Módulo 8

Máximos e mínimos, concavidade e pontos de inflexão

Módulo 8

2. Funções logarítmicas

1.1. Seno, cosseno e tangente

1. Funções trigonométricas

Indíce

3. Pontos de inflexão

2. Concavidade

1. Máximos e mínimos

Indíce

01

Máximos e Mínimos

Máximos e mínimos de uma função

Máximo: Um ponto 𝑥 = 𝑐 é um máximo local de 𝑓(𝑥) se existir um intervalo aberto 𝐼 contendo 𝑐 tal que f(c)≥f(x) para todos os 𝑥 em 𝐼. Mínimo: Um ponto 𝑥 = 𝑐 é um máximo local de 𝑓(𝑥) se existir um intervalo aberto 𝐼 contendo 𝑐 tal que f(c)≤f(x) para todos os 𝑥 em 𝐼.

+ INFO

Segunda Derivada: Se 𝑓′(𝑐) = 0 e 𝑓′'(c) = 0: Para determinar se é um máximo ou mínimo:

• Se 𝑓''(c) > o, 𝑓 tem um mínimo local em 𝑥=c.
• Se 𝑓''(c) < o, 𝑓 tem um máximo local em 𝑥=c.

Relação com as derivadas

Primeira Derivada: Se 𝑓′(𝑐) = 0 e 𝑓′(𝑥) muda de sinal em x=c, então c é um ponto crítico. Para determinar se é um máximo ou mínimo:

• Se 𝑓'(𝑥) muda de positivo para negativo, c é um máximo local.
• Se 𝑓′(𝑥) muda de negativo para positivo, é um mínimo local.

02

Concavidade

Uma função f(x) é côncava para baixo em um intervalo𝐼 se 𝑓′′(𝑥) < 0 para todos os x em 𝐼.

Concavidade para baixo

Uma função f(x) é côncava para cima em um intervalo𝐼 se 𝑓′′(𝑥) > 0 para todos os x em 𝐼.

Concavidade para cima

Concavidade

03

Pontos de Inflexão

Um ponto de inflexão é um ponto 𝑥 = 𝑐 onde a funçãof(x) muda a concavidade, isto é, de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa.

1 . Encontrar onde 𝑓′′(𝑥) = 0 ou onde𝑓′′(𝑥) não existe. 2 . Verifique se 𝑓′′(𝑥) muda de sinal ao redor desses pontos.

iDENTificação de pontos de Inflexão

Agora deves ver os

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS!

Para calcular a segunda derivada de uma função basta apenas derivar novamente a função. É a derivada da derivada!