Presentacion C2 Calculo Integral

Métodos de integración

Calculo Integral.

INTEGRANTES

Camacho Pérez Itzel Verónica 233139245 Martínez López Fernanda Valeria 233139173 Gutiérrez Martínez Ariadna 233139135 Martínez Pelcastre Alexandra Guadalupe 233139200 Castro Serafin Pedro Josue 233139239

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Sustitución trigonométrica

La sustitución trigonométrica es una técnica avanzada de integración que permite transformar una integral con funciones trigonométricas en una integral más sencilla de resolver. Se utiliza para integrar expresiones que contienen raíces cuadradas y funciones trigonométricas.

Sustitución trigonométrica

Definición La sustitución trigonométrica es un método de integración que se utiliza cuando la función integranda contiene expresiones que involucran variables trigonométricas, como seno, coseno o tangente.

Expresión El procedimiento consiste en realizar un cambio de variable mediante una función trigonométrica, lo que permite transformar la integral original en una integral más sencilla de resolver.

Aplicación Este método es especialmente útil cuando la integral contiene radicales cuadráticos o funciones algebraicas de seno y coseno.

EJEMPLOS

Fracciones parciales

Las fracciones parciales son un método de integración utilizado para resolver integrales de funciones racionales. Permiten simplificar y descomponer la integral original en un conjunto de integrales más sencillas.

Fracciones parciales

Definición La descomposición en fracciones parciales es un método matemático que permite expresar una fracción racional compleja como una suma de fracciones más simples.

Expresión La forma general de una fracción parcial es A/(x-a) + B/(x-b) + C/(x-c), donde A, B, C son constantes y a, b, c son las raíces del denominador.

EJEMPLOS

Aquí se presentan algunos ejemplos prácticos sobre el uso de la técnica de fracciones parciales para resolver integrales. Integral de la función 1/(x^2 + 4): Se factoriza el denominador como (x^2 + 4) = (x + 2i)(x - 2i) y se aplica la fórmula de fracciones parciales. Integral de la función 1/(x^3 - 1): Se factoriza el denominador como (x^3 - 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1) y se separa en fracciones parciales.

Integrales impropias

Las integrales impropias son aquellas que tienen un dominio de integración que se extiende hasta el infinito o que presentan una singularidad en el intervalo de integración. Examinaremos su definición, expresión y ejemplos prácticos.

Definición Una integral impropia es una integral cuyo dominio de integración es ilimitado. Esto significa que los límites de integración pueden ir desde menos infinito hasta más infinito, o bien, la función integranda presenta discontinuidades en el intervalo de integración.

Expresión La expresión matemática de una integral impropia se denota con el símbolo ∫ y se representa como: ∫∞a f(x) dx1. ∫b-∞ f(x) dx2. ∫∞-∞ f(x) dx

EJEMPLOS

Aprenderemos a resolver ejemplos prácticos de integrales impropias, donde el dominio de integración se extiende a todo el eje real o cuando el integrando se vuelve infinito en algunos puntos del intervalo de integración. Estos ejercicios nos permitirán afianzar la comprensión de este importante concepto y adquirir las habilidades necesarias para manejar este tipo de integrales.

Cambio de variable

El cambio de variable, también conocido como sustitución, es uno de los métodos más poderosos y versátiles en el cálculo integral. Consiste en reemplazar la variable original de integración por una nueva variable que simplifica el proceso y facilita encontrar la antiderivada.

EJEMPLOS

A continuación, se presentan algunos ejemplos de aplicación del método de cambio de variable en el cálculo de integrales: Calcular la integral ∫ x^2 dx mediante el cambio de variable u = x^2. Hallar la integral ∫ sin(3x) dx usando el cambio de variable u = 3x. Evaluar la integral ∫ 1/√(1-x^2) dx mediante el cambio de variable u = 1-x^2

Integración por partes

La integración por partes es un método algebraico utilizado para calcular integrales definidas o indefinidas de productos de funciones. Se basa en la regla del producto de la diferenciación.

Definición La integración por partes es un método algebraico que permite resolver integrales donde el integrando es el producto de dos funciones. Se basa en la fórmula de la derivación del producto de dos funciones.

Aplicación Este método es útil cuando una de las funciones del producto es fácil de derivar y la otra es difícil de integrar, o viceversa. Permite transformar la integral en una más sencilla de resolver.

Integración trigonométrica

Los métodos de integración trigonométrica permiten calcular integrales de funciones que contienen términos trigonométricos como seno, coseno o tangente.

Definición La integración trigonométrica es un método de resolución de integrales que se basa en la identificación de expresiones trigonométricas dentro de la función a integrar. Este método permite transformar la integral en una expresión más sencilla que pueda ser resuelta utilizando las reglas básicas de integración.

Ejemplos de Integración Trigonométrica

La integración trigonométrica se utiliza para encontrar antiderivadas de funciones que contienen términos trigonométricos. Aquí se muestra un ejemplo de una integral con una función trigonométrica compleja, donde se pueden observar líneas geométricas y trazos dinámicos que representan el proceso de integración.

Aplicaciones de los métodos de integración

Cálculo de áreas y volúmenes Los métodos de integración permiten calcular áreas de figuras planas y volúmenes de sólidos, esenciales en ingeniería y arquitectura.

Modelado de fenómenos físicos La integración es fundamental para modelar y entender fenómenos como el movimiento, la electricidad y la termodinámica.

Optimización de procesos Los métodos de integración ayudan a optimizar procesos en diversas áreas, como la producción industrial y la administración de recursos.

Análisis de datos estadísticos La integración se utiliza para calcular medidas estadísticas como la media, la varianza y la desviación estándar.

¡conclusion!

Los métodos de integración son herramientas matemáticas esenciales que permiten calcular áreas bajo curvas, resolver ecuaciones diferenciales y encontrar antiderivadas. Cada método tiene aplicaciones específicas y varía en su utilidad según el tipo de función o problema a resolver. La integración por sustitución es útil para simplificar funciones compuestas, mientras que la integración por partes es ideal para productos de funciones. La descomposición en fracciones parciales facilita la integración de funciones racionales, y las identidades trigonométricas son clave para integrales de funciones trigonométricas. La integración mediante series de potencias es valiosa para funciones sin antiderivadas elementales, y los métodos numéricos son cruciales cuando la integración analítica no es posible. Elegir el método adecuado es fundamental para la efectividad del proceso, y a menudo, la solución de problemas complejos requiere la combinación de varios métodos. En resumen, la diversidad y complementariedad de los métodos de integración son fundamentales en matemáticas aplicadas y teóricas, destacando su importancia en disciplinas como física, ingeniería y economía.

FUENTES

https://www.studysmarter.es/resumenes/matematicas/analisis-matematico/metodos-de-integracion/

https://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/metodos.pdf

https://es.khanacademy.org/math/calculus-all old/integration-techniques-calc

VIDEOS

https://www.youtube.com/watch?v=93kW5colCAU