Gauss et Sophie Germain

Gauss, Sophie Germain et les mathématiques

Prix Carl-Friedrich-Gauss

Le prix Carl-Friedrich-Gauss (entièrement appelé "prix Carl-Friedrich-Gauss pour les mathématiques appliquées") a été créé en 2006 et est décerné par l'Union mathématique internationale et l'Union mathématique allemande afin de récompenser les contributions remarquables dans le champs des sciences. Il est attribué tous les quatre ans lors du Congrès international des mathématiciens (au cours duquel sont décernées les prestigieuses médailles Fields).

Le prix, ainsi nommé d'après le mathématicien et physicien allemand Gauss, est doté d'une récompense de 10 000 dollars et il n'a de plus pas été fixé de limite d'âge pour le recevoir, contrairement à la médaille Fields.

Correspondance avec Sophie Germain

Lorsque l'armée napoléonnienne envahie la ville du mathématicien, Sophie Germain demande à un commandant Pernety, ami de sa famille, de placer Gauss sous protection militaire. C'est après cet événement qu'elle décide de lui révéler sa véritable identité dans une lettre le 20 février 1807. Dans sa réponse, Carl Friedrich avoue son étonnement mais aussi son admiration envers la jeune femme.

Sophie Germain, une jeune bourgeoise parisienne qui s'est formée seule aux mathématiques décide d'entamer une correspondance épistolaire avec Gauss suite à la lecture de son livre "Disquisitiones Arithmeticae". Elle lui écrit sous le pseudonyme masculin Antoine Auguste Leblanc par crainte de paraitre ridicule.

Pas de substitution !

Le pivot de Gauss : une méthode de résolution des systèmes linéaires

La methode du pivot de Gauss (ou élimination de Gauss-Jordan) est un algorithme de résolution de systèmes linéaires, aujourd'hui très utilisée car elle est algorithmique et donc plus facilement programmable informatiquement. Elle repose sur l'éxécution successsives de trois opérations élémentaires : - la transvection (ajout d'une ligne à une autre ligne) - la dilatation (multiplication d'une ligne par un scalaire) - la permutation (échange de deux lignes) Cette méthode a de nombreuses applications, comme la recherche de l'inverse d'une matrice, de son rang ou de son déterminant.

Gauss

Biographie

Carl Friedrich Gauss est un mathématicien et physicien allemand du XVIIIe et XIXe siècles. A 18 ans, il part à Göttingen pour ses études. Après trois ans d'enseignement, il s'oriente sur un doctorat qui aboutira au fameux théorème fondamental de l'algèbre. En 1831, il rencontre Wilhelm Weber, un physicien prussien, avec qui il collaborera longtemps, et avec lequel il entreprendra des recherches en magnétisme. Il meurt en 1855, et un heptadécagone est gravé sur sa tombe, en hommage à ses travaux sur la constructibilité des polygones réguliers.

Théorème de Gauss-Wantzel

Constructibilité des polygones réguliers

Enoncé :Un polygone régulier à n côtés est constructible (à la règle non graduée et au compas) si et seulement si n est le produit d'une puissance de 2 de nombres premiers de Fermat distincts.

où les pi sont des nombres premiers de Fermat, de la forme

La constructibilité des polygones réguliers est un problème qui remonte à l'Antiquité. C'est tout d'abord Euclide qui démontra la constructibilité ou non des polygones de cotés 3 à 6 et du pentadécagone (15 côtés). La contribution de Gauss et de Wantzel permettront de prouver et de trouver si possible une méthode de construction des polygones manquants

Construction du pentagone régulier

Celle-ci consistait à regrouper astucieusement les termes extrêmes par deux comme ci-dessous : 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 … 50 + 51 =101 soit 100 x 101 = 10100 Puis à diviser ce résultat par 2 car la suite était donc comptée 2 fois : 10100 : 2 = 5050 Il venait donc, sans le savoir encore, de découvrir la formule permettant de calculer la somme des termes d’une série arithmétique.

Un exercice plus court que prévu

Surnommé le petit prince des mathématiques, Gauss a su faire preuve d’un talent remarquable pour le calcul mental dès son plus jeune âge. En effet, une des anecdotes les plus marquantes concernait un problème que son professeur avait posé à lui et ses élèves, ayant pour but de les occuper. Le professeur leur avait ainsi demandé d’effectuer des additions et plus exactement d’effectuer la somme des nombres de 1 à 100. Après très peu de temps, le jeune Gauss, alors âgé de 10 ans, trouva la réponse correcte via une technique subtile.

Ce n'est pas fini...

Quelques autres contributions de Gauss en sciences

Le théorème de d'Alembert-Gauss (ou th. fondamental de l'analyse) énonce que tout polynôme non constant à coefficents complexes admet au moins une racine complexe

Le théorème de Gauss-Lucas assure que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l'enveloppe convexe des racines du polynôme d'origine

De plus, les conditions de Gauss sont obtenues lorsque les rayons lumineux possèdent un angle d'incidence très faible par rapport à l'axe optique, et en sont peu éloignés. Ils sont dits paraxiaux et cette approximation permet de simplifier les calculs dans le cadre de l'optique géométrique

On la connaît bien celle-là !

Les fonctions gaussiennes

Un fonction gaussienne est une fonction de la forme :

Un gaussienne bien connue est celle décrivant la densité de probabilité de la loi normale :

Les gaussiennes sont beaucoup utilisés en physique car de nombreux phénomènes suivent une distribution normale (en vertu du théorème central limite).Un autre fait remarquable est qu'une gaussienne n'admet pas de primitive pouvant s'exprimer à l'aide de fonctions usuelles, les mathématiciens ont du alors introduire une nouvelle fonction: la fonction d'erreur, notée erf, définie comme la primitive de f s'annulant en 0.