Calculo Integral

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Calculo Integral

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Aneliz Ulloa Nava

Resumen

El cálculo integral es una rama del cálculo que se centra en la idea de acumulación y cambio continuo.El cálculo integral se ocupa del estudio de las propiedades y técnicas relacionadas con las integrales y las antiderivadas. Permite calcular áreas bajo curvas, volúmenes de sólidos y resolver problemas de acumulación y cambio. El cálculo integral tiene numerosas aplicaciones en diferentes campos, como la física, la ingeniería, la economía y la biología, entre otros.

INDICE

4-Integral Indefinida

3-Funcion Primitiva

2-Integral definida

1- Habilidades previas

ÍNDICE

5-Metodos de integracion

7- Series

6- Aplicaciones

Series…

Una serie es la suma de los términos de una sucesión infinita de números. Se representa típicamente como: Las series pueden converger, es decir, la suma de sus términos se aproxima a un valor finito, o pueden divergir, en cuyo caso la suma no tiene un valor finito.

Criterios

Serie de potencias

Series de Taylor

¿Qué saber antes de tomar cálculo integral?

En cierto sentido, el prerrequisito para Cálculo es estar familiarizado con álgebra, geometría y trigonometría. Después de todo, cada tema nuevo en matemáticas se construye sobre temas anteriores, lo que hace que sea tan importante su dominio en cada etapa.

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álgebra

trigonometría

geometría

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Integral indefinida

La integral indefinida, también conocida simplemente como integral, es un concepto en cálculo que representa una familia de funciones que son antiderivadas de una función dada.La integral indefinida no tiene límites de integración específicos, por lo que el resultado es una función más que un número. Esta función representa todas las posibles áreas bajo la curva de la función original. La constante de integración "C" se agrega a la solución de la integral indefinida debido a que hay infinitas funciones que pueden diferir por una constante.

Formulario

Métodos de integración

Integrales de funciones trigonométricas

Cambio de Variable

Info

Info

Fracciones parciales

Info

Integración por partes

Sustitución Trigonométrica

Info

Info

Integral Definida

Concepto de integral definida La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades

Función integral

Teorema fundamental

FUNCIÓN PRIMITIVA

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN PRIMITIVA.

• Sea f(x) una función real de variable real definida en un intervalo cerrado [a, b]⊆R. Se llama
• función primitiva de f(x) a otra función F(x) cuya derivada es f(x) en dicho intervalo.

F(x) es primitiva de f(x)⇔ F' (x) = f(x) ∀x ∈ [a, b]

Ejemplo

Areas

Area bajo la grafica de una funcion

Areas entre curvas

Longitud de curvas

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Aplicaciones

Áreas

Integral impropia

Otras

Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución

Referencias

• García, M. Á. R. (2022, 1 de julio). Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la razón y el criterio de la raíz . El Blog De Leo. https://blog.nekomath.com/calculo-diferencial-e-integral-ii-criterio-de-la-razon-y-el-criterio-de-la-raiz/
• García, M. Á. R. (2022b, 5 de noviembre). Cálculo Diferencial e Integral II: Criterio de la integral . El Blog De Leo. https://blog.nekomath.com/calculo-diferencial-e-integral-ii-prueba-de-la-integral/
• Westreicher, G. (24 de noviembre de 2022). Serie de Taylor . Economía. https://economipedia.com/definiciones/serie-de-taylor.html
• Moebs, W., Ling, SJ y Sanny, J. (28 de septiembre de 2021). 3.6 Calcular la velocidad y el desplazamiento a partir de la aceleración - Física universitaria volumen 1 | AbiertoStax . https://openstax.org/books/f%C3%ADsica-universitaria-volumen-1/pages/3-6-calcular-la-velocidad-y-el-desplazamiento-a-partir-de-la-aceleracion
• Fundación CK-12. (Dakota del Norte). Fundación CK-12 . https://www.ck12.org/book/ck-12-%c3%a1lgebra-ii-con-trigonometr%c3%ada-conceptos/section/11.4/
• Strang, G. y Herman, E. “. (2022, 24 de marzo). 3.4 Fracciones parciales - Cálculo volumen 2 | AbiertoStax . https://openstax.org/books/c%C3%A1lculo-volumen-2/pages/3-4-fracciones-parciales
• Integración por partes: Apuntes bachillerato | Estudiar más inteligentemente . (Dakota del Norte). StudySmarter ES. https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/integracion-por-partes/
• https://www.scribbr.com/citation/generator/folders/4FssupqBXKOwANdlYC63TQ/lists/2Y7aonRSiOkJ0uAKnJrZD3/
• García, M. Á. R. (2022b, 3 de noviembre). Cálculo Diferencial e Integral II: Antiderivadas . El Blog De Leo. https://blog.nekomath.com/calculo-diferencial-e-integral-ii-antiderivadas/
• Integrales indefinidas-hiru . (Dakota del Norte). https://www.hiru.eus/es/matematicas/integrales-indefinidas

Trigonometría

Debes sentirte cómodo con cada una de las funciones trigonométricas básicas: sin(x), cos(x) y tan (x).

• Conoce qué representa cada una.
• Conoce los valores de cada una de ellas cuando el valor de x es: 0, π/6, π/4, π/3, π/2.
• Conoce cómo se ven las gráficas de cada una de estas funciones.

