x)--> f'(x) = (u'(x)·v(x) - u(x)·v'(x))/v2(x) donde u'(x) y v'(x) son las derivadas de u(x) y v(x) respectivamente

3.a Propiedades de las derivadas

Sigue en la siguiente diapositiva

Todas estas propiedades las podemos resumir e la siguiente tabla

3.b Propiedades de las derivadas (2º parte)

Sigue en la siguiente diapositiva

Sabemos que la composición de funciones consiste en definir funciones cuyas variables son a su vez otras funciones. (f∘g)(x)=f(g(x)), g es la función que se aplica en primer lugar, "la de dentro", y f es la que se aplica en segundo lugar, "la de fuera".La regla de la cadena sirve para calcular la derivada de una función que viene dada como composición de dos funciones. Para hallar la derivada utilizaremos la siguiente fórmula: (f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)Quizas lo veamos mejor con un ejemploTenemos la funcíon f(x) = sen (x3), esta función la podemos expresar como la combinación de dos funciones g(x) sen (x) y h(x) = x3 luego f(x) = g(h(x) o (h∘g)(x)Aplicando la regra de la cadena f'(x) = g′(h(x))⋅h′(x), como según la tabla de las diapositivas anteriores la derivada de g(x)=Sen (x) es g'(x) = Cos (x) y la derivada de h(x)=x3 es h'(x)= 3x2 entonces f'(x) = Cos (x3)·3x2

3.c Propiedades de las derivadas - Regla de la cadena

Sigue en la siguiente diapositiva

Para derivar este tipo de funciones vamos a plicar lo que sabemos de ecuaciones exponenciales y de las propiedades de las derivadasVamos a verlo con un ejemplo

3.d Funciones potenciales exponenciales tipo f(x) =g(x)h(x)

Para que utilizaremos la derivada de una función

03

4. Calcular los máximos y mínimos

3. Estudiar la continuidad de funciones

2. Calcular la recta tangente a una función en un punto

Para que calculamos los limites de una función

1. Comprobar el crecimiento o decrecimiento de una funcion

1. Crecimiento y decrecimiento

La derivada de una función en un punto nos indica el ritmo de cambio de la función en dicho punto. Una consecuencia inmediata es que la derivada nos va a permitir saber si la función crece o decrece en un punto determinado con solo atender al signo del valor de la derivada. Si la derivada es positiva, la variación de la función es positiva, por tanto crece en el punto considerado. Por el contrario, si la derivada es negativa, la variación es negativa, por lo que la función decrece en el punto considerado.En el geogebra adjunto podemos observar como al deslizar el punto B por el eje de abcisas la derivada del punto C va cambiando de valor y en aquellos puntos donde la función decrece la derivada es negartiva y donde crece la derivada es positiva

2. Recta tangente a una función en un punto

Cuando hemos estudiado la geoometria en el plano hemos visto que unaforma de definir una recta es mediante la pendiente de la recta (m) y un punto A de la recta de coordenadas (xA, yA)mediante la ecuacion y = m(x - xA) + yA (1)Entonces dada una función f(x), si tomamos un punto cualquiera de esa función de abcisa x = a, la función pasará por el punto (a, f(a)) y de acuerdo con la definicíon de dereivada de una función en un punto, la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto será f'(a), luego ya tenemos el valor de la pendiente de la recta tangente y el valor de las coordenadas de un punnto de la recta, con lo que sustituyendo en la ecuacion (1) tenemos:y = f'(a) (x - a) + f(a).A continuación puedes ver un geogebra con este desarrollo

3. Continuidad de una función

Esta indeterminación se resuelve mirando cuales la mayor potencia de x del numerador o del denominador y sacando factor común de esta tanto en el numerador como en el denominador. Una vez realizado esto resolvemos las distintas francciones que se hayan producido en el numerador como en el denominador y resovemos la fracción resultanteEjemplo:

4. Máximos y mínimos

Si la indeterminación aparece al restar dos expresiones racionales, se opera la diferencia y se calcula el límite.Si aparece al restar dos expresiones con algún radical cuadrático, se multiplica y divide por la expresión conjugada, se simplifica y se calcula el límiteEjemplo:

Tarea 2

Tarea 1

¡Comprueba lo que sabes!

Tarea 3

02:00

Tarea 1

fin de la tarea 1

02:00

Tarea 2

fin de la tarea 2

01:30

Tarea 3

fin de la tarea 3

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