Geometría

• Aprende a calcular el área de figuras sencillas.
• Aprende a calcular el volumen de figuras tridimensionales sencillas.
• Aprende a pensar sobre la sección transversal de una figura tridimensional.
• Geometría analítica.

Teorema fundamental del cálculo integral

Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma: donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.

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El cálculo del área entre curvas implica encontrar la diferencia entre las áreas bajo dos funciones en un intervalo dado. El área entre dos curvas f(x) y g(x) en el intervalo [a,b] se puede calcular mediante la integral definida: Este cálculo encuentra la diferencia absoluta entre las dos funciones y la integra sobre el intervalo dado.

Propiedades de la integral definida

• La integral definida cumple las siguientes propiedades:
• Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
• Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
• La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
• La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
• Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
• Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos);

• Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que;

¿área?

El área bajo la gráfica de una función se puede calcular mediante el cálculo integral. Si tienes una función f(x) definida en un intervalo [a,b], el área bajo la curva de f(x) en ese intervalo se puede encontrar calculando la integral definida de f(x) desde a hasta b es decir:

Ejemplo:

La función F(x)=sen(x) es una primitiva de la función cos(x), ya que;

La longitud de una curva en el plano se puede calcular utilizando integrales definidas. Supongamos que tenemos una curva definida por la función y = f(x) en el intervalo [a,b].La fórmula general para calcular la longitud de la curva entre dos puntos a y b es la integral definida:

Funcion Integral

Considerando una función f continua en [a, b] y un valor x Î [a, b], es posible definir una función matemática de la forma: donde, para no inducir a confusión, se ha modificado la notación de la variable independiente de x a t. Esta función, simbolizada habitualmente por F (x), recibe el nombre de función integral o, también, función área pues cuando f es mayor o igual que cero en [a, b], F (x) nos da el área.

Álgebra

Manipular expresiones

• Expresiones polinomiales.
• Ecuaciones lineales sencillas.
• Propiedades de los exponentes.

Funciones

• Que son?
• Como se grafican?
• Terminologia de las funciones.

Cambio de variable

Las integrales por cambio de variable —también conocidas como integrales por sustitución de variable— se realizan introduciendo una nueva variable en la ecuación y utilizando esta elección de cambio para que la integral sea más fácil de resolver.

Pasos:

• Elegir un cambio de variable que permita cambiar todos los términos y facilitar al máximo la integral.
• Diferenciar el cambio de variable, de forma que podamos cambiar el diferencial.
• Realizar el cambio de variable.
• Completar la integral.
• Deshacer el cambio de variable.

Integracion por partes

La mejor manera de ver la integración por partes es como la inversa de la regla del producto para la diferenciación. Formalmente, para una integral de dos funciones, y multiplicadas juntas. Entonces: Esta fórmula se escribe a veces como:

Integrales de Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas más comunes son seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Al integrar estas funciones, se aplican técnicas específicas según la función y el tipo de integral. Por ejemplo, las integrales de seno y coseno pueden resolverse usando identidades trigonométricas, mientras que las integrales de tangente y secante pueden requerir sustituciones trigonométricas.

Sustitución Trigonométrica

Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar cierto tipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas, como por ejemplo nuestra conocida fórmula:

Formulario de apoyo

Fracciones parciales

El método de fracciones parciales es una técnica utilizada para descomponer una fracción algebraica en una suma de fracciones más simples. Este método es útil para integrar funciones racionales más complejas. Es importante recordar que la descomposición en fracciones parciales solo es posible si el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Si el grado del numerador es igual o mayor que el del denominador.

Caso 3

Caso 1

Caso 2

Caso 4

Cálculo de volúmenes

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución.

• El Método de las arandelas

• El Método de los discos

Integral impropia

Una integral impropia es aquella en la que uno o ambos límites de integración son infinitos o la función a integrar tiene discontinuidades en el intervalo de integración. Para resolver una integral impropia, se realizan los siguientes pasos:

1. Si hay una discontinuidad en el intervalo de integración, se divide la integral en partes según la ubicación de las discontinuidades.
2. Se evalúa la integral para cada segmento de la función.
3. Si uno o ambos límites de integración son infinitos, se reescribe la integral con límites finitos y se toma el límite cuando estos límites tienden a infinito.

Aceleracion y velocidad

Serie de potencias

Radio de convergencia

Una expresi´on de la forma recibe el nombre de serie de potencias centrada en c. Una serie de potencias puede ser interpretada como una funci´on de x cuyo dominio es el conjunto de los x ∈ R para los que la serie es convergente y el valor de f(x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.

Nuestro objetivo ahora sera determinar el dominio de una serie de potencias.Por una parte esta claro que el centro c siempre est´a en el dominio ya que Puede ocurrir que la serie s´olo sea convergente en x = c, pero, en general, el campo de convergencia sera un intervalo; como nos indica el resultado siguiente.

Info

Serie de Taylor

La serie de Taylor es una serie de potencias que se prolonga hasta el infinito, donde cada uno de los sumandos está elevado a una potencia mayor al antecedente. Cada elemento de la serie de Taylor corresponde a la enésima derivada de la función f evaluada en el punto a, entre el factorial de n(n!),y todo ello, multiplicado por x-a elevado a la potencia n. En términos formales o matemáticos, la serie de Taylor tiene la siguiente forma: